2.1 机械振动 简谐运动（重难点训练）物理沪科版选择性必修第一册

**基本信息** 以题型为载体，系统整合机械振动概念、图像分析方法及表达式应用，构建“概念-图像-公式”三阶逻辑体系，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |机械振动与全振动的理解|1+3|通过弹簧振子模型辨析振动特征，明确全振动判定及振幅影响因素|从振动定义到理想模型，建立“平衡位置-回复力-全振动”概念链| |简谐运动的图像分析|1+3|“读图四步”（振幅-周期-位移-方向），结合振动状态比较加速度与速度|以x-t图像为工具，实现运动过程可视化与物理量关联| |简谐运动的表达式与相位|1+3|掌握x=Acos(2πt/T+φ)及相位差分析，关联匀速圆周运动投影模型|从描述量到数学表达，深化“运动规律-数学公式-物理本质”逻辑|

2.1 机械振动　简谐运动（题型突破） 题型01 机械振动与全振动的理解 题型02 简谐运动的图像分析 题型03 简谐运动的表达式与相位 ▌题型01 机械振动与全振动的理解 1．机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动，简称振动。两个基本特征——有平衡位置、运动具有往复性。 2．弹簧振子：由小球和轻质弹簧构成的理想模型，平衡位置处合力为零，是研究简谐运动的典型对象。 3．全振动：物体从某一位置出发，第一次回到该位置且运动方向相同的过程；一次全振动对应一个周期T，路程为 4A。 4．自由振动：没有能量损耗、只在回复力作用下的振动。 1.如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端连接着小球，小球静止时位于O点。第一次竖直向下拉动小球至P点后由静止释放，第二次竖直向下拉动小球至P点下方的Q点后由静止释放，两次小球均在竖直平面内做简谐运动。下列说法正确的是（     ） A．小球两次运动的过程中机械能均守恒 B．小球第一次做简谐运动的振幅比第二次的小 C．小球第二次做简谐运动的平衡位置在O点下方 D．小球第一次做简谐运动的最大加速度比第二次的大 【举一反三】 2.如图所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动，周期为，则下列说法正确的是（     ） A．若时间内头部的位移大小等于一个振幅，则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻头部的加速度相同，则振子的速度一定相同 C．若，则在时刻和时刻头部的速度大小一定相等 D．若，则在时刻和时刻弹簧的长度不一定相等 3.如图甲所示的“笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，小人不停上下振动，非常有趣。可将其抽象成如图乙所示的模型，头部质量为，弹簧质量不计，劲度系数为，底部质量为。已知当弹簧形变量为时，其弹性势能，不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，则下列判断中正确的是（     ） A．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，底部不离开桌面，下压最大距离为 B．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，底部不离开桌面压力做功最大值为 C．若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为 D．若刚释放时头部的加速度大小为，则小人在运动过程中头部的最大速度为 4.(多选)图为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，底座的质量为m。按压公仔头部使弹簧压缩，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动（公仔头部可视为质点）。重力加速度大小为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．公仔头部有最大速度时，头部在平衡位置，此时弹簧的压缩量为 B．公仔头部做简谐运动的振幅为 C．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度大小为 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座的支持力大小为6mg ▌题型02 简谐运动的图像分析 1．简谐运动：x-t图像是正弦（或余弦）曲线的振动，是最简单、最基本的振动；x-t图像不是物体的运动轨迹。 2．读图四步：①看振幅——图线最大纵坐标即A；②看周期——相邻两个相同振动状态间的时间间隔即T；③读位移——某时刻纵坐标即该时刻相对平衡位置的位移；④判方向——由图线升降判断位移变化趋势与速度方向。 3．同一位置比较：位移相同、加速度相同；速度大小相同而方向可能相反。 5.某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。O、P、Q是木筷上等间距的各点，静止时O点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则木筷做简谐振动的周期为（　　） A．12s B．4s C．6s D．3s 【举一反三】 6.如图所示是某弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．弹簧振子的振幅为10cm B．在时，弹簧振子的速度为零 C．0~2.0s时间内，弹簧振子的路程为50cm D．该弹簧振子的振动方程为 7.如图，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，重力加速度为。求： (1)当运动到最低点时，平台给物体的支持力大小。 (2)求弹簧的劲度系数和最大弹性势能。（弹性势能表达式为） 8.如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（     ） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 ▌题型03 简谐运动的表达式与相位 1．描述量：振幅A（m）、周期T（s）、频率f（Hz），关系f=1/T。 2．表达式：x=Acos(2πt/T)（或正弦）；一般式x=Acos(2πt/T+φ)，φ 为初相位。 3．与匀速圆周运动：做匀速圆周运动的物体在任一条直径上的投影做简谐运动。 4．相位 Φ=2πt/T+φ 与振动状态一一对应；相位差 Δφ 为 π 的奇数倍时反相，为 0 或 2π 的整数倍时同相。 9.如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 【举一反三】 10.玻璃管竖直漂浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。将玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．回复力等于重力和浮力的合力 B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 C．若按压的深度增加到5cm，则玻璃管上下振动的周期将变大 D．在时间内，位移减小，加速度增大 11.简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动。 a、请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为m，地球质量为M、半径为R，引力常量为G。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a、已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据简谐运动的周期以及匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； 12.(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，时刻振子的位移；时刻；时刻。该振子的振幅和周期可能为（     ） A．2 m， B．2 m，2 s C．1 m， D．1 m， 2 s 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 机械振动　简谐运动（题型突破） 题型01 机械振动与全振动的理解 题型02 简谐运动的图像分析 题型03 简谐运动的表达式与相位 ▌题型01 机械振动与全振动的理解 1．机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动，简称振动。两个基本特征——有平衡位置、运动具有往复性。 2．弹簧振子：由小球和轻质弹簧构成的理想模型，平衡位置处合力为零，是研究简谐运动的典型对象。 3．全振动：物体从某一位置出发，第一次回到该位置且运动方向相同的过程；一次全振动对应一个周期T，路程为 4A。 4．自由振动：没有能量损耗、只在回复力作用下的振动。 1.如图所示，轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端连接着小球，小球静止时位于O点。第一次竖直向下拉动小球至P点后由静止释放，第二次竖直向下拉动小球至P点下方的Q点后由静止释放，两次小球均在竖直平面内做简谐运动。下列说法正确的是（     ） A．小球两次运动的过程中机械能均守恒 B．小球第一次做简谐运动的振幅比第二次的小 C．小球第二次做简谐运动的平衡位置在O点下方 D．小球第一次做简谐运动的最大加速度比第二次的大 【答案】B 【解析】A．在小球运动的过程中，弹簧的弹力对小球做功，因此小球自身的机械能不守恒，而是小球与弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误； B．小球静止时的位置为平衡位置，即点为两次简谐运动的平衡位置，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，由于两次都是从静止释放，释放点即为最大位移处，因为，所以第一次的振幅比第二次的小，故B正确； C．平衡位置是物体静止时的位置，此时重力与弹簧弹力平衡，即，由于小球的重力和弹簧的劲度系数均未改变，所以两次简谐运动的平衡位置都在点，故C错误； D．根据简谐运动的特征，物体在最大位移处（即释放点）所受的回复力最大，加速度也最大，由可知，振幅越大，最大加速度越大，因此第一次做简谐运动的最大加速度比第二次的小，故D错误。 故选B。 【举一反三】 2.如图所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动，周期为，则下列说法正确的是（     ） A．若时间内头部的位移大小等于一个振幅，则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻头部的加速度相同，则振子的速度一定相同 C．若，则在时刻和时刻头部的速度大小一定相等 D．若，则在时刻和时刻弹簧的长度不一定相等 【答案】C 【解析】A．只有当位移的初位置在平衡位置、末位置在最大位移处（或反之）时，位移大小为振幅时，才等于。若初位置不在平衡位置或最大位移处，也可以出现位移大小等于振幅的情况，此时不是的整数倍，故A错误； B．简谐运动中加速度，加速度相同说明位移相同，即头部在同一位置；振子经过同一位置时速度方向可能相反，因此速度不一定相同，故B错误； C．根据简谐运动的性质，若时间间隔，则位移相反，加速度相反，速度大小相等、方向相反，因此速度大小一定相等，故C正确； D．简谐运动经过一个周期，头部运动状态完全重复，会回到原位置，因此弹簧的形变量和长度一定相等，故D错误。 故选C。 3.如图甲所示的“笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，小人不停上下振动，非常有趣。可将其抽象成如图乙所示的模型，头部质量为，弹簧质量不计，劲度系数为，底部质量为。已知当弹簧形变量为时，其弹性势能，不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，则下列判断中正确的是（     ） A．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，底部不离开桌面，下压最大距离为 B．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释放，底部不离开桌面压力做功最大值为 C．若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为 D．若刚释放时头部的加速度大小为，则小人在运动过程中头部的最大速度为 【答案】C 【解析】A．静置于桌面的弹簧小人，弹簧压缩量为，则 轻压头部后做简谐运动，底部不离开桌面，弹簧的最大伸长量为，则 最大振幅为 则 故下压最大距离为，A错误； B．从平衡位置缓慢下压时最大压力为，有 解得 压力做功最大值为，B错误； C．弹簧的最大压缩量为 则弹簧的最大弹性势能为，C正确； D．若刚释放时头部的加速度大小为，设弹簧的压缩量为，则 得 头部往上运动至弹簧压缩量为时头部速度最大，则 得，D错误。 故选C。 4.(多选)图为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，底座的质量为m。按压公仔头部使弹簧压缩，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动（公仔头部可视为质点）。重力加速度大小为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．公仔头部有最大速度时，头部在平衡位置，此时弹簧的压缩量为 B．公仔头部做简谐运动的振幅为 C．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度大小为 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座的支持力大小为6mg 【答案】BD 【解析】A．根据题意公仔头部有最大速度时，其重力与弹簧弹力平衡，有2mg=kx，可得此时弹簧的压缩量为，故A错误； C．公仔头部在最高点时，对底座受力分析，由平衡条件可知弹簧弹力大小F弹=mg，对公仔头部分析可知，此时回复力有最大值，即F回max=F弹+2mg=3mg 解得此时的加速度大小，故C错误； B．回复力最大值F回max=kA，解得振幅，故B正确； D．根据简谐运动的对称性可知，当公仔头部运动到最低点时，回复力有最大值，即F回max=3mg=F弹1-2mg 解得此时弹簧弹力大小F弹1=5mg 故底座对桌面的压力大小F压=mg+F弹1=6mg 根据牛顿第三定律可知，桌面对底座的支持力大小为6mg，故D正确。 故选BD。 ▌题型02 简谐运动的图像分析 1．简谐运动：x-t图像是正弦（或余弦）曲线的振动，是最简单、最基本的振动；x-t图像不是物体的运动轨迹。 2．读图四步：①看振幅——图线最大纵坐标即A；②看周期——相邻两个相同振动状态间的时间间隔即T；③读位移——某时刻纵坐标即该时刻相对平衡位置的位移；④判方向——由图线升降判断位移变化趋势与速度方向。 3．同一位置比较：位移相同、加速度相同；速度大小相同而方向可能相反。 5.某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。O、P、Q是木筷上等间距的各点，静止时O点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则木筷做简谐振动的周期为（　　） A．12s B．4s C．6s D．3s 【答案】D 【解析】O、P、Q是木筷上等间距的各点,令间距为，则振幅 把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，则振动方程 释放时，P点的位移为 解得图像中P点对应的时刻 令再经历时间后P点进入水面下，则有 一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则有 解得 故选D。 【举一反三】 6.如图所示是某弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．弹簧振子的振幅为10cm B．在时，弹簧振子的速度为零 C．0~2.0s时间内，弹簧振子的路程为50cm D．该弹簧振子的振动方程为 【答案】C 【解析】A．由图可知振幅，故A错误； B．在时，弹簧振子处于平衡位置，速度最大，故B错误； C．则弹簧振子的周期，由于 则弹簧振子的路程，故C正确； D．该弹簧振子的振动方程为，故D错误。 故选C 。 7.如图，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，重力加速度为。求： (1)当运动到最低点时，平台给物体的支持力大小。 (2)求弹簧的劲度系数和最大弹性势能。（弹性势能表达式为） 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）当平台运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，则平台对的支持力也为零；以为研究对象，由牛顿第二定律知 得 方向竖直向下；根据简谐运动的对称性可知，运动到最低点时的加速度大小为，方向竖直向上。则当运动到最低点时，对有 而 解得平台给物体的支持力大小 （2）当运动到最高点时，此时弹簧处于原长状态，根据对称性，当运动到最低点时，弹簧被压缩的长度为，在平衡位置处，有 解得弹簧的劲度系数 所以弹簧最大弹性势能为 解得 8.如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（     ） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 【答案】B 【解析】A．由图可知，在 t1时刻振子正在向正方向运动，速度 ，动量 ；在t2时刻振子处于正向最大位移处，速度 ，动量 。两时刻动量不同，故A错误； B．在t3时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t4时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向。根据简谐运动的对称性，位移大小相等时速度大小相等，即。由于两时刻速度大小相等、方向相同，可知两时刻动量相同，故B正确； C．在t4时刻，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t6时刻，图像切线斜率为正，速度方向沿 轴正方向。两时刻速度方向相反，速度不同，故C错误； D．由图可知，在 t1时刻，位移，在t6 时刻位移 。位移是矢量，方向不同，故位移不同，故D错误。 故选B。 ▌题型03 简谐运动的表达式与相位 1．描述量：振幅A（m）、周期T（s）、频率f（Hz），关系f=1/T。 2．表达式：x=Acos(2πt/T)（或正弦）；一般式x=Acos(2πt/T+φ)，φ 为初相位。 3．与匀速圆周运动：做匀速圆周运动的物体在任一条直径上的投影做简谐运动。 4．相位 Φ=2πt/T+φ 与振动状态一一对应；相位差 Δφ 为 π 的奇数倍时反相，为 0 或 2π 的整数倍时同相。 9.如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 【答案】C 【解析】A．根据图2可知，物块B的振动方程为，故A错误； B．根据图2可知，周期 由于 当B从平衡位置（或远离平衡位置最大距离的位置）开始运动，则0.1s内运动路程为10cm，若从平衡位置到远离平衡位置最大距离的位置之间的某一位置开始运动，当B初速度方向远离平衡位置时，0.1s内运动的路程小于10cm，当B初速度方向靠近平衡位置时，0.1s内运动的路程大于10cm，故B错误； C．当解锁A后，对A、B与弹簧构成的系统，只有弹簧弹力做功，则系统的机械能守恒，由于系统所受外力的合力为0，则系统的动量守恒，即解锁A后，系统的机械能和动量都守恒，在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，由于刚刚解锁时，B的速度为0，则系统的机械能相同，系统的动量均为零，故C正确； D．根据简谐运动的对称性可知，在0.05s时刻或0.35s时刻解锁时，B的速度相同，结合上述可知，系统的机械能相同，系统的动量也相同，动量均不为零，故D错误。 故选C。 【举一反三】 10.玻璃管竖直漂浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。将玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．回复力等于重力和浮力的合力 B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 C．若按压的深度增加到5cm，则玻璃管上下振动的周期将变大 D．在时间内，位移减小，加速度增大 【答案】A 【解析】A．玻璃管在水中竖直漂浮并上下振动，对其进行受力分析可知，它在竖直方向上仅受向下的重力和向上的浮力。当玻璃管偏离平衡位置时，正是重力和浮力的合力始终指向平衡位置，充当了玻璃管做简谐运动的回复力。故A正确； B．在玻璃管振动的过程中，不仅重力在做功，水的浮力也在对玻璃管做功。浮力做功导致玻璃管的机械能与水的机械能之间发生转移，因此玻璃管自身的机械能是不守恒的。故B错误； C．根据简谐运动的“等时性”规律，弹簧振子或浮子模型的振动周期仅由系统本身的性质决定，而与振幅大小完全无关。将按压深度由增加到，只是增大了振幅，玻璃管上下振动的周期将保持不变。故C错误； D．由图乙可知，时刻玻璃管处于负向最大位移处（最低点），时刻玻璃管回到平衡位置（）。所以在时间内，玻璃管向着平衡位置运动，其位移大小不断减小。根据简谐运动加速度的特征公式可知，加速度的大小与位移的大小成正比，因此加速度的大小也在不断减小，而不是增大。故D错误。 故选A。 11.简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动。 a、请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为m，地球质量为M、半径为R，引力常量为G。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a、已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据简谐运动的周期以及匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； 【答案】(1)见解析 (2)a、见解析；b、 【解析】（1）a、设经过时间t小球与圆心连线转过的角度为，小球A的“影子”的位移为 又因为 解得 所以，小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动； （2）a、设质点偏离地心的位移为x，根据万有引力定律得 又因为 解得 质点所受的万有引力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，方向与位移方向相反，所以质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据 得 简谐运动的周期为 列车通过隧道所用的时间 解得 12.(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，时刻振子的位移；时刻；时刻。该振子的振幅和周期可能为（     ） A．2 m， B．2 m，2 s C．1 m， D．1 m， 2 s 【答案】ABC 【解析】CD．如果振幅等于1 m，经过周期的整数倍，振子会回到原位置，则有 当时，故C正确，D错误； AB．如果振幅大于1 m，如图所示 则有 当时 当时，故AB正确。 故选ABC。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $