25.2.1 配方法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过复习平方根意义及直接开平方法导入，搭建从“x²=p”到“(mx+n)²=p”再到一般式配方的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以“探索-总结-应用”螺旋结构，结合数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识、应用意识），通过例题对比（如二次项系数化1步骤）、错误辨析（如符号错误案例）及实际应用（如证明代数式恒正、判断三角形形状），帮助学生掌握转化思想和规范步骤，为教师提供系统教学资源与分层练习支持。

25.2.1配方法 学习目标 1.理解并掌握利用平方根的意义解形如 x2=p（p≥0）或 (mx+n)2=p（p≥0）的一元二次方程，实现 “降次” 转化. 2.学会将一元二次方程变形为直接开平方法的形式，体会转化的数学思想. 复习回顾 1.如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________. 平方根 2.如果 x2=a(a≥0)，则 x =________. 3.如果 x2=16，则 x =________. ±4 4.你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 思考：一元二次方程如何解？ 试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法 x2=4 x2=0 x2= – 4 探索新知 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方 无实数根 负数没有平方根 新知小结 一般地，对于方程 x2=p， （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 即时即练 用直接开方法解方程． (1) 9x2=25 ； (2) 2x2–98=0 . 解：9x2=25， 开方得：3x=5 或 3x=–5， 解得：x1 = ，x2 = ； 解：2x2–98=0， 方程变形得：x2=49， 开方得：x1=7，x2=-7. 配方，得 由此可得 解：化成一般形式，得 二次项系数化成1，得 移项，得 配方，得 探究新知 对比 有什么不同？ 由此可得 解：二次项系数化成1，得 配方，得 由此可得 方法1： 解：二次项系数化成1，得 移项，得 方法2： 配方，得 由此可得 解：化成一般形式，得 二次项系数化成1，得 移项，得 配方，得 例如： 原方程没有实数根. 例如： 例如： （二）小结 （二）小结 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)将二次项系数化成1； (3)将常数项移到等号的右边 ; （二）小结 (4) 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方; (6) 用直接开平方法解方程. 例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数. 例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 根据非负数的性质得 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形. 由此可得 即 1、方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2、应用配方法求最大值或最小值. (1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值. C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0， 所以 2(x - 1)2 +3 ≥3 因此当x =1时，原式有最小值3. 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0， 所以 -3(x - 2)2 -4≤-4 因此当x =2时，原式有最大值-4. 类 别 解 题 策 略 1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当 a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 配方法的应用 2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 3.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由非负数的性质可知 已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 能力提升题 课堂检测 $