5.2勾股定理及其逆定理（第2课时勾股定理的应用）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，课堂导入先回顾勾股定理内容及“直角三角形”前提条件，新知探究从数轴表示无理数（如√2、√3）过渡到实际问题（梯子移动），搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于注重转化与建模思想，通过古代芦苇问题、台风折断旗杆等实例，引导学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理（如列方程求解）、用数学语言建模。课堂小结明确两种应用情形，助力学生提升问题解决能力，教师可高效备课。

湘教版2024·八年级上册 5.2勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 第5章 直角三角形 导入新课 勾股定理: a 2 + b 2 = c 2 c b a 注意:运用勾股定理必须满足前提条件：在直角三角形中.同时还要明确直角三角形的直角边与斜边. 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方. 学 习 目 标 1 2 3 能运用勾股定理解决简单的实际问题。（重点） 通过例题的分析和解决，感受勾股定理在实际生活中的应用（重点） 能运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用勾股定理来解（难点） 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点? 新知探究 说一说 如图，当两条直角边都为1时 由勾股定理可知: 该直角三角形的斜边OA1= 以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点 如图，当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为， 以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 你能在数轴上作出 表示的点吗? · · 图5.2-7是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图，假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m?(已知≈3.71，≈3.87) 新知探究 思 考 分析：根据已知条件可抽象出示意图，分别在 Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计算出AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 新知探究 解：如图， 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 于是，AB= =≈3.71(m). 在Rt△A'BC'中，A'C'=4m,BC'=1m，由勾股定理得，A'B= = ≈3.87(m)， 因此A'A=A'B-AB≈3.87-3.71=0.16(m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m. 典例分析 例3 (古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?”“意思是:有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少? 5尺 1尺 水池 分析： 根据题意，先画出水池截面示意图，设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. B A C B’ 典例分析 解 如图，设水深x尺，则AC=x尺， AB=AB'=(x+1)尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形所以BC=5尺. 在Rt△ACB'中，根据勾股定理得， x²+5=(x+1)², 解得 x=12. 故芦苇长为13尺. 答:水深为12尺，芦苇长为13尺 在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 新知探究 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 1、在解决实际问题时， 首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型， 再运用勾股定理解决实际问题。 总结归纳 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 新知应用 基础巩固题 1.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 米． 8 6 10 A B C 2.如图，数轴上的点A所表示的数为（    ） A． B． C． D． C 新知应用 基础巩固题 3．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 D 4.如图，一艘轮船在小岛A的北偏东600方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西450的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时. +20) 新知应用 基础巩固题 5.在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 D 新知应用 基础巩固题 6.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 C 新知应用 基础巩固题 7.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向;40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向，如图所示.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问:这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险? 北 东 A C 600 300 ∟ D B (提示：过点C作CD⊥AB于点D) 构造直角三角形 新知应用 基础巩固题 解: 如图所示,过北点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 由题意知AB=1812(海里)， ∠CAB = 90°-60°= 30°，∠ABC=90°+30°=120°， 所以∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-120°=30°， 所以∠CAB= ∠ACB，所以CB=AB=12海里. 因为∠BCD =30°， 所以 BD =BC =6 海里. 在 Rt△BCD中,由勾股定理,得 CD = ==6(海里)， 即渔船继续向东行驶,距离小岛C的最短距离是6海里. 因为6>10,所以不会有触礁的危险. 北 A C 300 ∟ D B 东 600 新知应用 基础巩固题 8. AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电线 CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线，如图所示，已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计). 实际问题 数学问题 转化 建模 构造直角三角形 (提示：过点D作DF⊥AE于点F) 新知应用 基础巩固题 ∟ ∟ E A B D C 600 12m 8m 6m ∟ F 解:如图所示,过点D作DF⊥AE,垂足为点F， 则四边形ABDF为长方形， 所以DF =AB =8 m,AF=BD =6 m, EF=AE -AF=12-6 =6(m). 在 Rt△EFD中,由勾股定理,得 DE = = =10(m). 在 Rt△BCD中,∠DBC=90°,BD=6 m,∠BCD =60°,所以∠BDC =30°,所以 BC =CD. 设BC =xm,则CD=2x m, 由勾股定理,得BD² =CD² - BC² , 即 6² =(2x)² -x² ,所以 3x² =36， 解得x =2(负值舍去),2x =4， 所以 L=DE+DC =(10 +4)m, 即电线CDE的总长L为(10 +4√3)m. 新知应用 能力提升题 9. 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） A B A B A' B' 解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 答：梯子最短需13米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 新知应用 能力提升题 10. 如图，小明和小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？ 解：因为∠BEA=∠BAE=45°， 所以∠ABC=∠BAC=15° E 所以BC=AC=2km， 在Rt△BCD中，CD=1km， 所以主峰高度为 新知应用 能力提升题 11、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 解：设AE= x km， 解得：x=10 则 BE=（25-x）km C A E B D x 25-x 15 10 分析：由条件知：DE=CE 得：152+x2=(25-x)2+102 答：E站应建在离A站10km处. 利用勾股定理，列方程，解决实际问题。 课堂小结 1.数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 (2).在直角三角形中，知道一边及另两边关系，可以求出未知的两边. (1).在直角三角形中，已知两边，可以求出第三边. 2.两种情形： 感谢聆听! $