3.1 列代数式表示数量关系导学案2026-2027学年七年级数学上册人教版

该初中数学导学案聚焦“列代数式表示数量关系”，核心涵盖代数式的概念、书写规范及数量关系表示。通过梳理定义、列代数式步骤（分析关系、确定顺序、使用括号）和常见问题（行程、销售），衔接数与式基础，为后续方程、函数学习搭建支架。 特色在于结合实例培养数学眼光（抽象能力），步骤化教学提升数学思维（推理意识），规范书写与意义解读强化数学语言（符号意识、模型意识）。典型例题与变式题结合，助力学生掌握方法，发展应用意识。

3.1 列代数式表示数量关系-导学案 【学习目标】 1.了解代数式的概念，会判断一个式子是否为代数式。 2.掌握代数式的书写规范，能正确书写代数式。 3.能用代数式表示简单的数量关系，并能说出代数式所表示的实际意义 【知识梳理】 知识点一、代数式的定义 1.定义：代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式。比如5,,3x+2,(b≠0）等都是代数式。 知识点二、列代数式表示数量关系的步骤 1.分析数量关系： 要仔细理解题目中所描述的各种数量之间的关系，比如谁比谁多、谁是谁的几倍、谁与谁的和或差等。例如："甲数比乙数大3"，这里就明确了甲数和乙数的关系，即甲数＝乙数+|3。如果设乙数为x，那么甲数就可以用代数式x+3来表示。 2.确定运算顺序： 根据数量关系确定先算什么，后算什么。比如"x的2倍与y的和"。先算x的2倍，即2x，再算与y的和，所以用代数式表示为2x+y。再如"a与b的和的平方"，先算a与b的和，即a+b，再对和进行平方，用代数式表示为（a+b)²。 3.正确使用括号： 当需要先进行某一步运算时，可能要用到括号。如"x与y的差的3倍"，先算x与y的差，即x一y，再算差的3倍，所以代数式为3(x-y)。若写成3x-y就表示x的3倍与y的差，与题目原意不符。 4.代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 知识点三、常见数量关系的代数式的表示 1.行程问题： 路程s、速度v、时间t的关系：s=vt，v＝(t≠0)，t=(v≠0) 例如：一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶了t小时，那么行驶的路程s就可以用代数式vt表示。 2．销售问题： 利润＝售价﹣进价,设进价为a元，售价为b元，那么利润就可以用代数式表示。 利润率＝100%,若用上述进价和利润表示，利润率为100%(a≠0)。 知识点四、代数式的读法以及意义 1.读法 (1)按运算顺序来读,如a+b读成a加上b; (2)按运算结果来读,如atb读成a与b的和。 2. 意义 若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的意义,则代数式的内容就会变得丰富、有内涵 列代数式表示数量关系是后续学习方程、函数等知识的基础，大家要熟练掌握分析数量关系、确定运算顺序和正确使用括号等方法，准确列出代数式。 【典型例题】 类型一、代数式的定义 1. 下列各式中是代数式的是（    ） A． B． C． D． 举一反三： 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 类型二、列代数式表示数量关系 1. 将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 举一反三： 【变式1】下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 类型三、代数式的读法以及意义 1.代数式的意义表述正确的是(   ) A．3乘以减 B．的3倍与的差 C．与的差的3倍 D．3与的差与的积 举一反三： 商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 列代数式表示数量关系 分层作业 (含答案) 【基础练习】 1、 选择题 1.下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A.  B.  C.  D.  2.在下列选项中，既是代数式，又能表示“与的差”的是（ ） A.  B.  C.  D.  3.代数式  的意义表述正确的是（ ） A.  减去 5 的一半 B.  的一半与 5 的差 C.  与 5 的差的一半 D.  除以 2 减去 5 的和 4.小明有支铅笔，小红比小明多2支，则小红有铅笔（ ）支。 A.  B.  C.  D.  5.一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的周长是（ ） A.  B.  C.  D.  6.随着2024年巴黎奥运会的举办，某体育用品店开展促销活动，一件球衣原价为元，现打8折出售，则这件球衣现在的价格是（ ） A.  元 B.  元 C.  元 D.  元 7.某校七年级有学生人，其中女生占全年级人数的45%，则男生人数为（ ） A.  B.  C.  D.  8.用代数式表示“与的3倍的差”，正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  二、填空题 9.温度由上升了后是________。 10.某本书的价格是元，买10本这样的书需要________元。 11.一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数可以表示为________。 12.如图，一块长方形草地长为，宽为，中间有一条宽为的小路（阴影部分），则草地（空白部分）的面积为________。 2、 解答题 13.将下列数量关系列成代数式： (1) 的3倍与2的和； (2) 与的平方差； (3) 与5的和的一半； (4) 比的少1的数。 14.某市出租车收费标准如下：起步价10元（路程不超过3千米），超过3千米后，每多行1千米加收2.5元（不足1千米按1千米计算）。 (1) 若小明乘坐出租车行驶了千米（为整数，且），请用含的代数式表示他应付的车费； (2) 若小明乘坐出租车行驶了6千米，他应付车费多少元？ 【能力提升】 1、 选择题 1.下列说法正确的是（ ） A. 表示一个数，则表示负数 B. 代数式的意义是“1除以减2” C. 若为有理数，则代数式的最小值是2 D. 与的差的3倍，列式为 2.一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，如果把十位数字与个位数字交换位置，那么得到的新两位数与原两位数的差是（ ） A.   B.   C.   D.  3.某超市举办“买一送一”活动，某种饮料每瓶原价元，活动规则是：买一瓶送一瓶。若小明购买了瓶（为偶数且），则他实际花费的金额可以表示为（ ） A.  元 B.  元 C.  元 D.  元 4.如图，一块正方形纸板边长为，如果沿虚线剪去一个边长为的小正方形（），则剩余部分（阴影部分）的周长为（ ） A.   B. C.   D.  5.有一列数，按照一定规律排列，已知，，，，，，按此规律，则可以表示为（ ） A.   B.  C.  D.  6.某班有名同学，若每两名同学之间握手一次，则全班共握手的次数是（ ） A.  次 B.  次 C.  次 D.  次 7.甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划以每小时千米的速度行驶，因为路况原因，实际速度比原计划每小时慢了千米，则这辆汽车实际行驶的时间比原计划多用的时间是（ ） A.  小时 B.  小时 C.  小时 D.  小时 8.在2024年巴黎奥运会上，某跳水运动员在跳台跳水时，高度变化与时间的关系大致为（为跳台高度，为常数）。当时，；当时，。若跳台高度为米，则常数的值为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 2 2、 填空题 9.已知一个长方形的周长为，其中一边长为，则该长方形的面积用含的代数式表示为________。 10.观察下列等式： … 用含的代数式表示第个等式的规律为： ________。 11.某水果店新进一批水果，按进价提高标价，为了尽快售出，决定打折出售。若进价为元/千克，则销售利润为________元/千克。（结果需化简） 12.“整体思想”是数学中常用的方法。若，，则的结果是________。（填化简后的结果） 3、 解答题 13.阅读理解与计算： 某商场销售一种西装，每套进价为元，原售价为元。 (1) 如果商家将售价上调，此时的利润是多少？（用含的代数式表示） (2) 为了促销，商场决定打折出售，且打折后的利润率不低于。请用含的代数式表示与应满足的数量关系。 (3) 若元，元，请计算打折后的单件利润。 14.探究规律： 用棋子摆成如图所示的“T”字型图案。 第1个图需要4枚棋子； 第2个图需要7枚棋子； 第3个图需要10枚棋子； … 依照此规律： (1) 第4个图需要多少枚棋子？ (2) 第个图需要棋子数量用含的代数式表示为多少？ (3) 是否存在一个“T”字型图案恰好需要2024枚棋子？若存在，是第几个图案？若不存在，请说明理由。 参考答案 【基础练习】 一、选择题 1. C （解析：数字应写在字母前面，带分数要化假分数，除法通常写成分数形式。应为，通常写成，故选C。） 2. A 3. B （解析：先求一半，再求差，注意运算顺序。） 4. C 5. D 6. A （解析：打8折即按原价的80%出售。） 7. B （解析：男生占比为 ，人数为 ，即 。） 8. C （解析：的3倍是，与它的差是 。） 二、填空题 9.  （或 ） 10.  11.  12.  （解析：空白部分面积 = 总面积 - 路径面积。由于题目未提供图形，通常假设路径为横向或纵向贯穿。若为纵向贯穿，路径面积为 ，草地面积为 。若填空题空间允许，可填 。若需更基础的题目，可用备选题答案：。） 三、解答题 13. 解： (2)  (3)  （或 ） (4)  14. 解： (1) 起步价10元包含3千米。 超过3千米的路程为  千米。 加收费用为  元。 所以总车费为： 元。 （也可以化简为 ，未化简不扣分） (2) 当  时， 代入代数式得：（元）。 答：他应付车费17.5元。 【能力提升】 一、选择题 1. D （解析：A项不一定是负数，若为负，为正；B项加括号，应是“1除以与2的差”；C项当时，原式为2，若无意义，若则大于2，但这涉及不等式，初一学生易错选，但D选项是最标准的文字列式，正确；故选D。） 2. B （解析：原数为，新数为，差为。） 3. B （解析：买一送一，偶数瓶，实际只需付瓶的钱，即元。） 4. A （解析：这是典型的几何陷阱题。剪去小正方形后，虽然面积变了，但剩余部分的周长可以通过“平移”看出，依然是原大正方形的周长。这是考察几何直观能力。） 5. D （解析：相邻两数之差依次为1, 2, 3, 4…，这是二级等差数列。。） 6. B （解析：这是组合问题。每个人要与人握手，共次，但重复算了一次，故除以2。） 7. C （解析：原计划时间，实际时间，多用时间为实际减去原计划。） 8. A （解析：代入数据：，得。已知，则，解得。此题考察新定义情境下的代数式求值。） 二、填空题 9.  （解析：另一边长为，面积。） 10.  （解析：根据平方差公式，。） 11.  （解析：标价，售价，利润。） 12.  （解析：。） 三、解答题 13. 解： (1) 上调后售价为元。 利润 = 售价 - 进价 =  元。 (2) 打折后售价为元。 利润 = 。 利润率 = 。 所以 ，即 （或写为 ）。 (3) 当时， 打折后售价  元。 利润  元。 答：打折后的单件利润为140元。 14. 解： (1) 观察图形规律： 第1个：4枚 第2个：枚 第3个：枚 第4个：枚。 答：第4个图需要13枚棋子。 (2) 第1个： 第2个： 第3个： … 第个：。 (3) 设第个图案需要2024枚棋子。 令  因为必须是正整数，所以不存在。 答：不存在恰好需要2024枚棋子的图案。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 列代数式表示数量关系-导学案 【学习目标】 1.了解代数式的概念，会判断一个式子是否为代数式。 2.掌握代数式的书写规范，能正确书写代数式。 3.能用代数式表示简单的数量关系，并能说出代数式所表示的实际意义 【知识梳理】 知识点一、代数式的定义 1.定义：代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式。比如5,,3x+2,(b≠0）等都是代数式。 知识点二、列代数式表示数量关系的步骤 1.分析数量关系： 要仔细理解题目中所描述的各种数量之间的关系，比如谁比谁多、谁是谁的几倍、谁与谁的和或差等。例如："甲数比乙数大3"，这里就明确了甲数和乙数的关系，即甲数＝乙数+|3。如果设乙数为x，那么甲数就可以用代数式x+3来表示。 2.确定运算顺序： 根据数量关系确定先算什么，后算什么。比如"x的2倍与y的和"。先算x的2倍，即2x，再算与y的和，所以用代数式表示为2x+y。再如"a与b的和的平方"，先算a与b的和，即a+b，再对和进行平方，用代数式表示为（a+b)²。 3.正确使用括号： 当需要先进行某一步运算时，可能要用到括号。如"x与y的差的3倍"，先算x与y的差，即x一y，再算差的3倍，所以代数式为3(x-y)。若写成3x-y就表示x的3倍与y的差，与题目原意不符。 4.代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 知识点三、常见数量关系的代数式的表示 1.行程问题： 路程s、速度v、时间t的关系：s=vt，v＝(t≠0)，t=(v≠0) 例如：一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶了t小时，那么行驶的路程s就可以用代数式vt表示。 2．销售问题： 利润＝售价﹣进价,设进价为a元，售价为b元，那么利润就可以用代数式表示。 利润率＝100%,若用上述进价和利润表示，利润率为100%(a≠0)。 知识点四、代数式的读法以及意义 1.读法 (1)按运算顺序来读,如a+b读成a加上b; (2)按运算结果来读,如atb读成a与b的和。 2. 意义 若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的意义,则代数式的内容就会变得丰富、有内涵 列代数式表示数量关系是后续学习方程、函数等知识的基础，大家要熟练掌握分析数量关系、确定运算顺序和正确使用括号等方法，准确列出代数式。 【典型例题】 类型一、代数式的定义 1. 下列各式中是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键；代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．根据代数式的定义逐项判断即可 【详解】解：A：不是代数式，不符合题意 B：不是代数式，不符合题意 C：是代数式，符合题意 D：不是代数式，不符合题意 故选：C 举一反三： 【变式1】下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代数式就是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独的数或字母都是代数式，根据定义即可判断． 【详解】解：A、符合代数式的定义，选项不符合题意； B、符合代数式的定义，选项不符合题意； C、含等号，故不是代数式，选项符合题意； D、符合代数式的定义，选项不符合题意． 故选：C． 类型二、列代数式表示数量关系 1. 将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 举一反三： 【变式1】下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 【答案】2 【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：①应表示为 ；②应表示为；③；④正确； 综上分析可知，格式书写正确的个数有2个． 故答案为：2． 类型三、代数式的读法以及意义 1.代数式的意义表述正确的是(   ) A．3乘以减 B．的3倍与的差 C．与的差的3倍 D．3与的差与的积 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，找到所求式子的等量关系是解决问题的关键．本题的易错点是得到被减式．列代数式的关键是正确理解题中给出的文字语言关键词．根据代数式的意义回答即可． 【详解】解：代数式的意义是与的差的3倍． 故选：C． 举一反三： 商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $