4.2 导数与函数的单调性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数单调性高考核心考点，涵盖函数与导函数图像关系、含参/不含参函数单调性分析、单调性应用（比较大小、解不等式、求参数）等6大题型，按“基础关系-题型突破-综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法提炼（如不含参函数单调性三步法）、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题思路。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用“题型分类+方法提炼+分层训练”模式，如含参函数单调性通过“判别式-根的位置-定义域”分类讨论策略，培养学生逻辑推理能力。设置基础巩固与综合应用分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§4.2 导数与函数的单调性 目录 题型1：函数与导函数图像之间的关系 2 题型2：不含参函数的单调性 5 题型3：含参函数的单调性 7 题型4：由单调性比较大小 10 题型5：由单调性解不等式 14 题型6：由单调性求参数 17 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 已知函数的单调性问题 ①单调递增； 单调递增； ②单调递减；单调递减． 3. 原函数与导函数性质之间的关系 (1) 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. (2) 可导周期函数的导数还是周期函数. (3) 原函数与导函数对称性之间的关系 ①函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. ②函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. (4) 为偶函数有对称中心. 题型1：函数与导函数图像之间的关系 【例1.1.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.7 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 【例1.2.】 已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 【例1.3.】 如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 题型2：不含参函数的单调性 方法提炼 讨论不含参函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并求方程的根; 第3步，利用的根为分界点，将函数定义域分段,在各段上讨论的正负,由符号确定在该段上的单调性. 【例2.1.】 确定下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】直接求导，利用导函数的正负与原函数单调性的关系即可得到答案. 【详解】（1）设，，因为时，恒成立， 则当，即时，，此时函数单调递增， 当，即时，，此时函数单调递减， 则函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）设，， 令，解得或， 则当或时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 则的单调递增区间为，单调递减区间为. 【例2.2.】 函数的单调递增区间是_______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知，， 由，可得，解得， 即函数的递增区间为． 【例2.3.】 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 【例2.4.】 已知函数，求在内的单调性． 【答案】在上单调递增，在上单调递减． 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，利用导函数的符号确定函数的单调性. 【详解】因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 题型3：含参函数的单调性 方法提炼 判断含参函数单调性的策略 (1) 在不能确定导数等于零的点的相对位置时，需要对导数等于零的点的位置关系进行分类讨论． (2) 若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 【例3.1.】 已知函数，则的单调增区间为______． 【答案】当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导，按，，讨论即可. 【详解】函数的导函数， ①，若，；若，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ②，，此时函数在上单调递增． ③，若，；若，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为. 故答案为：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 【例3.2.】 已知函数，讨论的单调性． 【答案】当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数． 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】就分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间. 【详解】的定义域为，， 若，则恒成立，故在上为减函数； 若，则当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 综上，当时，在上为减函数； 当时，在上为增函数，在上为减函数． 【例3.3.】 已知函数．讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】解：因为定义域为，所以， 对于方程，则， 当，即时，所以，所以在上单调递增， 当，即时，的解为：，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上可得：当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【例3.4.】 已知函数.讨论的单调性. 【答案】 当时，，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在，单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在，单调递增． 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导得，分别讨论a取不同范围时，对应的导数与0的关系，从而判断原函数的单调区间. 【详解】由函数的解析式可得：， ①当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； ②当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增. 题型4：由单调性比较大小 【例4.1.】 若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，可由已知判得，由单调性可比较大小即可. 【详解】令， 因为在上可导，且满足， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以. 【例4.2.】 已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 【例4.3.】 已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据导数判断单调性，先利用基本不等式求的最小值，再估算的范围，以及确定的数值范围，得到三个自变量的大小关系，进而结合单调性判断的大小关系. 【详解】， 因此是偶函数，故. 当时， 对任意，，， 因此对恒成立，在上单调递增. ， 而，因此 ， 即， 结合在上单调递增可得. 【例4.4.】 已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】先构造函数，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用对数函数的单调性判断C. 【详解】因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. 【例4.5.】 设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】分别构造函数和，利用导数讨论其单调性可得. 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，， 所以，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，则，则在上单调递增， 则，即，所以， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以. 综上，. 题型5：由单调性解不等式 【例5.1.】 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成，求解即可. 【详解】由，定义域为R， 求导得：恒成立， 即在R上单调递增， 所以等价于， 即，解得， 故不等式的解集为. 【例5.2.】 已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、解分段函数不等式 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 【例5.3.】 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D 【例5.4.】 设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【难度】0.52 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将 转化为自变量到对称轴的距离关系 ，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可. 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. 【例5.5.】 已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式． 【详解】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． 题型6：由单调性求参数 方法提炼 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1) 可导函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立,且在的任意子区间，等号不恒成立. (2) 可导函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上有解. (3) 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解,需验证解的两侧导数是否异号. (4) 若已知在区间上的单调性,则区间是其单调区间的子集. 【例6.1.】 已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】根据原函数在区间上单调递减，可知在上恒成立，利用二次函数的图像与性质列不等式组求解可得结果. 【精细解析】因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 所以，解得或， 所以t的取值范围是． 故答案为：. 【例6.2.】 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【例6.3.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、由函数的单调区间求参数 【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上单调递增知，， 所以， 故选：C 【例6.4.】 已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 【例6.5.】 若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【例6.6.】 已知函数是上的增函数，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出导函数，由题意恒成立，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 【例6.7.】 设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】将问题转化为当时，恒成立，然后构造函数，利用导数法求得，然后再验证，不满足时单调递增. 【详解】由已知有当时，恒成立. 即当时，恒成立. 令，则，，. 故时，.从而当时，. 因此时，，单调递增. 若，令，则，. 故时，，此时单调递减，从而时，. 因此时，，即. 此时不满足时单调递增. 故的取值范围是. 【例6.8.】 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 【例6.9.】 已知函数，若当时，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】求出，可知其符号由分子决定并设，通过讨论和两种情况的单调性即可得到a的最大值． 【详解】由题意，x需满足且，解得， ，因为， 所以的符号由分子决定，记分子为， 令，则，所以， 这是关于的二次函数，开口向上， 若，则，又，由零点存在定理，存在使得， 对应，此时，且在时，即， 故在单调递减，，与题设矛盾； 当时，，故，在单调递增， ，满足条件； 综上所述，的最大值为2． 故选：B． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.2 导数与函数的单调性 目录 题型1：函数与导函数图像之间的关系 2 题型2：不含参函数的单调性 4 题型3：含参函数的单调性 4 题型4：由单调性比较大小 5 题型5：由单调性解不等式 6 题型6：由单调性求参数 6 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 已知函数的单调性问题 ①单调递增； 单调递增； ②单调递减；单调递减． 3. 原函数与导函数性质之间的关系 (1) 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. (2) 可导周期函数的导数还是周期函数. (3) 原函数与导函数对称性之间的关系 ①函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. ②函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. (4) 为偶函数有对称中心. 题型1：函数与导函数图像之间的关系 【例1.1.】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【例1.2.】 已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型2：不含参函数的单调性 方法提炼 讨论不含参函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,并求方程的根; 第3步，利用的根为分界点，将函数定义域分段,在各段上讨论的正负,由符号确定在该段上的单调性. 【例2.1.】 确定下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【例2.2.】 函数的单调递增区间是_______________． 【例2.3.】 函数的单调递减区间为______． 【例2.4.】 已知函数，求在内的单调性． 题型3：含参函数的单调性 方法提炼 判断含参函数单调性的策略 (1) 在不能确定导数等于零的点的相对位置时，需要对导数等于零的点的位置关系进行分类讨论． (2) 若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 【例3.1.】 已知函数，则的单调增区间为______． 【例3.2.】 已知函数，讨论的单调性． 【例3.3.】 已知函数．讨论的单调性； 【例3.4.】 已知函数.讨论的单调性. 题型4：由单调性比较大小 【例4.1.】 若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 【例4.2.】 已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型5：由单调性解不等式 【例5.1.】 已知函数，则不等式的解集为__________． 【例5.2.】 已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【例5.5.】 已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 题型6：由单调性求参数 方法提炼 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1) 可导函数在区间上单调,实际上就是在该区间上(或)恒成立,且在的任意子区间，等号不恒成立. (2) 可导函数在区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上有解. (3) 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解,需验证解的两侧导数是否异号. (4) 若已知在区间上的单调性,则区间是其单调区间的子集. 【例6.1.】 已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是____． 【例6.2.】 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【例6.3.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【例6.4.】 已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【例6.5.】 若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【例6.6.】 已知函数是上的增函数，则的值为______． 【例6.7.】 设函数，当时单调递增，则的取值范围是______. 【例6.8.】 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【例6.9.】 已知函数，若当时，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $