3.1 列代数式表示数量关系 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，系统梳理代数式的定义与书写规范，列代数式的方法与注意事项，以及正比例、反比例关系的辨析，构建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 该资料以题型为单元，整合解题知识、典例及变式练习，变式题融入购物、停车收费、帆布包制作等生活情境，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达数量关系的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第3章 3.1 列代数式表示数量关系 内 容 导 航 题型1 代数式 题型2 列代数式 题型3 正比例 题型4 反比例 考 点 演 练 题型1 代数式 解｜题｜知｜识 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 【典例1】下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A正确的书写格式是4ab2，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是2xy2，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】用文字叙述代数式的意义，下列文字叙述错误的是（　　） A．比x的倒数大3的数 B．比x的倒数小3的数 C．x的倒数与3的差 D．1除以x的商与3的差 【答案】A 【解答】解：A、比x倒数大3的数表示为，不正确，符合题意； B、比x倒数小3的数，正确，不符合题意； C、x的倒数与3的差，正确，不符合题意； D、1除以x的商与3的差，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式2】关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（　　） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【答案】D 【解答】解：A．代数式a2﹣9表示比a的平方少9的数，说法正确，不符合题意； B．代数式a2﹣9表示a的平方与9的差，说法正确，不符合题意； C．代数式a2﹣9表示a的平方减去9，说法正确，不符合题意； D．代数式a2﹣9表示a与3的平方差，说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予6a实际意义的例子中，错误的是（　　） A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则6a表示这辆汽车行驶6小时的路程 B．若某水果的价格是6元/千克，则6a表示买 a 千克该水果的金额 C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则6a表示这个两位数 D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则6a表示这个圆柱的体积 【答案】C 【解答】解：A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则6a表示这辆汽车行驶6小时的路程，选项说法正确，不符合题意； B．若某水果的价格是6元/千克，则6a表示买 a 千克该水果的金额，选项说法正确，不符合题意； C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则60+a表示这个两位数，选项说法错误，符合题意； D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则6a表示这个圆柱的体积，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4】下列结论中正确的是（　　） A．对乘坐高铁的乘客进行安检，适宜采用普查的方式 B．单项式的系数是 C．a2+b2的意义是表示a，b两数的和的平方 D．将弯曲的道路改直的数学道理是“过两点有且只有一条直线” 【答案】A 【解答】解：A、对乘坐高铁的乘客进行安检，适宜采用普查方式，故符合题意； B、单项式的系数是π，故不符合题意； C、a2+b2的意义是表示a，b两数平方的和，故不符合题意； D、将弯曲的道路改直的数学道理是“两点之间，线段最短”，故不符合题意； 故选：A． 【变式5】如果苹果的单价是a元/千克，梨子的单价是b元/千克，则代数式50﹣（2a+3b）所表示的意义是　用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱．　 ． 【答案】用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱． 【解答】解：苹果的单价是a元/千克，梨子的单价是b元/千克， 买2千克苹果和3千克梨子共需（2a+3b）元， 则50﹣（2a+3b）的意义是：用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱， 故答案为：用50元钱买2千克苹果和3千克梨子还剩多少元钱． 题型2 列代数式 解｜题｜知｜识 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 【典例1】买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（　　） A．（4m+7n）元 B．28mn元 C．（7m+4n）元 D．11mn元 【答案】A 【解答】解：买4个足球、7个篮球共需要（4m+7n）元． 故选：A． 【变式1】如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（　　） A．x2+5 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【解答】解：阴影部分的面积S＝x2+3（2+x）＝x（x+3）+3×2＝（x+3）（x+2）﹣2x， 故选：A． 【变式2】小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差　（6m﹣40）　 元． 【答案】（6m﹣40） 【解答】解：根据题意，用含m的代数式表示小明还差的钱为： ∴他还差的钱为（6m﹣40）元． 故答案为：（6m﹣40）． 【变式3】项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖，同学们针对制作开展了以下研究： 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式． 方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包； 方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子． 素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式； 2．接缝处所需布料忽略不计； 3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为　32　 厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．则按方式1剪裁的帆布有多少张，按照方式2裁剪的帆布有多少张，正好配套． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有m个，则无盖包的数量有多少个？（用含m的代数式表示） 【答案】问题1：32； 问题2：按方式1剪裁的帆布有800张，按照方式2裁剪的帆布有100张，正好配套； 问题3：（900）张． 【解答】解：问题1：由题知， 设按方式1剪下的正方形边长为x厘米， 则2（100﹣2x+80﹣2x）＝104， 解得x＝32， 所以按方式1剪下的正方形边长为32厘米． 故答案为：32； 问题2：设按方式1剪裁的帆布有m张， 则m＝8（900﹣m）， 解得m＝800， 则900﹣m＝100， 所以按方式1剪裁的帆布有800张，按照方式2裁剪的帆布有100张，正好配套； 问题3：由题知， 因为有盖帆布包有m个， 所以方式2剪裁的帆布有张，按方式1剪裁的帆布有（900）张， 所以无盖包的数量有：900（900）张． 【变式4】图①中的水车是一种古老的提水灌灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，△OAB是水车的支架，∠AOB＝60°．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． （1）在图②中，若OC平分∠AOB，求∠BOD的度数； （2）在水车的旋转过程中，设∠BOD的度数为x°，直接写出∠AOC的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）15°； （2）15°+x°或x°﹣15°或15°﹣x°或345°﹣x°． 【解答】解：（1）由题知， ∠COD＝360°÷8＝45°． ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC∠AOB＝30°， ∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝45°﹣30°＝15°； （2）当OC，OD都在∠AOB内部时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝60°﹣45°﹣x°＝15°﹣x°； 当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝60°+x°﹣45°＝15°+x°． 当OC，OD都在∠AOB外部时，且OC未到达OA的反向延长线时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝60°+x°﹣45°＝15°+x°． 当OC，OD都在∠AOB外部时，且OC超过OA的反向延长线，OD未到达OB的反向延长线时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝360°﹣（60°+x°﹣45°）＝345°﹣x°． 当OC，OD都在∠AOB外部时，且OD超过OB的反向延长线时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝x°﹣60°+45°＝x°﹣15°． 当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时， ∵∠BOD＝x°，∠COD＝45°，∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝x°+45°﹣60°＝x°﹣15°， 综上所述，∠AOC的度数为15°+x°或x°﹣15°或15°﹣x°或345°﹣x°． 【变式5】某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天（08：00﹣20：00） 8元/小时 夜间（20：00﹣08：00） 4元/小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． （1）若某日刘老师12：00进场停车，21：41离场，则需付停车费多少元？ （2）若某日刘老师10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的20：00﹣24：00间，则他此次停车的费用为多少元？ 【答案】（1）56元； （2）当x＝10时，他此次停车的费用为48元；当10＜x≤14时，他此次停车的费用为（4x+8）元． 【解答】解：（1）由题知， 因为20﹣12＝8＞6，21：41﹣20：00＝1：41，1+1＝2， 则6×8+2×4＝56（元）， 所以需付停车费56元； （2）由题知， 因为20﹣10＝10＞6， 所以白天部分的费用为6×8＝48（元）， 当x＝10时，他此次停车的费用为48元． 当10＜x≤14时， 因为离场时间介于当日的20：00﹣24：00间， 则夜间部分的费用为4（x﹣10）＝（4x﹣40）元， 则48+4x﹣40＝（4x+8）元， 所以他此次停车的费用为（4x+8）元． 题型3 正比例 解｜题｜知｜识 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系． 【典例1】下面各项中，两个量成正比例的是（　　） A．路程一定，行驶的速度与时间 B．一个数与它的倒数 C．两个数的和一定，一个加数与另一个加数 D．三角形的底一定，它的面积和高 【答案】D 【解答】解：A．路程一定，行驶的速度与时间成反比例关系； B．一个数与它的倒数乘积为1，积为定值，则一个数与它的倒数成反比例关系； C．两个数的和一定，一个加数与另一个加数，不是正比例也不是反比例； D．三角形的底一定，它的面积和高成正比例； 故选：D． 【变式1】下面各题中的两种量，成正比例关系的有（　　）组． ①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高． ②张老师的身高和体重． ③圆的面积和半径． ④看电影所付票费与看电影的人数． ⑤等边三角形的周长与边长． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例． ②张老师的身高和体重不成比例． ③圆的面积和半径不成比例． ④看电影所付票费与看电影的人数成正比例． ⑤等边三角形的周长与边长成正比例． ∴各题中的两种量，成正比例关系的有2组． 故选：B． 【变式2】下列各数量关系中，成正比例的是（　　） A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．单价一定，买的数量和总价 C．运一批货，每天运的吨数和所需的天数 D．圆的周长和圆周率 【答案】B 【解答】解：根据判断正比例和反比例的方法逐项分析判断如下： A、全班人数一定＝出勤人数+缺勤人数，所以出勤人数与缺勤人数不成正比例，故本选项不符合题意； B、因为总价÷数量＝单价一定，所以单价一定，数量和总价成正比例，故本选项符合题意； C、因为每天运的吨数×需要的天数＝要运货物的总吨数一定，乘积一定，所以每天运的吨数和需要的天数成反比例，故本选项不符合题意； D、因为圆周率是定值，所以圆的周长和圆周率不成正比例，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】如果4n＝5m，那么n和m成　正　 比例． 【答案】正． 【解答】解：由条件可得， 故n与m成正比例， 故答案为：正． 【变式4】图上距离与实际距离成正比例． 　×　 （判断对错） 【答案】×． 【解答】解：当比例尺一定时，图上距离与实际距离成正比例，错误（×）． 故答案为：×． 题型4 反比例 解｜题｜知｜识 “反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．” 【典例1】下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【答案】D 【解答】解：A、车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数成反比例，故本选项不符合题意； B、社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数成反比例，故本选项不符合题意； C、圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高成反比例，故本选项不符合题意； D、计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额不成反比例，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是500N和0.5m，则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的关系正确的是（　　） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【答案】B 【解答】解：由题意可得Fl＝500×0.5＝250， 则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的成反比例关系，F， 故选：B． 【变式2】下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．《数学故事》的单价一定，订购的总价和订购的数量 B．书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间 C．折扣一定，商品的原价和折后价 D．长方形的周长一定，它的长和宽 【答案】B 【解答】解：选项A，单价＝总价÷数量，单价一定，订购的总价和订购的数量成正比例，不符合题意； 选项B，每天读的页数×需要的时间＝书的总页数，书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间成反比例，符合题意； 选项C，折后价÷商品的原价＝折扣，折扣一定，商品的原价和折后价成正比例，不符合题意； 选项D，长方形的周长＝（长+宽）×2，周长一定，长方形的长和宽不成比例，不符合题意． 故选：B． 【变式3】下列选项中，两种量成反比例关系的是（　　） ①总钱数一定，花费的钱和剩余的钱； ②长方形的面积一定，长方形的长和宽； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】B 【解答】解：对于①：设总钱数为T（常数），花费的钱为S，剩余的钱为R，则S+R＝T，∵S与R的和为常数，而非乘积为常数，∴S与R不成反比例．不符合题意； 对于②：设长方形面积为A（常数），长为L，宽为W，则L×W＝A，∵L与W的乘积为常数，∴L与W成反比例．符合题意； 对于③：设烧煤总量为M（常数），每天的烧煤量为D，所烧天数为t，则D×t＝M，∵D与t的乘积为常数，∴D与t成反比例．符合题意； ∴只有②和③成反比例关系， 故选：B． 【变式4】小明从家里去学校，所需时间与所行速度（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：小明从家里去学校，所需时间与所行速度的积是从家里去学校的路程（定值）， ∴小明从家里去学校，所需时间与所行速度成反比例． 故选：B． 【变式5】如表中，a和b是两种相关联的量． a 60 x b 15 50 （1）当a和b成　正　 比例关系时，x＝200． （2）当a和b成反比例关系时，x＝　18　 ． 【答案】（1）正； （2）18． 【解答】解：（1）a和b是两种相关联的量， 当x＝200时，a：b＝60：15＝200：50＝4， 因为比值一定， 所以当a和b成正比例关系， 故答案为：正； （2）由题意可得：a和b的积一定， 所以50x＝60×15， x＝18， 故答案为：18． 过 关 验 收 1. 下列各式：（1）；（2）a•3；（3）20%x；（4）﹣b÷c；（5）；其中符合代数式书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D． 【解答】解：应写成， a•3应写成3a， 20%x符合书写要求， ﹣b÷c应写成， 符合书写要求． 故选：D． 2. 下列能用代数式2m+6表示的量是（　　） A．线段的长 B．组合图形的面积 C．底面积为m，高为6的圆柱的体积 D．长方形的周长 【答案】D 【解答】解：据原图可知：选项A中线段的长为2+m+6＝m+8，不符合题意； 选项B中组合图形的面积为2（m+6）＝2m+12，不符合题意； 选项C中底面积为m，高为6的圆柱的体积为6m，不符合题意； 选项D中长方形的周长为2（m+3）＝2m+6，符合题意． 故选：D． 3. 我国已对美国、俄罗斯、英国等55国实施240小时过境免签政策．在洛阳龙门石窟景区，外籍游客的数量明显增多．国庆假期期间，从龙门石窟景区的网络预约平台的数据获悉：第一天预约的外籍游客为m（m＞200）人，第二天预约的外籍游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“m﹣200”表示的意义是（　　） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【解答】解：根据题意得：龙门石窟景区的网络预约平台上，外籍游客第二天人数为：2m﹣200， ∴第二天比第一天多的人数为：（2m﹣200）﹣m＝m﹣200， ∴代数式“m﹣200”表示第二天比第一天多预约的人数． 故选：B． 4. 同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为 　　 ． B．图2中长方形的周长为 　　 ． C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，…，按此规律，第a个算式的表达式为 　　 ． D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有 　　 只． 【答案】B 【解答】解：同一个代数式可以表示不同的实际意义，根据下列选项中所求的量用代数式（4a+8）表示的情况分析可得： A：如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为4a+8，故A选项中所求的量可以用代数式（4a+8）表示； B：图2中长方形的周长为2（4a+2）＝8a+4，故B选项中所求的量不可以用代数式（4a+8）表示； C：若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，…，按此规律，第a个算式的表达式为（4a+8），故C选项中所求的量可以用代数式（4a+8）表示； D：分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有（4a+8）只，故D选项中所求的量可以用代数式（4a+8）表示． 故选：B． 5. 小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费　（3a+4b）　 元． 【答案】（3a+4b） 【解答】解：小红购买珠子应该花费（3a+4b）元； 故答案为：（3a+4b） 6. 用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”：x2y ． 【答案】x2y． 【解答】解：“x的平方减去y的一半的差”可以表示为x2y， 故答案为：x2y． 7. 从1﹣9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个两位数，先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选的三个数字之和．一定会得到相同的数．这个数是　22　 ． 【答案】22． 【解答】解：选择数字1、2、3， 则组成的六个两位数是：12、13、23、21、31、32， 则这六个两位数的和＝12+13+23+21+31+32＝132， 所选的三个数字之和＝1+2+3＝6， 132÷6＝22， 故答案为：22． 8. 列代数式表示“a的相反数与b的和的平方”是　（﹣a+b）2 ． 【答案】（﹣a+b）2． 【解答】解：a的相反数与b的和是：﹣a+b， a的相反数与b的和的平方即（﹣a+b）2， 故答案为：（﹣a+b）2． 9. 长方形的面积为100时，长方形的长和宽的关系是（　　） A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：长方形的面积为100，则长方形的长×宽＝100，∴长方形的长与宽之间成反比例关系．故选：A． 10. 如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．2.5 B．3.5 C．10 D．19.6 【答案】A 【解答】解：∵x和y两个量成反比例关系， ∴7×5＝△×14， 故Δ＝2.5． 故选：A． 11. 如下表，如果x和y成反比例关系，那么“■”处应填（　　） x 2 3 y 9 ■ A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：∵x和y成反比例， ∴xy＝2×9＝18， ∴18÷3＝6． 故选：C． 12. 下列各题中的两个量不成反比例关系的是（　　） A．一个由200名学生组成的体操方队，每排学生人数和排数 B．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 C．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 D．一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 【答案】B 【解答】解：A．一个由200名学生组成的体操方队，每排学生人数和排数成反比例，故A不符合题意；B．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比例，故B符合题意； C．长方体的体积一定，长方体的底面积与高成反比例，故C不符合题意；D．一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量成反比例，故D符合题意． 故选：B． 13. 如果甲、乙是两个成反比例的量，当甲增加50%时，乙一定会（　　） A．增加50% B．减少50% C．减少 D．减少 【答案】D 【解答】解：设甲、乙两个量对应的数分别是x和y， ∵甲、乙是两个成反比例的量， ∴xy＝k（定值）， 当甲增加50%时，甲变成了（1+50%）xx， ∴乙变成了y， ∵（yy）÷y， ∴乙一定会减少． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.1 列代数式表示数量关系 内 容 导 航 题型1 代数式 题型2 列代数式 题型3 正比例 题型4 反比例 考 点 演 练 题型1 代数式 解｜题｜知｜识 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 【典例1】下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 【变式1】用文字叙述代数式的意义，下列文字叙述错误的是（　　） A．比x的倒数大3的数 B．比x的倒数小3的数 C．x的倒数与3的差 D．1除以x的商与3的差 【变式2】关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（　　） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【变式3】用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予6a实际意义的例子中，错误的是（　　） A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则6a表示这辆汽车行驶6小时的路程 B．若某水果的价格是6元/千克，则6a表示买 a 千克该水果的金额 C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则6a表示这个两位数 D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则6a表示这个圆柱的体积 【变式4】下列结论中正确的是（　　） A．对乘坐高铁的乘客进行安检，适宜采用普查的方式 B．单项式的系数是 C．a2+b2的意义是表示a，b两数的和的平方 D．将弯曲的道路改直的数学道理是“过两点有且只有一条直线” 【变式5】如果苹果的单价是a元/千克，梨子的单价是b元/千克，则代数式50﹣（2a+3b）所表示的意义是　 　 ． 题型2 列代数式 解｜题｜知｜识 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 【典例1】买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（　　） A．（4m+7n）元 B．28mn元 C．（7m+4n）元 D．11mn元 【变式1】如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（　　） A．x2+5 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【变式2】小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差　 　 元． 【变式3】项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖，同学们针对制作开展了以下研究： 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式． 方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包； 方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子． 素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式； 2．接缝处所需布料忽略不计； 3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为 　 厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．则按方式1剪裁的帆布有多少张，按照方式2裁剪的帆布有多少张，正好配套． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有m个，则无盖包的数量有多少个？（用含m的代数式表示） 【变式4】图①中的水车是一种古老的提水灌灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，△OAB是水车的支架，∠AOB＝60°．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． （1）在图②中，若OC平分∠AOB，求∠BOD的度数； （2）在水车的旋转过程中，设∠BOD的度数为x°，直接写出∠AOC的度数（用含x的代数式表示）． 【变式5】某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天（08：00﹣20：00） 8元/小时 夜间（20：00﹣08：00） 4元/小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． （1）若某日刘老师12：00进场停车，21：41离场，则需付停车费多少元？ （2）若某日刘老师10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的20：00﹣24：00间，则他此次停车的费用为多少元？ 题型3 正比例 解｜题｜知｜识 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系． 【典例1】下面各项中，两个量成正比例的是（　　） A．路程一定，行驶的速度与时间 B．一个数与它的倒数 C．两个数的和一定，一个加数与另一个加数 D．三角形的底一定，它的面积和高 【变式1】下面各题中的两种量，成正比例关系的有（　　）组． ①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高． ②张老师的身高和体重． ③圆的面积和半径． ④看电影所付票费与看电影的人数． ⑤等边三角形的周长与边长． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列各数量关系中，成正比例的是（　　） A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．单价一定，买的数量和总价 C．运一批货，每天运的吨数和所需的天数 D．圆的周长和圆周率 【变式3】如果4n＝5m，那么n和m成　 　 比例． 【变式4】图上距离与实际距离成正比例． 　 　 （判断对错） 题型4 反比例 解｜题｜知｜识 “反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．” 【典例1】下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【变式1】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”，通俗地说，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是500N和0.5m，则动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）的关系正确的是（　　） A．成反比例关系， B．成反比例关系， C．成正比例关系， D．成正比例关系， 【变式2】下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．《数学故事》的单价一定，订购的总价和订购的数量 B．书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间 C．折扣一定，商品的原价和折后价 D．长方形的周长一定，它的长和宽 【变式3】下列选项中，两种量成反比例关系的是（　　） ①总钱数一定，花费的钱和剩余的钱； ②长方形的面积一定，长方形的长和宽； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【变式4】小明从家里去学校，所需时间与所行速度（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都不对 【变式5】如表中，a和b是两种相关联的量． a 60 x b 15 50 （1）当a和b成　 　 比例关系时，x＝200． （2）当a和b成反比例关系时，x＝　 　 ． 过 关 验 收 1. 下列各式：（1）；（2）a•3；（3）20%x；（4）﹣b÷c；（5）；其中符合代数式书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2. 下列能用代数式2m+6表示的量是（　　） A．线段的长 B．组合图形的面积 C．底面积为m，高为6的圆柱的体积 D．长方形的周长 3. 我国已对美国、俄罗斯、英国等55国实施240小时过境免签政策．在洛阳龙门石窟景区，外籍游客的数量明显增多．国庆假期期间，从龙门石窟景区的网络预约平台的数据获悉：第一天预约的外籍游客为m（m＞200）人，第二天预约的外籍游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“m﹣200”表示的意义是（　　） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 4. 同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式（4a+8）表示的是（　　） A．如图1，动点P从数轴上的点A向右出发，速度为每秒a个单位长度，则4秒后P点在数轴上表示的数为 　　 ． B．图2中长方形的周长为 　　 ． C．若第1个算式4×1+8，第2个算式4×2+8，…，按此规律，第a个算式的表达式为 　　 ． D．分小熊活动中，已知学生有a人，若每人分4个，还多8个，则小熊一共有 　　 只． 5. 小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费　 　 元． 6. 用代数式表示“x的平方减去y的一半的差”：x2y ． 7. 从1﹣9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个两位数，先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选的三个数字之和．一定会得到相同的数．这个数是　 　 ． 8. 列代数式表示“a的相反数与b的和的平方”是　 ． 9. 长方形的面积为100时，长方形的长和宽的关系是（　　） A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 10. 如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．2.5 B．3.5 C．10 D．19.6 11. 如下表，如果x和y成反比例关系，那么“■”处应填（　　） x 2 3 y 9 ■ A．3 B．5 C．6 D．8 12. 下列各题中的两个量不成反比例关系的是（　　） A．一个由200名学生组成的体操方队，每排学生人数和排数 B．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 C．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 D．一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 13. 如果甲、乙是两个成反比例的量，当甲增加50%时，乙一定会（　　） A．增加50% B．减少50% C．减少 D．减少 学科网（北京）股份有限公司 $