4.2 整式的加法与减法 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“整式的加法与减法”核心知识点，系统梳理同类项的定义与识别、合并同类项法则、去括号与添括号法则、整式加减运算及化简求值等内容，形成从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式”结构强化教学，通过具体题目培养学生抽象能力与运算能力，如结合几何图形面积问题渗透应用意识。课中辅助教师高效授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

第4章 4.2 整式的加法与减法 内 容 导 航 题型1 同类项 题型2 合并同类项 题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减 题型5 整式的加减—化简求值 考 点 演 练 题型1 同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．3xy与﹣2yx C．2x与2x2 D．5xy与5yz 【答案】B． 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 【变式1】已知2x6y2和x3myn是同类项，则2m+n的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【解答】解：根据题意得6＝3m，n＝2， 解得m＝n＝2， 则2m+n＝4+2＝6． 故选：A． 【变式2】已知多项式﹣2x2ym+1﹣xy3+3x2﹣2的次数是5，单项式xyn﹣2与多项式中的四次项是同类项，则m+n的值是（　　） A．7 B．4 C．0 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：根据题意得：2+m+1＝5，n﹣2＝3， 解得：m＝2，n＝5， ∴m+n＝2+5＝7． 故选：A． 【变式3】若代数式3a5bm+1与﹣2anb2是同类项，那么m+n＝　6　 ． 【答案】6 【解答】解：根据题意得：n＝5，m+1＝2， 解得：m＝1， 则m+n＝5+1＝6． 故答案为：6． 题型2 合并同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【典例1】下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．﹣2a2+a2＝﹣a2 C．2a+3b＝5ab D．a2+a2＝a4 【答案】B． 【解答】解：A、2a+a＝3a≠2a2，故A错误； B、﹣2a2+a2＝﹣a2，故B正确； C、2a+3b≠5ab，故C错误； D、a2+a2＝2a2≠a4，故D错误． 故选：B． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．a2+a2＝2a4 C．4a2b+3ba2＝7a2b D．3a3﹣2a2＝a 【答案】C 【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项错误； B、a2+a2＝2a2，故此选项错误； C、4a2b+3ba2＝7a2b，正确； D、3a3﹣2a2，无法计算，故此选项错误； 故选：C． 【变式2】若单项式2x2ym和的和也是单项式，则mn的值为　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝3， ∴mn＝32＝9． 故答案为：9． 【变式3】当k＝　2　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣5﹣xy中不含xy项． 【答案】2． 【解答】解：∵多项式x2+（k﹣1）xy﹣5﹣xy＝（k﹣2）xy+x2﹣5不含xy项， ∴k﹣2＝0， 解得k＝2． 故答案为：2． 题型3 去括号与添括号 解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 【典例1】下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（2x+y）＝﹣2x+y B．3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z C．x﹣（﹣y）＝x﹣y D．2（x﹣y）＝2x﹣y 【答案】B 【解答】解：A、﹣（2x+y）＝﹣2x﹣y，原去括号错误，故此选项不符合题意； B、3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z，原去括号正确，故此选项符合题意； C、x﹣（﹣y）＝x+y，原去括号错误，故此选项不符合题意； D、2（x﹣y）＝2x﹣2y，原去括号错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 【答案】B 【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， A的结果为a﹣b﹣c， B的结果为a﹣b+c， C的结果为a﹣b﹣c， D的结果为a﹣b﹣c， 故选：B． 【变式2】有一道题﹣3（﹣2x2+3x﹣x4）＝6x2﹣9x+□，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写　3x4 ． 【答案】3x4． 【解答】解：根据题意可知，﹣3（﹣2x2+3x﹣x4）＝6x2﹣9x+3x4， ∵6x2﹣9x+3x4＝6x2﹣9x+□， ∴“□”内应填写3x4． 故答案为：3x4． 【变式3】计算下列各题： （1）|1﹣4|＝　3　 ； （2）　5　 ； （3）﹣2（x﹣3）＝　﹣2x+6　 ； （4）1256.485精确到个位是　1256　 ． 【答案】（1）3；（2）5﹣2x+6/6﹣2x；（3）1256． 【解答】解：（1）原式＝|﹣3|＝3， 故答案为：3； （2）原式＝95， 故答案为：5； （3）原式＝﹣2x+6， 故答案为：﹣2x+6； （4）1256.485精确到个位是1256， 故答案为：1256． 题型4 整式的加减 解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【典例1】若多项式mx2+nx+4与﹣x2+4x﹣7y﹣4的和是单项式，则m﹣n的值为（　　） A．5 B．3 C．1 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：mx2+nx+4+（﹣x2+4x﹣7y﹣4）＝（m﹣1）x2+（n+4）x﹣7y， ∵多项式mx2+nx+4与﹣x2+4x﹣7y﹣4的和是单项式， ∴m﹣1＝0，n+4＝0， ∴m＝1，n＝﹣4， ∴m﹣n＝5， 故选：A． 【变式1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 【答案】A 【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）， L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影 ＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b） ＝4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b＝m， ∴4m+4n﹣4（a+2b） ＝4n． 故选：A． 【变式2】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（　　） A．a﹣b B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，大长方形的长为m， 则a+2y＝x+m，2x+b＝y+m， ∴x＝a+2y﹣m，y＝2x+b﹣m， ∴x﹣y＝（a+2y﹣m）﹣（2x+b﹣m）， 即x﹣y＝a+2y﹣m﹣2x﹣b+m， 3x﹣3y＝a﹣b， ∴x﹣y， 即小长方形的长与宽的差是， 故选：C． 【变式3】已知x＞y＞m＞n，从x、y、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对﹣A+|B|进行化简运算，称此为“和差操作”．例如：﹣（y﹣n）+|m﹣x|＝﹣y+n﹣m+x＝x﹣y﹣m+n为一次“和差操作”，x﹣y﹣m+n为“和差操作”的一种运算结果．下列说法正确的是（　　） A．不存在一种“和差操作”运算结果为﹣x+y﹣m+n B．存在两种“和差操作”运算结果的和为0 C．不存在两种“和差操作”运算结果的差为2m+2n D．所有的“和差操作”共有5种不同运算结果 【答案】B 【解答】解：∵x＞y＞m＞n，从x，y，m，n中选两个作差记为A，剩下两个作差取绝对值记为B，计算﹣A+|B|． 列举所有12种情况，化简后得到5种不同结果：①﹣x+y+m﹣n②x﹣y+m﹣n③x+y﹣m﹣n④﹣x+y﹣m+n⑤x﹣y﹣m+n A、④即为﹣x+y﹣m+n，故存在，A错误． B、①和⑤的和为0，故存在两种结果和为0，B正确， C、取x＝4，y＝3，m＝2，n＝1，③为4，④为﹣2，差为6＝2m+2n，故存在，C错误． D、当①和⑤都为0时，只存在4种不同运算结果，故D错误； 故选：B． 题型5 整式的加减—化简求值 解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【典例1】已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【答案】B 【解答】解：∵2x﹣3y﹣2＝1， ∴2x﹣3y＝3， ∴原式＝4x+2y﹣4z﹣8y+4z+6 ＝4x﹣6y+6 ＝2（2x﹣3y）+6 ＝2×3+6＝12． 故选：B． 【变式1】对于一个四位正整数m，若满足各个数位上的数字均不为0且互不相等，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和同数”．将m的千位数字与百位数字对调得到新数m1，将m的十位数字与个位数字对调得到新数m2，记，若n是最小的“和同数”，则F（n）＝　9　 ；若s，t都是“和同数”，s＝2001+100x+10y，t＝1000a+870+b（x，y，a，b都是整数，1≤x，y，a，b≤9），记，且2F（s）+F（t）能被7整除，当k最大时，此时s+t的值为　9746　 ． 【答案】①9；②9746． 【解答】解：对于一个四位正整数m，若满足各个数位上的数字均不为0且互不相等，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和同数”． ①∵四位正整数的千位最小为1，百位最小为2（数字≠0且互不相等），且“和同数”需满足“千位+十位＝百位+个位”，即1+十位＝2+个位， ∴十位＝个位+1， 又∵十位需≠1、2且最小， ∴十位取4，个位取3， ∴最小和同数n＝1243， 将m的十位数字与个位数字对调得到新数m2，记， ∵n＝1243，千位与百位对调得m1＝2143，十位与个位对调得m2＝1234， ∴； 故答案为：9； ②∵s＝2001+100x+10y＝2×1000+x×100+y×10+1（千位＝2，百位＝x，十位＝y，个位＝1），且s是“和同数”，需满足“千位+十位＝百位+个位”， ∴2+y＝x+1，即y＝x﹣1， ∵千位与百位对调得m1'＝x×1000+2×100+y×10+1，十位与个位对调得m2'＝2×1000+x×100+1×10+y， ∴m1'﹣m2'＝（1000x+200+10y+1）﹣（2000+100x+10+y）＝900x+9y﹣1809，代入y＝x﹣1，得m1'﹣m2'＝909x﹣1818， ∴， ∵t＝1000a+870+b＝a×1000+8×100+7×10+b（千位＝a，百位＝8，十位＝7，个位＝b），且t是“和同数”，需满足“千位+十位＝百位+个位”， ∴a+7＝8+b，即b＝a﹣1， ∵千位与百位对调得m1''＝8×1000+a×100+7×10+b，十位与个位对调得m2''＝a×1000+8×100+b×10+7， ∴m1''﹣m2''＝（8000+100a+70+b）﹣（1000a+800+10b+7）＝﹣900a﹣9b+7263，代入b＝a﹣1，得m1''﹣m2''＝﹣909a+7272， ∴， ∵，要使k最大，需综合考虑x、a的取值与2F（s）+F（t）＝18x﹣9a+36能被7整除，经检验，当a＝6，x＝8时，k取得满足条件的最大值， ∴x＝8，a＝6， ∵x＝8，y＝x﹣1＝7， ∴s＝2001+100×8+10×7＝2871， ∵a＝6，b＝a﹣1＝5， ∴t＝1000×6+870+5＝6875， ∴s+t＝2871+6875＝9746． 故答案为：9746． 【变式2】先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣3． 【答案】2x2﹣xy；14． 【解答】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+5xy ＝2x2﹣xy； 当x＝2，y＝﹣3时， 原式＝2×22﹣2×（﹣3）＝8+6＝14． 【变式3】已知A和B是关于x，y的两个多项式，A＝x2﹣xy+1，B＝2x2﹣3xy﹣2x+1． （1），求3A﹣（A+B）的值； （2）若3A﹣（A+B）的值与x无关，求y的值． 【答案】（1）； （2）﹣2． 【解答】解：（1）根据题意可知，，|y﹣2|≥0， ∴，|y﹣2|＝0， ∴，y﹣2＝0， 解得：，y＝2， ∴3A﹣（A+B） ＝3A﹣A﹣B ＝2A﹣B ＝2（x2﹣xy+1）﹣（2x2﹣3xy﹣2x+1） ＝2x2﹣2xy+2﹣2x2+3xy+2x﹣1 ＝xy+2x+1， 当，y＝2时， ∴； （2）由（1）知，3A﹣（A+B）＝xy+2x+1＝（y+2）x+1， ∵3A﹣（A+B）的值与x的取值无关， ∴y+2＝0， 解得：y＝﹣2． 过 关 验 收 1. 若amb与﹣2a5bn是同类项，则（　　） A．m＝5，n＝0 B．m＝5，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝0 【答案】B 【解答】解：若amb与﹣2a5bn是同类项，则m＝5，n＝1． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．﹣52a2b的次数是5 C．﹣3a2b4c与是同类项 D．32x2y+2xy﹣7是五次三项式 【答案】C 【解答】解：的系数是，故A错误，不符合题意； ﹣52a2b的次数是3，故B错误，不符合题意； ﹣3a2b4c与是同类项，故C正确，符合题意； 32x2y+2xy﹣7是三次三项式，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3. 若3x6ya与是同类项，则（b﹣a）2024的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C． 【解答】解：由同类项的定义可知b+5＝6，a＝2， 解得a＝2，b＝1， ∴（b﹣a）2024＝（1﹣2）2024＝1． 故选：C． 4. 若单项式7xa+2yb﹣2和﹣3x2a﹣1y3是同类项，则a和b的值是（　　） A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝3，b＝5 C．a＝﹣3，b＝5 D．a＝3，b＝1 【答案】B． 【解答】解：由同类项的定义可知a+2＝2a﹣1，b﹣2＝3， 解得a＝3，b＝5． 故选：B． 5. 在下列计算中，正确的是（　　） A．﹣7ab+6ab＝﹣ab B． C．a﹣a2＝﹣a D．5a2﹣（﹣a2）＝4a2 【答案】A． 【解答】解：A、﹣7ab+6ab＝﹣ab，故A正确； B、，故B错误； C、a﹣a2≠﹣a，故C错误； D、5a2﹣（﹣a2）＝6a2≠4a2，故D错误． 故选：A． 6. 已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【解答】解：由题意得： m+1＝3，n﹣1＝1， ∴m＝2，n＝2， 故选：A． 7. 如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且OA+OB＝OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＜0；③a﹣c＝b；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：由题意可知：c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|， ∴abc＞0， ∴①错误； ∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|， ∴b+c＜0， ∴a（b+c）＞0， ∴②错误； ∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|， ∴﹣a+b＝﹣c， ∴a﹣c＝b， ∴③正确； ∵ ＝﹣1+1﹣1 ＝﹣1， ∴④错误， ∴正确的个数有1个． 故选：A． 8. 若单项式3x4yn与﹣2x2m+3y3的和仍是单项式，则（4m﹣n）n等于（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：由题意得：2m+3＝4，n＝3， 解得：m， （4m﹣n）n＝（2﹣3）3＝﹣1， 故选：D． 9. 下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a+（﹣b﹣c） C．a﹣（b﹣c） D．（﹣c）+（a﹣b） 【答案】C 【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，不合题意； B、a+（﹣b﹣c）＝a﹣b﹣c，不合题意； C、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c与a﹣b﹣c的值不相等，符合题意； D、（﹣c）+（a﹣b）＝a﹣b﹣c，不合题意； 故选：C． 10. 下列等式一定成立的有（　　） ①﹣a+b＝﹣（a﹣b）， ②（﹣2）3＝﹣6， ③﹣|2|＝|﹣2|， ④30﹣x＝5（6﹣x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①﹣a+b＝﹣（a﹣b），故①正确； ②（﹣2）3＝﹣8，故②错误； ③﹣|2|＝﹣2，|﹣2|＝2，因此﹣|2|≠|﹣2|，故③错误； ④5（6﹣x）＝30﹣5x≠30﹣x，故④错误； 综上分析可知，一定成立的有1个，故A正确． 故选：A． 11. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣6+3﹣4﹣5的是（　　） A．+（﹣6）+（+3）﹣（+4）+（﹣5） B．（﹣6）+（+3）+（﹣4）﹣（﹣5） C．（﹣6）﹣（+3）﹣（﹣4）+（﹣5） D．﹣（+6）﹣（﹣3）﹣（﹣4）+（﹣5） 【答案】A 【解答】解：A：+（﹣6）+（+3）﹣（+4）+（﹣5）＝﹣6+3﹣4﹣5，故此选项符合题意； B：（﹣6）+（+3）+（﹣4）﹣（﹣5）＝﹣6+3﹣4+5≠﹣6+3﹣4﹣5，故此选项不符合题意； C：（﹣6）﹣（+3）﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣6﹣3+4﹣5≠﹣6+3﹣4﹣5故此选项不符合题意； D：﹣（+6）﹣（﹣3）﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣6+3+4﹣5≠﹣6+3﹣4﹣5故此选项不符合题意； 故选：A． 12. 下列结论正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a+b B．若a＞b，则|a|＞|b| C．0.298（精确到0.01）≈0.300 D． 近似数2.40万是精确到千位 【答案】A 【解答】解：去括号的法则，绝对值，求解近似数，逐项判断如下： A、﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故A正确，符合题意； B、当a＞b＞0时，则|a|＞|b|，故B错误，不符合题意； C、0.298（精确到0.01）≈0.30，故C错误，不符合题意； D、近似数2.40万是精确到百位，故D错误，不符合题意． 故选：A． 13. 多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含二次项，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C 【解答】解：∵多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3相加后不含x的二次项， ∴﹣8x2+2mx2＝（2m﹣8）x2， ∴2m﹣8＝0， 解得m＝4． 故选：C． 14. 将一个三位数的中间数字去掉变为一个两位数，若满足，则a、b满足的关系为（　　） A．a＝3b B．b＝2a C．a＝2b D．b＝3a 【答案】D 【解答】解：根据题所给的等量关系列出等式得， ∴100a+10b+5＝10a+5+40b， ∴b＝3a， 故选：D． 15. 如果多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】C 【解答】解：x2﹣kxy+2y2+5x2﹣xy ＝6x2﹣（k+1）xy+2y2， ∵多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项， ∴k+1＝0， 解得：k＝﹣1． 故选：C． 16. 在多项式﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）（其中0＜x1＜x2＜x3＜x4）中，把每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个“数”，该多项式的四个“数”依次为“数﹣x1”，“数+x2”，“数﹣x3”，“数+x4”．若将任意两个“数”交换位置后，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）的“交换绝对操作”．例如，对﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）的“数﹣x1”和“数﹣x3”进行“交换绝对操作”，得到|﹣x3+x2﹣（﹣x1+x4）|，将其化简为﹣x1﹣x2+x3+x4，下列说法中，正确的有（　　）个． ①不存在“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②只有一种“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换绝对操作”共有4种不同的运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：对“数﹣x1”和“数+x2进行“交换绝对操作”，得到|x2﹣x1﹣（﹣x3+x4）|＝x1﹣x2﹣x3+x4或﹣x1+x2+x3﹣x4； 对“数﹣x”和“数﹣x3”进行“交换绝对操作”，得到|﹣x3+x2﹣（﹣x1+x4）|＝﹣x1﹣x2+x3+x4； 对“数﹣x”和“数+x4进行“交换绝对操作”，得到|x4+x2﹣（﹣x3﹣x1）|＝x1+x2+x3+x4； 对“数+x2“和数﹣x3“进行“交换绝对操作”，得到|﹣x1﹣x3﹣（x2+x4）|＝x1+x2+x3+x4； 对“数+x2“和“数+x4”进行“交换绝对操作”，得到|﹣x1+x4﹣（﹣x3+x2）|＝﹣x1﹣x2+x3+x4； 对“数﹣x3“和“数+x4进行“交换绝对操作”，得到|﹣x1+x2﹣（x4﹣x3）|＝x1﹣x2﹣x3+x4或x1+x2+x3﹣x4； ∴由以上“交换绝对操作”可得，存在“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故①错误； 有2种“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误； 所有的“交换绝对操作”共有4种不同的运算结果，故③正确； ∴正确的有1个． 故选：B． 17. 先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b ＝2a2b﹣4ab﹣3a2b+9ab+a2b ＝5ab． 当a＝﹣2，时， 原式＝5×（﹣2） ＝﹣2． 18. 已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy． （1）化简2A﹣3B． （2）当x+y，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）2A﹣3B ＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy） ＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy ＝7x+7y﹣11xy， （2）∵x+y，xy＝﹣1， ∴2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝711×（﹣1）＝6+11＝17． 19. 已知：A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy， ∴A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2x2+2xy＝5xy+2y﹣1； （2）∵（x+1）2+|y﹣2|＝0， ∴x＝﹣1，y＝2， 则A﹣2B＝﹣10+4﹣1＝﹣7； （3）A﹣2B＝5xy+2y﹣1＝（5x+2）y﹣1， 由结果与y的取值无关，得到5x+2＝0， 解得：x． 20. 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　5　 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+2的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+7的值． （2）若x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为7，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+2的值． 【拓展应用】 （3）若10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1，求5（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 【答案】（1）﹣9； （2）﹣4； （3）． 【解答】解：（1）由条件可知x2+x+2＝10， ∴x2+x＝8， ∴﹣2x2﹣2x+7＝﹣2（x2+x）+7＝﹣2×8+7＝﹣9； （2）∵当x＝2时，ax3+bx+1＝8a+2b+1＝7， ∴8a+2b＝6， ∴当x＝﹣2时，ax3+bx+2＝﹣8a﹣2b+2＝﹣（8a+2b）+2＝﹣6+2＝﹣4； （3）∵10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1， ∴， ∴原式＝5m﹣5n﹣2n+2mn ＝5m﹣7n+2mn ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.2 整式的加法与减法 内 容 导 航 题型1 同类项 题型2 合并同类项 题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减 题型5 整式的加减—化简求值 考 点 演 练 题型1 同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．2x2y与2xy2 B．3xy与﹣2yx C．2x与2x2 D．5xy与5yz 【变式1】已知2x6y2和x3myn是同类项，则2m+n的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【变式2】已知多项式﹣2x2ym+1﹣xy3+3x2﹣2的次数是5，单项式xyn﹣2与多项式中的四次项是同类项，则m+n的值是（　　） A．7 B．4 C．0 D．﹣1 【变式3】若代数式3a5bm+1与﹣2anb2是同类项，那么m+n＝　 　 ． 题型2 合并同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【典例1】下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝2a2 B．﹣2a2+a2＝﹣a2 C．2a+3b＝5ab D．a2+a2＝a4 【变式1】下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．a2+a2＝2a4 C．4a2b+3ba2＝7a2b D．3a3﹣2a2＝a 【变式2】若单项式2x2ym和的和也是单项式，则mn的值为　 　 ． 【变式3】当k＝　　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣5﹣xy中不含xy项． 题型3 去括号与添括号 解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 【典例1】下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（2x+y）＝﹣2x+y B．3x﹣（2y+z）＝3x﹣2y﹣z C．x﹣（﹣y）＝x﹣y D．2（x﹣y）＝2x﹣y 【变式1】下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 【变式2】有一道题﹣3（﹣2x2+3x﹣x4）＝6x2﹣9x+□，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写　 ． 【变式3】计算下列各题： （1）|1﹣4|＝ 　 ； （2）　 　 ； （3）﹣2（x﹣3）＝　 　 ； （4）1256.485精确到个位是　 　 ． 题型4 整式的加减 解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【典例1】若多项式mx2+nx+4与﹣x2+4x﹣7y﹣4的和是单项式，则m﹣n的值为（　　） A．5 B．3 C．1 D．﹣3 【变式1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 【变式2】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（　　） A．a﹣b B． C． D． 【变式3】已知x＞y＞m＞n，从x、y、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对﹣A+|B|进行化简运算，称此为“和差操作”．例如：﹣（y﹣n）+|m﹣x|＝﹣y+n﹣m+x＝x﹣y﹣m+n为一次“和差操作”，x﹣y﹣m+n为“和差操作”的一种运算结果．下列说法正确的是（　　） A．不存在一种“和差操作”运算结果为﹣x+y﹣m+n B．存在两种“和差操作”运算结果的和为0 C．不存在两种“和差操作”运算结果的差为2m+2n D．所有的“和差操作”共有5种不同运算结果 题型5 整式的加减—化简求值 解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【典例1】已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【变式1】对于一个四位正整数m，若满足各个数位上的数字均不为0且互不相等，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和同数”．将m的千位数字与百位数字对调得到新数m1，将m的十位数字与个位数字对调得到新数m2，记，若n是最小的“和同数”，则F（n）＝　 　 ；若s，t都是“和同数”，s＝2001+100x+10y，t＝1000a+870+b（x，y，a，b都是整数，1≤x，y，a，b≤9），记，且2F（s）+F（t）能被7整除，当k最大时，此时s+t的值为　 　 ． 【变式2】先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣3． 【变式3】已知A和B是关于x，y的两个多项式，A＝x2﹣xy+1，B＝2x2﹣3xy﹣2x+1． （1），求3A﹣（A+B）的值； （2）若3A﹣（A+B）的值与x无关，求y的值． 过 关 验 收 1. 若amb与﹣2a5bn是同类项，则（　　） A．m＝5，n＝0 B．m＝5，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝0 2. 下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．﹣52a2b的次数是5 C．﹣3a2b4c与是同类项 D．32x2y+2xy﹣7是五次三项式 3. 若3x6ya与是同类项，则（b﹣a）2024的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4. 若单项式7xa+2yb﹣2和﹣3x2a﹣1y3是同类项，则a和b的值是（　　） A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝3，b＝5 C．a＝﹣3，b＝5 D．a＝3，b＝1 5. 在下列计算中，正确的是（　　） A．﹣7ab+6ab＝﹣ab B． C．a﹣a2＝﹣a D．5a2﹣（﹣a2）＝4a2 6. 已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 7. 如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且OA+OB＝OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＜0；③a﹣c＝b；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8. 若单项式3x4yn与﹣2x2m+3y3的和仍是单项式，则（4m﹣n）n等于（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 9. 下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a+（﹣b﹣c） C．a﹣（b﹣c） D．（﹣c）+（a﹣b） 10. 下列等式一定成立的有（　　） ①﹣a+b＝﹣（a﹣b）， ②（﹣2）3＝﹣6， ③﹣|2|＝|﹣2|， ④30﹣x＝5（6﹣x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11. 不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣6+3﹣4﹣5的是（　　） A．+（﹣6）+（+3）﹣（+4）+（﹣5） B．（﹣6）+（+3）+（﹣4）﹣（﹣5） C．（﹣6）﹣（+3）﹣（﹣4）+（﹣5） D．﹣（+6）﹣（﹣3）﹣（﹣4）+（﹣5） 12. 下列结论正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a+b B．若a＞b，则|a|＞|b| C．0.298（精确到0.01）≈0.300 D．近似数2.40万是精确到千位 13. 多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含二次项，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 14. 将一个三位数的中间数字去掉变为一个两位数，若满足，则a、b满足的关系为（　　） A．a＝3b B．b＝2a C．a＝2b D．b＝3a 15. 如果多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 16. 在多项式﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）（其中0＜x1＜x2＜x3＜x4）中，把每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个“数”，该多项式的四个“数”依次为“数﹣x1”，“数+x2”，“数﹣x3”，“数+x4”．若将任意两个“数”交换位置后，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）的“交换绝对操作”．例如，对﹣x1+x2﹣（﹣x3+x4）的“数﹣x1”和“数﹣x3”进行“交换绝对操作”，得到|﹣x3+x2﹣（﹣x1+x4）|，将其化简为﹣x1﹣x2+x3+x4，下列说法中，正确的有（　　）个． ①不存在“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②只有一种“交换绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换绝对操作”共有4种不同的运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 17. 先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，． 18. 已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy． （1）化简2A﹣3B． （2）当x+y，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值． 19. 已知：A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 20. 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　 　 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+2的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+7的值． （2）若x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为7，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+2的值． 【拓展应用】 （3）若10m﹣14n＝﹣5，mn＝﹣1，求5（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 学科网（北京）股份有限公司 $