4.2 导数与函数的单调性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数与函数单调性关系为核心，通过6类题型构建从概念理解到综合应用的递进训练体系，突出逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导函数图像关系|3题|图像辨析导数符号与单调性|概念理解基础| |不含参函数单调性|4题|直接应用导数求单调区间|基础应用| |含参函数单调性|4题|分类讨论参数对单调性影响|深化应用| |由单调性比较大小|5题|构造函数利用单调性比大小|综合应用1| |由单调性解不等式|4题|利用单调性转化不等式求解|综合应用2| |由单调性求参数|6题|根据单调性条件求参数范围|综合应用3|

§4.2导数与函数的单调性 目录 题型1：函数与导函数图像之间的关系…。 .2 题型2：不含参函数的单调性… 3 题型3：含参函数的单调性… 3 题型4：由单调性比较大小. …4 题型5：由单调性解不等式… .4 题型6：由单调性求参数， …5 1 题型1：函数与导函数图像之间的关系 【例1.1】设函数9在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f'()的图象可能是() 【创12】已知f)-子+c0s,了问为f化的导商数，则y=代问)的图像大致是（） 【例1.3.】（多选)己知三次函数 的图象如图，则下列说法正确的是（） A画0+0-r) B.f'(-2)>f'(3) c.f5)=0 D.f"()<0的解集为-∞，-U(0,) 题型2：不含参函数的单调性 【例2.1】函数f(=nx-2x 单调递增区间是() B.(0,2) e.(2 D.(2,+o∞) 【例2.2】下列区间中，函数/()=sinr+cosx 单调递增的区间是() D.(2π，3m 【例2.3.】函数 ()= e的单调递增区间是() A.(0,2) B.(-0,0)U(2,+o) C.（-0,-2)U(0,+o) D.(-2,0) 3 【例24】设函数)-2云+n(r>0,求j的单调区间。 题型3：含参函数的单调性 【例3.1.】分别讨论下列函数 的单调性，其中4为非零实常数。 (1)()=Inx+ax a)-号r+ax-a+lx 【例3.2.】已知函数1 )-e+a-21e- 2,讨论函数()的导数的单调性： 【例3.3.】已知函数f(x)=am3-3x2+1-3 国若函数（④在点Lf四》处的切线斜率为2，求实数a的值， 2讨论儿四的单调性。 【例3.4，】讨论函数"=r++b 单调性 题型4：由单调性比较大小 f因，0八x+2 【例4.1】设R上的可导函数f)满足2x-3>0,且 2是偶函数. 若a=f(0.2) b=f,3),c=f②)，则9，b,c的大小关系为《) A.a>b>c B.axc>b C.c>b>a D.b>c>a 【421己知弱数)-=c+e,设a=f八m,b=fog,3列.c=f）.则() A.c>b>a B.c>a>b C.b>axc D.b>cxa 4 3 4 【例创4.3】已知a=h3,h=2n2,c=e则() A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 【例4.4】已知a=n2026 2025,c=h2025 6= 2025’ 2026,则() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 【例4.5.】已知正实数x,y,z, . 则() A.3y<2x<5zB.2x<3y<5z C.5z<2x<3y D.3y<5z<2x 题型5：由单调性解不等式 【例51】已知定义在R上的函数f(的导函数为（冈若对任忘xeR,都有（✉）+1>0 且2)=-2，则不等武>的解集为() A.（o-2)g.-2m) c.（-o,2 D.(2,+) 【52】已知图数f因的定义域是0+o）,f(因)是f因的导函数.若（小>0 且2)=4，则不等式/血)-2hr<0 的解集是() A.(0,e) B.(L) C.(e,+oo) o.(e3,+) 【例5.3】已知田为数f的导函数，且对任意x∈R,f-f<1.若0)=2026 则不等式f+1>2027e 的解集为() A.（-∞，0) B.(0,+∞) D.(-0,1) 5 【54】函数是完义域为R的偶函数，其导西数为因，当20时，儿>2，则 不等式f(x-小-f)<-2+ 的解集为() c.（-o,1) D.(1,+o) 题型6：由单调性求参数 【611已知a20,函数/()(：-2e,若/（✉在H川上是单调减函数，则实数0的 取值范围是 【例6.2】设函数()-(r-2x-1e2 已知函数()在区间(a,a+)上单调递减，则实数a 的取值范围是() A[5B.[-5,5-刂 c.【-2,-刂 p.[l, 【别63】若面数(=+-6+5在区间2)上不是单调函数，则实数“的取值范周是 () A.(0,3) 。 【例6,4】已知函数f()e-- 是R上的单调递增函数，则的值为 【例65】已知西数f)=6x了+匹在B,切)上单调道减，则，的取值范图为《) A.(,26g.（,26} c.（-0,5] D.（-,5) 【66】无我创-h:+任在区同武2内在在华闲速区.则实a他布 是() （别 。（ c.（,22] D.（,22) 7 §4.2 导数与函数的单调性 目录 题型1：函数与导函数图像之间的关系 2 题型2：不含参函数的单调性 4 题型3：含参函数的单调性 6 题型4：由单调性比较大小 10 题型5：由单调性解不等式 13 题型6：由单调性求参数 16 题型1：函数与导函数图像之间的关系 【例1.1.】 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D； 再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确． 【例1.2.】 已知，为的导函数，则的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】对函数求导得，易知为奇函数，排除A、D选项； 又对求导，易得在是递减，即可求解. 【详解】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，， 当，，在递减， 故选B． 【例1.3.】 （多选）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【难度】0.45 【知识点】导数定义中极限的简单计算、函数与导函数图象之间的关系、根据函数的单调性解不等式、根据极值点求参数 【分析】根据导数的概念，判断选项A的正误；根据函数单调性和导数值的关系，判断选项B的正误；根据函数图像，求出函数解析式，进而判断选项C的正误；根据函数图像和函数导数的正负，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，， 由图可知有极值点1，，即，所以A正确； 设， 由图可知为奇函数，且，解得， 可知，则， 解得，所以， 则， 由图可知在上单调递减，所以， 对于选项B，，所以，选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，可知时，， 当时，， 当，可知，得， 或，得，所以D错误. 题型2：不含参函数的单调性 【例2.1.】 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是 【例2.2.】 下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 【例2.3.】 函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令，解不等式，即可得到函数的单调递增区间. 【详解】由题意，求导得， 令，因为，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【例2.4.】 设函数，求的单调区间． 【答案】的减区间为，增区间为. 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出导函数，由得增区间，由得减区间． 【详解】， 当，，当，， 所以的减区间为，的增区间为. 题型3：含参函数的单调性 【例3.1.】 分别讨论下列函数的单调性，其中为非零实常数． (1)； (2)． 【答案】(1)①，在单调递增，在单调递减． ②，在上单调递增． (2)①，在上单调递减，在上单调递增． ②，在上单调递减，在和上单调递增． ③，在上单调递增． ④，在上单调递减，在和上单调递增． 【难度】0.67 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【详解】（1），定义域为．．令，解得． ①时，当时，．单调递增．当时，，单调递减． ②时，在上恒大于0， 在上单调递增． 综上：①，在单调递增，在单调递减． ②，在上单调递增． （2），定义域为． ， ①时，令，解得． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． ②时，令，解得或． 当时，，单调递增． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． ③时，， ，单调递增． ④时，令，解得或．当时，，单调递增． 当时，，单调递减．当时，，单调递增． 综上：①，在上单调递减，在上单调递增． ②，在上单调递减，在和上单调递增． ③，在上单调递增． ④，在上单调递减，在和上单调递增． 【例3.2.】 已知函数，讨论函数的导数的单调性； 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】根据题意整理可得，分类讨论、，判断函数的单调性即可求解. 【详解】设，则， 注意到，则有： 当时，则，故对恒成立， 故的单调递减区间为； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间； 综上所述：当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间. 【例3.3.】 已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和 【难度】0.64 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再由导数的几何意义即可求解； （2）先求导，根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得：，所以，解得； （2）由题意得：，又， 令，解得或， 当时，由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，由，解得，由，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和， 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和. 【例3.4.】 讨论函数的单调性． 【答案】 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导后，分别讨论和时的正负，进而确定函数单调性. 【详解】的定义域为，； ①当时，在上恒成立，在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型4：由单调性比较大小 【例4.1.】 设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 【例4.2.】 已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求出关于直线对称，通过求导得到的单调性，根据函数的单调性即可判断. 【详解】，故关于直线对称， 求导得， 当时，，故，即，在上单调递增； 当时，即，在上单调递减， 又，， 即，， 所以，， 即， 根据函数的对称性和单调性可知， 又，， 所以， 所以. 【例4.3.】 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【详解】，，令，求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因为，所以， 所以，即， 综上，． 【例4.4.】 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】由对数函数的单调性比较，构造函数，由导数得到函数单调性，然后比较，从而求得结果. 【详解】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 【例4.5.】 已知正实数x，y，z，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】利用对数，将x，y，z表示出来，通过构造函数比较大小． 【详解】设，因为x，y，z为正实数，故； 则，，； 则，，； 只需比较即可；设； 则，当时，，单调递增， 故， 故； 因为，故，， 故，故． 题型5：由单调性解不等式 【例5.1.】 已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【详解】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 【例5.2.】 已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式. 【详解】构造，则， 因为，所以，所以在上单调递增， ， 因为函数的定义域是，所以， 所以，， 又， 所以，所以，所以， 综上，，即不等式的解集是. 【例5.3.】 已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.56 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则、根据函数的单调性解不等式 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 【例5.4.】 函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.5 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造辅助函数，先证为偶函数，由时得在递增；将原不等式整理为，利用偶函数单调性转化为，平方化简解得． 【详解】设， 由题意，，得， 所以是偶函数， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 由，得 所以， 所以等价于，解得． 题型6：由单调性求参数 【例6.1.】 已知，函数，若在上是单调减函数，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出，根据函数的单调性可得在上恒成立，根据的图象特征可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围. 【详解】， 因为在上是单调减函数， 在上是单调减函数，故在上恒成立， 故在上恒成立， 设， ，故. 故答案：. 【例6.2.】 设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】通过求导得到函数的单调递减区间，再令给定区间为单调递减区间的子集从而求得参数范围. 【详解】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 【例6.3.】 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 【例6.4.】 已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 【例6.5.】 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 【例6.6.】 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 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