广西白色市右江中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷

**基本信息** 九年级开学模拟卷立足基础，融合文化传承（南宋哥窑杯、空竹非遗）与社会热点（亚冬会徽章），通过分层设计（如几何探究题三梯度）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|二次根式、多边形内角和、平行四边形性质|第4题以南宋哥窑八方杯考八边形内角和，体现文化情境| |填空题|4/12|组内离差平方和、二次根式合并、一元二次方程根|第13题通过分组数据考查统计分析能力| |解答题|7/72|几何证明（菱形与矩形）、统计频数分布、应用题（增长率/利润）、几何探究|第23题分初步感知-尝试探究-深化探究，梯度考查逻辑推理；第22题结合亚冬会徽章考利润问题，体现应用意识|

广西白色市右江中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（12 小题，每小题 3 分，共36 分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（   ） A． B．2 C．4 D．6 3．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点E在上，平分，平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程．说法正确的是（   ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．以上说法都不对 7．某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 8．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点E，连接、、，与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（4 小题，每小题 3 分，共12 分） 13．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为．把这5名同学引体向上的个数分为两组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．最恰当的分组是第__________种． 分组 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组；第二组 18.8 第二种 第一组；第二组 6.7 第三种 第一组；第二组 14.7 第四种 第一组；第二组 22.8 14．已知二次根式与可以合并，请写出一个满足条件的的值：______． 15．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 16．如图，在边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，，则的长为_________． 三、解答题（7 小题，17题至22题，每小题10分，23题12分，共72 分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程． 19．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，且，连接，，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 20．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点A作，且，连接、，与相交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．为激发学生对数学的学习兴趣，某校举办了一场数学趣味知识竞赛．现随机抽取50名学生的成绩（百分制，无满分）进行分析，整理后得到如下信息． 信息一：50名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如下所示： 组别 成绩范围（分） 频数 频率 第一组 4 第二组 10 第三组 12 第四组 第五组 4 信息二：第三组学生成绩（单位：分）如下： 73，71，74，79，74，76，77，76，73，76，72，75 根据以上信息，回答下列问题： (1)求，的值，并补全频数分布直方图； (2)求第三组学生成绩的众数，抽取的50名学生成绩的中位数； (3)若该校共有1800名学生参赛，请估计该校参赛学生的竞赛成绩不低于80分的有多少人？ 22．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 23．【问题情境】数学兴趣小组从一种地板图案中抽象并变化得到如图（1）（2）（3）所示的几何模型：在正方形中，点在边上，点在边上，点是对角线上不与点重合的一动点，分别连接、，且． 【初步感知】 (1)如图（1），当点是，的交点时，证明：； 【尝试探究】 (2)如图（2），当时，过点作于点，作于点，求的值； 【深化探究】 (3)如图（3），请直接写出线段，，之间的数量关系． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《广西白色市右江中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B C C B B A 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】先明确最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式． ∵ 选项A中，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵ 选项B中，满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵ 选项C中，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵ 选项D中，分母含根号，即被开方数含分母，化简为，∴不是最简二次根式． 2．D 【分析】根据被开方数为非负数求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数， ∴， 解得， ∴选项中只有符合条件． 3．A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 5．B 【分析】根据平行四边形的性质得出邻角互补，即，再利用角平分线的定义得出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ，， ， 在中，． 6．C 【分析】先计算一元二次方程根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：， ∴， ， 原方程没有实数根． 7．C 【分析】分别计算三名应聘者的加权平均数，比较大小后得分最高的即为被录用者． 【详解】解：∵ 笔试、面试、答辩权重之比为，权重和为， 分别计算三人的加权平均数： 甲的加权平均数：分， 乙的加权平均数：分， 丙的加权平均数：分， ∵ ，丙的加权平均数最高， ∴ 被录用的是丙． 8．B 【分析】利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ． 9．B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 10．A 【分析】设小路的宽为，根据花坛部分总面积为列方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，由题意得： ． 11．B 【分析】根据可得，则可得，进而可得四边形是菱形，则可判断结论①正确；根据菱形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，则可判断结论②正确；先根据题意无法得到，则可判断结论③错误；由得到，进而判断出，则可判断结论④正确． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形，且E点在的延长线上， ∴，， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意无法得到，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 12．D 【分析】连接，由垂直平分线的作法判定垂直平分，进而由垂直平分线性质得出，设，由矩形性质得到相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知垂直平分，则， 设， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得， 的长为． 13． 二 【分析】根据组内离差平方和原则选择最恰当分组，解题的关键是明确组内离差平方和越小，分组越恰当，只需比较四种分法的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：根据题意，最恰当的分组符合组内离差平方和最小原则， 将四种分法的组内离差平方和比较大小，得 ， 第二种分组的组内离差平方和最小，因此最恰当的分组是第二种. 14．3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简，然后根据同类二次根式的定义即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵二次根式与可以合并， ∴ ∴， 故答案为：3（答案不唯一） 15． 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 16． 【分析】根据正方形的性质可证得，得到，而利用线段的和差知道，所以要求得和的长度，根据条件，，可通过倒角得到外角，结合所对的直角边是斜边的一半，以及正方形边长为6，得到和的长度，进而可得线段的长度，所以，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、所对的直角边是斜边的一半以及全等三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】（1）先分别计算乘法、除法，再将所有根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先用平方差公式计算第一部分，再利用分配律展开根式乘法，化简后再做减法运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．(1) (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 或 解得． 19．(1)证明：∵在菱形中，对角线，相交于点， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； (2)2 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）由菱形的性质和矩形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， ∴． 20．(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，，即，结合题意得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）由矩形的性质可得，再证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：平行四边形是矩形， 与相等且互相平分，则， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ 在中，， ． 21．(1)20；； (2)第三组学生成绩的众数为76分；抽取的50名学生成绩的中位数为78分 (3)864人 【分析】（1）用总人数减去其他组的人数可求出第四组的人数，即可得到a的值，进而可求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用1800乘以样本中竞赛成绩不低于80分的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 补全频数分布直方图见答案 （2）解：∵第三组学生成绩中，得分为76分的人数最多， ∴第三组学生成绩的众数为76分； 把抽取的50名学生成绩按照从低到高的顺序排列，第25个数为77，第26个数为79， ∴抽取的50名学生成绩的中位数为分； （3）解：（人）， 答：估计该校参赛学生的竞赛成绩不低于80分的有864人． 22．(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 23．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)12； (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可证出； （2）根据正方形的性质证明四边形OHCG是正方形，得出，，根据勾股定理和已知条件求出，证明，得出， 即可得， （3）由（2）的推导同理可得：， 结合，即可得； 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，，，，， ，四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， 又∵，， ， ∴， ∴， 即． （3）解： 证明：如图3，过点作于点，作于点， 由（2）的推导同理可得：， 在正方形中，，即， ∴， ∴． 答案第2页，共13页 答案第3页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $