3.1 列代数式表示数量关系 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“列代数式表示数量关系”，通过小学已学的用字母表示运算律、公式等知识衔接，以苹果采摘机器人工作效率问题为情境，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解代数式定义及书写规范。 导学案通过情境探究与分层练习培养学生抽象能力和符号意识，典例解析突出关键词辨析强化推理意识，实际问题与数字问题结合发展模型意识，梯度化练习助力学生从基础到拓展提升，适合自主学习与课堂教学。

人教版七年级数学上册 · 3.1 列代数式表示数量关系 3.1 列代数式表示数量关系 导学案 一、学习目标 1. 经历用含有字母的式子表示数量和数量关系的过程，了解代数式的定义。 2. 掌握代数式的书写规范，会根据简单问题中的数量关系列代数式。 3. 感受用字母代替数的意义，知道具体代数式的意义，会举例说明代数式所表示的实际问题中的数量关系。 4. 通过对现实世界中数量关系的抽象，体会从具体到抽象的认识过程，发展抽象能力和符号意识。 二、学习重难点 重点：理解代数式的概念，掌握列代数式的基本方法，能抓住关键词（和、差、积、商、倍、分等）准确表达数量关系。 难点：从实际问题中抽象出数量关系并用代数式表示，正确区分易混淆的表述（如“平方和”与“和的平方”），合理使用括号保证运算顺序。 三、知识链接（课前热身） 在小学，我们已经学过用字母表示数。请回忆并完成下面的填空： （1）加法交换律：a + b = __________ （2）乘法结合律：(a × b) × c = __________ （3）长方形面积公式：S = __________（长为a，宽为b） （4）长方形周长公式：C = __________（长为a，宽为b） （5）一辆汽车以60 km/h的速度行驶，t小时行驶的路程为 __________ km。 【想一想】上面的式子中，哪些含有字母？它们与以前学过的纯数字算式有什么不同？ 四、新知探究 探究一：用字母表示数 【情境引入】某品牌苹果采摘机器人可以平均每秒完成5 m²范围内苹果的识别。根据这一数据回答下列问题： （1）该机器人10秒能识别多大范围内的苹果？60秒呢？ （2）该机器人t秒能识别多大范围内的苹果？ 分析： 识别范围 = 工作效率 × 工作时间 10秒：5 × 10 = 50（m²） 60秒：5 × 60 = 300（m²） t秒：5 × t = 5t（m²） 【观察思考】当时间不确定时，我们用字母t来表示，得到的式子5t既可以表示任意时间下的识别范围，又简洁地反映了工作量、工作效率和工作时间之间的关系。这就是用字母表示数的力量。 探究二：代数式的概念 像5t、a + b、ab、πr²这样，用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。 【注意】 ① 单独的一个数（如0、3、π）或一个字母（如a、x）也是代数式。 ② 代数式中不含有“=”、“<”、“>”等符号，等式和不等式都不是代数式。 【小试牛刀】下列式子中，哪些是代数式？在后面的括号里打“√”或“×”。 （1）3x + 5 （　　） （2）2a = 6 （　　） （3）πr² （　　） （4）a > 3 （　　） （5）0 （　　） （6）x + y = y + x （　　） 探究三：代数式的书写规范 列代数式时，必须遵循以下书写规范： ① 数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母前面。如3 × a写成3a，不写成a3。 ② 字母和字母相乘，乘号可以省略或用“·”表示。如a × b写成ab或a·b。 ③ 除法运算写成分数形式。如a ÷ b写成a/b。 ④ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数。 ⑤ 数字1与字母相乘时，“1”省略不写；-1乘字母时，只写“-”号。如1×a写成a，-1×b写成-b。 ⑥ 代数式是和或差的形式，若后面带单位，要用括号括起来。如（3a + 5b）元。 【练一练】判断下列代数式书写是否规范，不规范的请改正。 （1）m × 4 应写成：__________ （2）3 ÷ x 应写成：__________ （3）a × b × 2 应写成：__________ （4）1x 应写成：__________ （5）（a + b）cm （判断：规范 / 不规范） 五、典例解析 例1：用代数式表示下列数量关系 （1）a与b的和的2倍。 （2）x的3倍与y的差。 （3）m与n的平方和。 （4）a、b两数和的平方。 【分析】 （1）“和的2倍”→先求和再乘2→2(a + b) （2）“x的3倍”→3x，“与y的差”→3x - y （3）“平方和”→各自平方再求和→a² + b² （4）“和的平方”→先求和再平方→(a + b)² _【易错提醒】“平方和”（a² + b²）与“和的平方”（(a + b)²）是完全不同的两个代数式，审题时务必分清关键词的顺序！ 例2：实际问题列代数式 （1）购买3个单价为a元的笔记本和2支单价为b元的笔，共需多少钱？ （2）某商品原价为x元，先涨价10%，再降价20元，现在的售价是多少？ （3）甲、乙两地相距s km，一辆汽车以v km/h的速度从甲地开往乙地，需要多长时间？若速度加快5 km/h，可以提前多少小时到达？ 【分析过程】 （1）总价 = 单价×数量，分两部分再求和：3a + 2b（元） （2）涨价10%后价格为(1 + 10%)x = 1.1x，再降20元：1.1x - 20（元） （3）时间 = 路程÷速度 = s/v（h）；加快后速度为(v + 5) km/h，时间为s/(v + 5)（h），提前 s/v - s/(v + 5)（h） 例3：数字问题 一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，用代数式表示这个三位数。 【分析】 百位上的a表示a个100，即100a； 十位上的b表示b个10，即10b； 个位上的c表示c个1，即c。 所以这个三位数为：100a + 10b + c 六、课堂练习（巩固提升） 【基础过关】 1. 用代数式表示： （1）a的5倍与3的和：__________ （2）x与y的差的倒数：__________ （3）m的1/3与n的2倍的差：__________ （4）a、b两数的平均数：__________ （5）边长为a的正方形的周长和面积：C = __________，S = __________ 2. 下列式子中代数式的个数是（　　） ① 2x + 1 ② 3 = 5 - 2 ③ a² + b² ④ S = πr² ⑤ -3 ⑥ a/b A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 一个长方形的长是a cm，宽比长短3 cm，则这个长方形的周长是（　　） A. a(a - 3) cm B. 2(a + a - 3) cm C. 4a - 3 cm D. 2a(a - 3) cm 【能力提升】 4. 用代数式表示： （1）比x的2倍少5的数：__________ （2）a与b的和的平方与它们差的平方的和：__________ （3）三个连续整数，中间一个是n，则这三个数的和为：__________ 5. 某工厂有煤m吨，原计划每天烧a吨，实际每天节约b吨。 （1）实际每天烧多少吨？ （2）这些煤实际可以烧多少天？ （3）比原计划多烧多少天？ 6. 小明今年x岁，他爸爸的年龄比他的3倍大2岁，他妈妈的年龄比爸爸小4岁。 （1）用代数式表示爸爸的年龄。 （2）用代数式表示妈妈的年龄。 （3）当x = 12时，求爸爸和妈妈的年龄。 【拓展挑战】 7. 观察下列算式，寻找规律并用代数式表示： 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 …… （1）第5个算式是什么？结果是多少？ （2）第n个算式左边是哪些奇数的和？右边的结果如何用n表示？ （3）利用你发现的规律，计算1 + 3 + 5 + … + 99的值。 七、课后作业 1. 用代数式表示： （1）a与b的2倍的和：__________ （2）x的平方与y的立方的差：__________ （3）m、n两数和的3倍：__________ （4）a除以b的商与c的和：__________ 2. 某班共有学生n人，其中男生占55%，用代数式表示： （1）男生人数为：__________ （2）女生人数为：__________ 3. 一项工程，甲队单独做需a天完成，乙队单独做需b天完成。 （1）甲队每天完成工程的几分之几？ （2）乙队每天完成工程的几分之几？ （3）两队合作每天完成工程的几分之几？ 4. 某商店购进一批苹果，进价为每箱x元，先按进价提高30%标价，后又打八折出售。 （1）标价是多少？ （2）实际售价是多少？ （3）每箱是赚了还是亏了？赚（亏）多少？ 参考答案 知识链接（课前热身） （1）b + a （2）a · (b · c) 或 a(bc) （3）ab （4）2(a + b) （5）60t 【想一想】含有字母的式子能表示一般规律，不依赖于具体数值；纯数字算式只能表示特定结果。 探究二 小试牛刀 （1）√ （2）×（这是等式） （3）√ （4）×（这是不等式） （5）√ （6）×（这是等式） 即代数式有：(1)(3)(5)，共3个。 探究三 练一练 （1）4m （2）3/x （3）2ab （4）x （5）规范（和的形式带单位，已用括号括起） 典例解析 例1： （1）2(a + b) （2）3x - y （3）a² + b² （4）(a + b)² 例2： （1）(3a + 2b)元 （2）(1.1x - 20)元 （3）s/v 小时；提前 [s/v - s/(v+5)] 小时 例3： 100a + 10b + c 课堂练习 参考答案 1. 基础过关： （1）5a + 3 （2）1/(x - y) （3）m/3 - 2n （4）(a + b)/2 （5）C = 4a，S = a² 2. B（代数式有：①②x+1、③a²+b²、⑤-3、⑥a/b，共4个；②和④是等式，不是代数式） 3. B（宽为(a-3)cm，周长 = 2[a + (a-3)] = 2(2a-3) = 4a-6 cm，选B） 4. 能力提升： （1）2x - 5 （2）(a + b)² + (a - b)² （3）三个连续整数为(n-1)、n、(n+1)，和为(n-1) + n + (n+1) = 3n 5. （1）实际每天烧(a - b)吨 （2）实际可烧 m/(a - b) 天 （3）比原计划多烧 [m/(a-b) - m/a] 天 6. （1）爸爸的年龄：(3x + 2)岁 （2）妈妈的年龄：(3x + 2 - 4) = (3x - 2)岁 （3）当x = 12时，爸爸 = 3×12 + 2 = 38（岁），妈妈 = 3×12 - 2 = 34（岁） 7. 拓展挑战： （1）第5个算式：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 （2）第n个算式：1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n² （3）1 + 3 + 5 + … + 99，共50个奇数（因为2n-1=99→n=50），结果为50² = 2500 课后作业 参考答案 1. （1）a + 2b （2）x² - y³ （3）3(a + b) （4）a/b + c 2. （1）55% × n = 0.55n （2）n - 0.55n = 0.45n 3. （1）1/a （2）1/b （3）1/a + 1/b = (a+b)/(ab) 4. （1）标价 = (1 + 30%)x = 1.3x（元） （2）实际售价 = 1.3x × 0.8 = 1.04x（元） （3）因为1.04x > x，所以每箱赚了，赚了1.04x - x = 0.04x（元） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $