专题20 电磁学计算（6年汇编）（河北专用）2021-2026年高考物理真题分类汇编

**基本信息** 聚焦电磁学计算，汇编2021-2026年河北高考真题及模拟题，以科技前沿情境为载体，强化多模块综合与深度建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |计算题|27题|电磁学（电场、磁场、电磁感应）与力学综合|以质谱仪、电磁弹射等科技场景为载体，如2026年真题结合质谱仪考查加速电场与磁场偏转；综合关联多模块，如2025年电磁助推题联动电磁感应与动量能量，弱化繁琐运算，突出轨迹分析与临界推导|

专题20 电磁学计算 6年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2021-2026） 命题规律 考点1 电磁学计算题 2026河北卷 2025河北卷 2024河北卷 2023河北卷 2022河北卷 2021河北卷 . 真实情境深度渗透‌：以国产电磁弹射装置、粒子回旋加速器、无线充电系统等前沿科技场景为载体，不再使用纯理论裸模型出题，要求学生从复杂场景中拆解多过程物理模型。 . ‌综合关联属性突出‌：不再单一考查孤立知识点，会联动静电场、磁场、电磁感应、力学等多模块考点，强化“场+力+能量”的综合链条考查。 ‌能力导向持续强化‌：弱化机械繁琐的代数运算，重点考查轨迹分析、临界条件推导、多解性分析的能力，规避固化刷题套路，依靠深度建模能力实现分数分层。 考点01 电磁学计算题 1．（2026·河北·高考真题）图1为某质谱仪工作原理示意图。电离室中的气体分子被激光照射后发生电离，其中带正电的粒子由静止经平行于纸面的加速电场加速后，垂直于CD边进入梯形匀强磁场区域（磁场方向垂直纸面向外），并从CG边中点O平行于CD边射出，经无场区从边界PQ进入平行于纸面的匀强偏转电场，最终打到接收器与纸面交线MN上并被吸收，接收器可视为接地良好的金属板。MN延长线经过O点，与CD所在直线夹角为α，α可通过MN绕O点在纸面内的转动进行调整，调整前后PQ与MN始终平行且间距为0.3m不变。CG边长为0.2m，与底边HG夹角为60°，磁感应强度大小为0.4T，偏转电场的电场强度大小为1.8×104V/m，方向始终垂直于PQ。整个过程只考虑一种粒子，加速电场的电压恒定，MN与PQ足够长，装置处于真空环境，忽略粒子间的相互作用，不计重力。 (1)已知激光波长为442nm，求该激光一个光子的能量ε。（普朗克常量，真空中光速） (2)调整α，得到从粒子离开加速电场到到达接收器所经历的时间t与α的关系如图2所示，求加速电场的电压U以及粒子比荷k。 (3)质谱仪稳定工作时，测得接收器每秒接收的粒子数为n，若再测一个除电荷量和质量以外的物理量，便可在（2）问的基础上得到粒子的质量。请写出该物理量，并推导粒子质量表达式（所有物理量均用字母表示）。 【答案】(1) (2)， (3)测接收器受到粒子的平均作用力大小，质量表达式为； 【详解】（1）根据光子能量公式 代入数据解得 （2）根据题意画出粒子运动轨迹图如下 根据几何关系可知粒子在磁场半径 且粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，有 其中比荷。可得 由题知粒子在无场区O到PQ的距离为，在无场区运动时间 粒子进入电场时的法向初速度与电场方向相反，大小为 则在法线方向有 解得 总时间 其中t0为加速电场末端到CD无场区的时间与α无关，与α无关，根据图2可知时t最小，即 在有最小值，根据均值不等式可求出 联立 代入数据得 在加速电场中有 得 （3）测量接收器受到粒子的平均作用力大小，在时间内，有 根据动量定理和牛顿第三定律可知接收器受到的平均作用力大小F等于粒子动量的变化率大小，即 对单个粒子，设粒子打在接收器上时垂直接收器速度为，则有 可得 联立可得粒子质量 2．（2025·河北·高考真题）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为0.5m，磁感应强度大小为1T，MM′到NN′的距离为5m，a、b质量分别为2kg、8kg，a在导轨间的电阻为0.01Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若分离后某时刻a的速度大小为10m/s，求此时通过a的电流大小。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25m时，求b分离后的速度大小，分析其是否为b能够获得的最大速度；并求a运动过程中电容器的电压减小量。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f = kv2（k = 0.025N·s2/m2），初始位置与（2）问一致，试估算a运行至NN′时。a分离前的速度大小能否达到（2）问中分离前速度的99%，并给出结论。（0.992 = 0.980l） 【答案】(1)500A (2)25m/s，能，40V (3)能 【详解】（1）分离后当导体a的速度大小为10m/s时，根据法拉第电磁感应定律有 通过a的电流 解得 （2）规定水平向右为正方向，从运动至b位置过程中，由安培力提供加速度，则 a、b间初始距离 碰撞前a的速度 解得，， a与b碰撞过程中系统动量守恒，有 储存的弹性势能为 解得， a、b碰后一起运动至过程中 由安培力提供加速度有 位移为 分离前速度为 解得，， a、b分离过程，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 在整个过程中安培力大小恒定，安培力做功大小为一定值，若a、b分离时a的速度为零，则此时b能获得最大速度，最大速度为25m/s； 上述过程中通过导体棒a的电荷量 电容器电压的减少量 解得 （3）规定水平向右为正方向，a、b碰后共同速度为，若无空气阻力，到达的速度为，其图像如图所示 若考虑阻力，则实际图像应在图中所示图像的下方，可知克服阻力做的功为 由动能定理有 解得 可知a、b分离前的速度大小能达到（2）问中分离前速度的99%。 3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 4．（2024·河北·高考真题）如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值； （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）当OA运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，，此时感应电流最大，CD棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 故CD棒所受的安培力最大为 当OA运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD棒受到的安培力最小，得 故CD棒所受的安培力最小为 （2）当CD棒受到的安培力最小时根据平衡条件得 当CD棒受到的安培力最大时根据平衡条件得 联立解得 撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得 解得 5．（2023·河北·高考真题）如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG方向进入磁场，一段时间后沿的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a，粒子质量为m、电荷量大小为q，粒子重力不计。 （1）求板间电压U的大小； （2）若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）粒子在电场中加速，由动能定理得 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系有 解得板间电压的大小为 （2）根据题意，做出粒子的运动轨迹，如图所示。 根据几何关系有 则 粒子在磁场中的运动时间为 粒子在无磁场区域运动的时间为 粒子从C点运动到E点的时间为 6．（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： （1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标； （2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功； （3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。 【答案】（1）；（2）；（3）或   【详解】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知 解得粒子在时刻的速度大小为 方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离 在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为 粒子运动轨迹如图 所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即； （2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向 解得时刻粒子的速度 方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为 在时间内，粒子在水平方向运动的距离为 此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向 解得粒子在时刻的速度 粒子在竖直方向运动的距离 粒子运动的轨迹如图 在时间内，静电力对粒子的做功大小为 电场力做正功； （3）根据（1）问中解析有， ①若粒子到达点之前，在磁场中已经过两个半圆，则释放时刻一定在时间内，若在之间的时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图丙所示，有 ， ， ， ， ， 所以 整理发现 所以需满足，代入数据解不等式， 当时不等式成立 ②若粒子到达点前只经过一个半圆，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 由得，经第一次电场加速的末速度，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，则第一次在电场中加速的时间，即在时释放符合条件，但在此情况下，，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小为 联立有 故此情况下无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子第一次在电场中加速的时间为，则，在此种情况下，，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小为 联立有 故此情况下粒子能在点被吸收，所以粒子释放时刻为 综上可知，在或时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获 7．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。。 （1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小； （2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值； （3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点未在图中标出）、对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】（1）从O点射出的粒子在板间被加速，则 粒子在磁场中做圆周运动，则半径 由 解得 （2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则 从O点射出的粒子在板间被加速，则 粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动 粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则 由几何关系可知 联立解得 （3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，粒子运动轨迹半径分别为r2、r3，则 ①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM相切，再进入上方磁场区域做圆周运动，轨迹与负极板的交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动到H2点时，粒子靶恰好能够接收2种能量的粒子，此时H2点为距C点最近的位置，是接收2种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 ②同理可知当粒子靶接收3种能量的粒子的运动轨迹如图所示 第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN相切，记该粒子经过H2后再次进入上方磁场区域运动时轨迹与负极板的交点为H3 (S2) ，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接收3种粒子的起点。由几何关系可得 可知，粒子靶接收n种、n+1种粒子的起点（即粒子靶接收n种粒子的起点与终点）始终相距 当粒子靶接收n种能量的粒子时，可得 8．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，间距为L的足够长的平行光滑金属轨道固定在水平面上，金属轨道处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为，电阻为R、质量为m的金属棒ab垂直轨道放置并与轨道接触良好，导轨左侧接一匝数为N、面积为S的线圈，垂直线圈平面的磁感应强度B随着时间t变化的关系如图乙所示，金属棒ab中的电流方向如图所示，金属棒ab在安培力作用下由静止开始向右运动。已知线圈电阻为0.5R，电路中其余电阻忽略不计。求： (1)金属棒ab所处磁场的磁感应强度的方向和t=0时刻金属棒ab的加速度大小； (2)全过程中通过金属棒的电荷量q； (3)当通过金属棒的电荷量为0.5q时，若此过程线圈产生的电能为，求此时金属棒的电功率和此过程中金属棒产生的焦耳热。 【答案】(1)磁感应强度的方向垂直纸面向外， (2) (3)， 【详解】（1）由题意可知金属棒受到的安培力方向水平向右，由左手定则可知金属棒ab所处磁场的磁感应强度的方向垂直纸面向外，即竖直向上。由法拉第电磁感应定律可知线圈产生感应电动势 则t=0时刻通过金属棒的电流 对金属棒受力分析并结合牛顿第二定律有 联立解得 （2）金属棒切割磁感线产生的感应电动势与线圈产生的电动势相互抵消，所以通过金属棒的电流逐渐减小，金属棒受到的安培力减小，即金属棒做加速度减小的加速运动，当金属棒切割磁感线产生的电动势和线圈产生的电动势相等时金属棒的速度最大，此时金属棒产生的电动势为 在金属棒加速过程中，规定向右为正方向，根据动量定理有 联立解得 （3）当通过金属棒的电荷量为0.5q时,对金属棒，由动量定理有 此时回路中的电流 此时金属棒的电功率 联立解得 此过程中由能量守恒有 由电路分析可知此过程中金属棒产生的焦耳热 联立解得 9．（2026·河北张家口·二模）在真空管道超高速磁悬浮交通系统的研发中，列车启动阶段采用直线电机驱动。为研究系统启动特性，搭建了如图所示简化实验装置，定子绕组简化为固定在水平绝缘平面上的足够长光滑平行金属导轨，车载导体作为动子简化为置于导轨上的导体棒，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，导轨间距为；导体棒质量为，长度略大于，其导轨间电阻值为，导轨左端通过开关连接输出电压恒为的电源。接通开关，导体棒从静止开始运动，运动中所受阻力与其速率成正比，比例系数为。当导体棒运动距离为时达到匀速运动状态，之后立即断开。导体棒与导轨始终垂直且保持良好接触，忽略导轨电阻。求： (1)在接通开关瞬间导体棒的加速度大小； (2)导体棒能达到的最大速率； (3)导体棒在加速过程中电源输出的电能。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）开关接通瞬间电流 根据安培力公式 根据牛顿第二定律，加速度 （2）导体棒达到最大速度，即加速度为零时，安培力等于阻力 感应电动势 回路电流 联立解得 （3）应用动量定理 解得 电源做功 代入的表达式可得电源输出的电能 10．（2026·河北邢台·二模）如图所示，ACE、A'C'E'为间距L=2m的平行金属导轨，其中AC、A'C'段为倾角的倾斜导轨，CE、C'E'段为光滑水平导轨，倾斜导轨与水平导轨在C、C'处平滑连接。在CC'的右侧空间存在竖直向上的匀强磁场B=0.5T，DD'为固定在水平导轨上的竖直立柱，且 将一质量为m=0.1kg的导体棒a从距离（CC'为处由静止释放，另一质量为2m的导体棒b静置放在CC'右侧 处，DD'离导体棒b的初始位置足够远。已知导体棒a与倾斜导轨间的动摩擦因数，导体棒a、b导轨间的电阻均为，其余电阻不计，忽略空气阻力，运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度g= (1)求导体棒a刚滑至CC'时的速度大小； (2)求从导体棒b开始运动到导体棒a、b第一次共速的过程，回路中的电荷净转移量q； (3)若导体棒a、b第二次碰撞后瞬间，立即将立柱DD'撤走，求之后在磁场区时两者的最大间距d。 【答案】(1)4m/s (2) (3) 【详解】（1）对导体棒a在倾斜导轨上的运动过程，由牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma0 解得导体棒a沿倾斜导轨下滑的加速度 由运动学规律有 解得 （2）设导体棒a、b第一次碰后瞬间的速度分别为v₃、v₄，则由动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得 之后导体棒a将加速，导体棒b将减速，当两者均稳定运动时，有 根据动量守恒定律有 解得 对导体棒a从与导体棒b碰后到共速的过程，由动量定理有 则 根据楞次定律结合安培定则可知，此过程回路中电流方向为顺时针方向（从上向下看） 由于两过程电流方向相反，则电荷净转移量 （3）从第一次碰撞后至共速，设导体棒a、b位移差为x₁，则对导体棒a由动量定理有 当导体棒b碰到立柱DD'后，速度等大反向，则从导体棒b碰到立柱DD'后至导体棒a、b第二次碰前瞬间，以向右为正方向，分别对导体棒a、b由动量定理有， 解得 导体棒a、b第二次碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得 导体棒a、b从第二次碰撞后至两者再次共速的过程，根据动量守恒定律有 解得 对导体棒a由动量定理有 解得 11．（2026·河北·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，圆心为、半径、关于轴对称的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，圆形区域与轴在坐标原点处相切。长均为、间距的平行金属板、间存在着相互正交的匀强磁场与匀强电场（图中未画出），磁场的磁感应强度大小，方向垂直于纸面向里，板的一端落在轴负半轴上，另一端与圆形区域最左端点重合。区域内存在着沿轴正方向、电场强度大小的匀强电场，第四象限内距离轴处固定着足够长的荧光屏。一宽度为的粒子源持续不断地沿平行于金属板方向发射速率均为、比荷均为的同种带正电粒子，粒子恰能在金属板间做直线运动。现仅撤去金属板间磁场，从点射入圆形区域的粒子恰能过点。不计粒子的重力，忽略粒子间相互作用、各场的边缘效应和粒子打在金属板上对金属板间电场的影响。撤去金属板间磁场后，求： (1)粒子射出金属板时的速度大小； (2)圆形区域内磁场的磁感应强度大小； (3)圆形区域内有粒子经过的面积和荧光屏上有粒子击中区域的长度。 【答案】(1)5m/s (2) (3)， 【详解】（1）未撤去金属板间磁场时，对粒子受力分析有 解得 撤去金属板间磁场后，未击中金属板的粒子在金属板间运动时，平行于金属板方向有 垂直于金属板方向有 粒子射出金属板时的速度大小 解得v＝5m/s （2）设粒子射出金属板时速度方向与金属板的夹角为，则有 由于，可知粒子射出金属板时速度沿x轴正方向，从A点射入圆形区域的粒子恰能过O点，推理可知粒子在圆形区域内运动的轨迹半径r＝R 又有 解得 （3）从金属板间射出的粒子在金属板间运动的过程中，垂直于金属板方向的位移大小，从金属板间射出的粒子流投影到y轴上的宽度 由此可知圆形区域内有粒子经过的区域如图1中阴影部分所示， 面积 解得 粒子从O点运动到荧光屏有 解得 设粒子从O点射入电场区域时沿y轴负方向的分速度大小为，从O点运动到荧光屏的时间为，速度的变化量为，沿y轴负方向的位移大小为y，则有，其中 如图2所示，以粒子从O点飞出的速度v、打在荧光屏上的速度、构建矢量三角形， 分析可知竖直位移大小与该矢量三角形的面积成正比 当v⊥时，粒子沿y轴负方向的位移达到最大值，有 解得 即荧光屏上有粒子击中区域的长度 12．（2026·河北沧州·三模）在空间辐射防护与粒子束调控的科研场景中，科研人员设计了一套复合场粒子操控系统：如图所示，平面内建立直角坐标系xOy，第二象限存在水平向右的匀强电场，一、四象限内区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ存在宽度均为d的匀强磁场，方向均垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小均相等，相邻两磁场区域边界间的距离也为d、一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以速率v0从点垂直电场方向进入电场，从N（0，2d）点进入磁场，恰好不能从区域Ⅲ的右边界射出，不计粒子的重力。求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)磁场区域内磁感应强度的大小B； (3)粒子从M点开始运动到第一次到达区域Ⅲ的右边界所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在加速电场中做类平抛运动，方向匀速有 方向做匀加速直线运动有， 解得匀强电场的场强 （2）到点时的水平速度为 可得到点时的速度 在磁场中运动的半径满足 解得 由洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）粒子在电场中的运动时间为 粒子在磁场中的运动时间 画出粒子在轴右侧的运动轨迹，如图所示 段长度为 粒子在无场区域匀速运动的时间 粒子运动的总时间 13．（2026·河北·二模）某科研团队设计了一种新型粒子沉积装置，用于沉积特定能量的带电粒子，原理如图所示。在xOy平面内，y=d与y=4d直线之间的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。电子枪沿y轴固定在Od间，电子枪灯丝逸出初速度为0、质量为m、电荷量的大小为e的电子经电子枪内部电场加速后沿y轴正方向进入磁场。在x轴上x=3d至x=5d区间放置一沉积靶（厚度不计），沉积靶长度为2d，电子打到靶上（包括边缘）即被吸收。忽略场的边界效应、电子重力及电子间相互作用。 (1)若电子经磁场偏转后打在沉积靶上表面的左端点，求电子枪内部加速电压U的大小； (2)若电子枪内部加速电压，在直线y=4d上方区域加一平行y轴向上的匀强电场，为使电子打在沉积靶的上表面，求电场强度E应满足的条件； (3)若电子枪内部加速电压，在直线y≥4d和y≤0的区域也加磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且在直线0≤y≤d，x>0的区域加平行与y轴向下的匀强电场。现要求电子最终垂直打在沉积靶下表面的中点处，求打在此处电子动能的所有可能值。 【答案】(1) (2) (3)当n=1时；当n=2时；当n=3时；当n≥4时，电子在打在沉积靶下表面中点前已经被沉积靶吸收，不能打在沉积靶中点。 【详解】（1）设电子经加速进入磁场时的速度大小为v0，根据动能定理得 电子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，如图所示 由牛顿第二定律得 电子经磁场偏转后再匀速垂直打在沉积靶的上表面的左端点，到达x轴上，满足 联立解得 （2）当时，根据动能定理得 解得 电子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得 解得 轨迹圆所对应的圆心角为37°，如图所示 当电子打在沉积靶左侧时，由几何关系可得， 即当电子在电场中运动的水平位移 电子打在沉积靶左侧，电子在所加匀强电场中做斜抛运动，其加速度大小 将斜抛运动进行分解及对称性，可得 联立可得 当电子打在沉积靶右侧时，由图中几何关系可得， 即当电子在电场中运动的水平位移 电子打在沉积靶右侧，电子在所加匀强电场中做斜抛运动，其加速度大小 将斜抛运动进行分解及对称性，可得 联立可得 为使电子仍能打在沉积靶的上表面，电场强度E应满足的条件为 （3）当时，根据（2）问可知电子在y>d区域匀强磁场中做匀速圆周运动，半径 电子在y<0区域匀强磁场中做半径为r1的匀速圆周运动，电子的速度为v1，满足 如图所示 若电子打在沉积靶下表面的中点，电子水平方向的侧移量为4d，由几何关系可得 电子动能为 联立可得，当n=1时，r1=3d，电子动能为 当n=2时，r1=4d，电子动能为 当n=3时，，电子动能为 n≥4时，电子在打在沉积靶下表面中点前已经被沉积靶吸收，不能打在沉积靶中点。 14．（2026·河北衡水·二模）如图甲所示，直角坐标系位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小（未知）。现有一质量为、电量为的带电小球，从第二象限以速度水平射出，做匀速直线运动，经点进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点第一次离开第一象限进入第四象限，第四象限内存在一未知电场，小球沿方向做匀减速直线运动，到达轴上的点时速度恰好减为。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与轴相交于点，斜面沿方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为的匀强磁场，同时存在沿斜面向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为。求： (1)电场强度大小和第一象限内磁感应强度大小； (2)第四象限内的电场强度大小； (3)小球在时间内的路程。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球在第二象限受重力（竖直向下）和电场力 （竖直向上） 匀速直线运动时合力为零 解得第一、二象限的电场强度 第一象限仍存在电场，重力与电场力继续平衡，小球仅受洛伦兹力做顺时针匀速圆周运动。 已知，，小球在点速度水平向右，洛伦兹力向下，圆心在轴上。设圆心为，半径为，则 圆心到点的距离等于半径 代入 解得，圆心为 洛伦兹力提供向心力 代入、，解得第一象限磁感应强度 （2）小球在点的速度大小仍为，方向为圆周运动切线方向，小球沿做匀减速直线运动到时速度为，说明合力方向与速度方向相反 的长度为，根据运动学公式有 代入，解得加速度大小 小球受重力和电场力，合力大小 将力分解到，方向 方向 方向 解得电场分量， 合电场强度大小 （3）小球到达点时速度为，此后在第三象限沿斜面运动，电场周期为 我们先判断小球是否会因为速度足够大，在洛伦兹力的作用下脱离斜面。 当小球的速度恰好足够脱离斜面时， 解得 因为每个周期内只有的时间，小球在重力的作用下做匀加速直线运动。 所以一共需要n个周期的时间小球恰好脱离斜面 在个周期的时间内，小球不脱离斜面，第个周期小球脱离斜面做匀速圆周运动。 研究前个周期小球运动的总路程，每个周期分两个阶段： 阶段一：（时长） 小球受沿斜面向下重力的分力作用，加速度，小球做匀加速直线运动。 第个周期的阶段一：初速度 ，末速度 ，其中 该周期内运动的路程 阶段二：（时长 ） 重力沿斜面向下的分力与电场力平衡Eq=mgsin45°，小球沿斜面做匀速直线运动，速率为 该周期的阶段二小球运动的路程 2026个周期内的总路程为 代入n=2026、、、 化简得 15．（2026·河北唐山·二模）如图所示，、为匀强磁场竖直截面的上下水平边界，两边界间的距离为，磁场的磁感应强度为。用粗细均匀的某金属材料制成单匝正方形线框，质量为，边长为，总电阻为，将线框从距边界上方高处由静止释放，、边始终与边界平行，边到达边界时的速度等于边到达边界时的速度，重力加速度为。求： (1)线框刚进入磁场时，边两端电压； (2)线框穿过磁场的过程中，安培力做功的平均功率大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线框刚进入磁场时为，由 边切割磁感线产生的电动势为 边为等效电源，其两端电压为路端电压，由闭合电路和欧姆定律 故得其两端电压为 （2）从边到达边界到边到达边界过程，由动能定理有 故 由动量定理 又 联立解得 16．（2026·河北保定·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，x轴上A（4L，0）处有一粒子发射源，能沿y轴负方向发射电荷量均为q、质量均为m的带正电粒子，粒子初速度大小为v。y轴左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，第四象限存在一方向沿坐标平面的匀强电场（均未画出）。第一象限中矩形区域OBCD内存在着两匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，两磁场区域的分界线为矩形的对角线BD，两磁场均垂直纸面向外。区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小为 ，C点坐标为（3L，4L），从粒子源发射的粒子经电、磁场偏转后垂直x轴进入第二象限，且恰从B 点垂直y轴进入矩形区域。忽略粒子重力。 (1)求第四象限电场的电场强度大小和方向及y轴左侧磁场的磁感应强度大小； (2)若粒子恰好不能从OB 边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小； (3)若粒子在第一次离开矩形区域前能经过BD 中点E，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小的可能值。 【答案】(1)，方向与x轴负方向夹角为45°，指向左上方； (2) (3)，，，， 【详解】（1）由于粒子垂直y轴进入第一象限，可知粒子经电场偏转后垂直y轴进入y 轴左侧磁场区域，又粒子垂直x轴进入第二象限，可知粒子在y轴左侧磁场中运动的轨迹圆心为O点，轨迹半径为r=4L，即粒子轨迹与y轴负半轴交点的坐标为（0，-4L）。 由于粒子初速度沿y轴负方向，则由对称性和类抛体运动规律可知电场方向与x轴负方向夹角为45°，指向左上方，且有 由牛顿第二定律有 解得，方向与x轴负方向夹角为45°，指向左上方。 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力有 解得 y轴左侧磁场的磁感应强度大小为 （2）由洛伦兹力提供向心力得粒子在磁场区域Ⅰ中运动的轨迹半径为 画出粒子恰不从OB 边射出的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 又有 则      且有 可得粒子在区域Ⅱ内运动的轨迹半径为 在区域Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力得 联立得区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为 （3）由（2）问分析可知，粒子第一次从区域Ⅰ射入区域Ⅱ时，粒子沿BD方向运动的距离为     由几何关系可知，粒子由区域Ⅰ进入区域Ⅱ时，粒子速度方向沿x轴正方向，故粒子此后做周期性运动，每个周期沿BD方向运动的距离均为d。 当粒子从区域Ⅰ到达E点时有 可得 又 ，则可能的取值为 区域Ⅱ的磁感应强度 解得其可能的取值为 当粒子由区域Ⅱ到达E点时 则有     解得 又 解得可能的取值为 则此时区域Ⅱ磁感应强度可能的取值为 17．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带正电、电荷量为、质量为的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，之后粒子从点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为，静电力常量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)若在平面内固定一个带负电的点电荷，粒子仍然沿（1）中的轨迹从运动到，已知此时粒子射入磁场的速度大小为，求点电荷的位置坐标和电荷量； (3)在（2）的场景下，粒子从点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷的最远距离为，经过一段时间，粒子的速度方向首次与经过点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷的电荷量可直接用表示）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动的速度为，由牛顿第二定律有 又有 从A到B，为圆，圆心角为，则 联立解得磁感应强度大小为 （2）因粒子仍按（1）中的轨迹做圆周运动，所以圆周运动半径及圆心不变，点电荷P必处于圆心位置，故位置坐标为，由几何关系可得 由牛顿第二定律可得 所以 （3）出磁场后，粒子仅受库仑力，洛伦兹力消失，做椭圆运动，可类比行星绕太阳做椭圆运动的规律，B点为近日点，首次与B点速度方向相反是远日点，椭圆半长轴 由类比开普勒第三定律，有 运动时间为椭圆的周期一半 故 18．（2026·河北沧州·一模）空间有一边长为L的立方体 ，O为 的中点，以O为原点建立空间坐标系O-xyz，AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度射出，M点的坐标为粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小 (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O'到O点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知粒子在匀强电场中做类平抛运动，x方向有 y方向有 解得 （2）粒子经过O点时沿y轴方向的速度 粒子在磁场中在平面内做圆周运动，有 粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 由几何关系可知粒子的轨迹半径 解得 （3）粒子在磁场中做圆周运动有 解得 粒子做圆周运动的周期 同时沿x轴做匀速直线运动，所以 所以粒子垂直z轴沿方向离开磁场区域，经过 后落到荧光屏上，粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 所以粒子落到荧光屏上位置的z坐标 y坐标 所以该位置的坐标为 19．（2026·河北保定·二模）如图所示，长方形区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，长为3.2L，ad长为，边中点有一粒子源，沿纸面向磁场内各方向均匀发射速率相同的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为，发射速率为，粒子重力不计，忽略粒子间的静电力。已知，，求： (1)粒子在磁场中运动的最长时间； (2)从ad边射出的粒子占粒子总量的百分比（保留3位有效数字）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力 代入比荷，速率，得轨道半径 粒子做圆周运动的周期为​ 粒子运动时间，为圆心角，圆心角越大时间越长。最大圆心角对应的弦长最长，轨迹与相切，如图轨迹2 所示 由几何关系可得，则 轨迹圆心角为 因此最长时间 （2）在轨迹2与轨迹3之间的粒子都从边射出，由几何关系可得，则 则轨迹2与轨迹3的粒子初速度夹角为 占比为 【点睛】 20．（2026·河北沧州·一模）医用质子治疗仪通过电、磁场偏转系统实现质子精准导向，确保质子束准确抵达病灶。该偏转系统可简化为如图所示模型：平面轴右侧空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小未知），坐标为的点有一粒子源，能向左下方沿与轴负方向成角的方向，发射速度大小为，质量为，带电荷量为的质子，不计质子的重力。 (1)若在轴左侧空间施加沿方向的匀强电场，使质子发射后能够从点处第一次进入轴右侧的磁场中，求所加电场的电场强度大小； (2)若在轴左侧空间仅施加垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，使质子能通过坐标原点且通过点时速度与初速度相同，求质子从发射到通过点所经历的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）质子在匀强电场中做斜抛运动，其沿轴方向做匀速直线运动，设质子在匀强电场中运动的时间为，则有 解得 质子沿轴方向做匀变速直线运动，设其加速度大小为，则根据运动学公式有 解得 则根据牛顿第二定律有 解得所加电场的电场强度大小为 （2）若质子只旋转一次便通过坐标原点，则质子的运动轨迹如图所示： 设质子在轴左侧空间做匀速圆周运动的半径为，则由洛伦兹力提供向心力有 解得 质子在轴左侧空间做匀速圆周运动的周期为 由上图可知，质子在轴左侧空间做匀速圆周运动转过的圆心角为，所以质子在轴左侧空间的运动时间为 若质子在空间旋转了圈后通过坐标原点，由上面分析可知，质子在轴左侧空间做匀速圆周运动每次转过的圆心角都为，则质子每次在轴左侧空间的运动时间都为，所以质子在空间旋转了圈后通过坐标原点时，质子在轴左侧空间运动的总时间为 若质子在空间只旋转一次便经过坐标原点，则在上图中由几何关系有 若质子在空间旋转两次经过坐标原点，则运动轨迹如图所示： 由几何关系有 所以若质子旋转了圈后通过坐标原点，则质子在轴右侧空间做匀速圆周运动的半径应满足 解得 所以质子在轴右侧空间做匀速圆周运动的周期为 由于质子每次在轴右侧空间做匀速圆周运动转过的圆心角都为，所以质子每次在轴右侧空间运动的时间都为 所以若质子在空间旋转了圈后通过坐标原点时，质子在轴右侧空间运动的总时间为 所以质子从发射到通过点所经历的总时间为 21．（2026·河北邢台·二模）如图所示，在xOy坐标系第二象限有一半径为R的圆形区域，圆心为C。圆形区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，圆形边界分别与x、y轴相切，切点分别为M、N。在第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴上放有粒子接收屏。带电粒子从M点以速度沿与MC夹角的方向垂直射入磁场，粒子离开磁场后从y轴上的P点垂直y轴进入电场，最后到达接收屏的Q点（P、Q点图中没有画出），Q到O的距离为。不计粒子所受重力。 (1)求P到O的距离y； (2)求电场强度E和磁感应强度B的比值； (3)若在第一象限还有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B'，粒子进入第一象限后垂直击中接收屏，求。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由左手定则可知粒子带正电，在磁场中做圆周运动，轨迹如图1所示 粒子离开磁场的位置为A，轨迹圆心为D，由对称性可知A、M关于C、D连线对称 由于粒子离开磁场时速度方向垂直y轴，可知AD平行CM，可知四边形MCAD 为菱形。 粒子圆周运动轨迹半径 P 点到O点的距离 （2）设粒子质量为m、电荷量为q，在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当向心力 可得 设粒子在电场中运动时间为方向粒子做匀速直线运动 设y方向加速度大小为，根据牛顿第二定律 y方向做匀加速直线运动 可得 电场强度E和磁感应强度 B的比值 （3）粒子在第一象限的轨迹如图2所示，设某时刻速度为，方向与x正方向夹角为，经过极短时间，速度变化 x 方向，根据动量定理 对从P到x轴过程求和，可得 可得 即 22．（2026·河北保定·一模）如图所示，三条竖直虚线将空间分成四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ中存在水平向右的匀强电场，区域Ⅱ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅲ为无场区，区域Ⅳ中某矩形区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），矩形区域的一条边与区域Ⅳ左边界重合。区域Ⅳ的磁感应强度大小为区域Ⅱ的4倍。一带正电的粒子从图中水平虚线的S点垂直电场方向以初速度v0射出，之后做周期性运动。虚线1与水平虚线的交点为O，SO=4.5L，粒子从虚线1的P 点进入区域Ⅱ，OP=12L，接着通过虚线2时速度方向斜向下与虚线2成53°角，虚线1、2间的距离为28L，粒子的比荷为k。粒子的重力忽略不计，取 求： (1)区域Ⅰ中电场强度的大小； (2)区域Ⅱ中磁感应强度的大小； (3)粒子做周期性运动的周期。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从S到P 的过程，粒子在电场中做类平抛运动、竖直向上做匀速直线运动，则有 水平向右粒子做匀加速直线运动，则有 由牛顿第二定律得 由题意得 解得 （2）粒子在 P 点时水平向右的分速度为 联立解得 粒子进入磁场的速度大小为 该速度与虚线1夹角的正切值为 解得 画出粒子的轨迹如图所示 设粒子在区域Ⅱ中的轨迹半径为，由于通过虚线2时速度方向斜向下与虚线2成53°角，由几何关系得 解得 由于 则粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆心在水平虚线上，由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）粒子从S到P的时间为 粒子在区域Ⅱ中的运动周期为 由几何关系可知粒子在区域Ⅱ中偏转的角度为粒子在区域Ⅱ上半部分中运动的时间为 由于区域Ⅳ中的磁感应强度为区域Ⅱ的4倍，由公式 可知粒子在区域Ⅳ中的轨迹半径为 由对称性可知粒子在区域Ⅳ中轨迹的圆心在水平虚线上，设为O₂，由几何关系得 解得 粒子从Q到M 做匀速直线运动，时间为 粒子在区域Ⅳ中的偏转角为 粒子在区域Ⅳ中的运动周期为 粒子在区域Ⅳ中的运动时间为 粒子从 S 出发到返回S点的时间为 23．（2026·河北沧州·二模）如图所示，一倾角为的光滑绝缘斜面和光滑绝缘水平面平滑连接，在斜面上存在三个宽度均为的区域，区域边界均平行于斜面底边EF，区域Ⅰ、Ⅲ有垂直于斜面向下的匀强磁场，区域Ⅱ有垂直于斜面向上的匀强磁场，三个区域的磁感应强度大小均为。水平面上在虚线MN（MN连线平行于EF且ME间距大于d）右侧存在不随时间变化的恒定的磁场，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小与到MN的距离x之间满足（，）。一个边长也为、质量、电阻的单匝正方形金属线框，某时刻从斜面上某一位置处由静止释放。线框的CD边刚要离开区域Ⅲ下边界时，线框加速度恰好为0，速度大小为。当线框AB边刚到MN时，速度大小为，从此时起立刻对线框施加水平向右的作用力F，保证线框做匀速直线运动。已知在运动过程中线框AB边始终平行于斜面底边，重力加速度g取。 (1)求速度的大小。 (2)求线框从静止释放到CD边离开区域Ⅲ，所需要的时间。 (3)如果以线框AB边刚到MN边界时作为时刻，分析水平外力F随时间t变化的规律。 【答案】(1)1m/s (2)1.2s (3)（），（） 【详解】（1）线框刚要离开磁场区域时，恰好匀速，则有 其中 解得 （2）线框进入磁场Ⅰ过程，安培力冲量大小为 其中，，解得 从线框AB边进入磁场Ⅱ上边界，到线框AB边到磁场Ⅲ下边界过程中，AB边和CD边安培力总冲量大小为 其中，，解得 线框AB边从磁场Ⅲ的下边界到线框CD边离开磁场Ⅲ过程，同理得 线框从静止释放到CD边离开区域Ⅲ过程，由动量定理得， 即 代入数据解得 （3）①线框水平进入磁场过程中，只有AB边切割磁感线产生感应电流，也只有AB边受到安培力的作用，则有，， 其中（，） 联立解得 又，代入数据解得（） ②线框全部进入磁场后，AB、CD边同时切割磁感线，设某时刻线框AB边处磁感应强度为，线框CD边处磁感应强度为，则 安培力 其中 可得 又，代入数据解得（） 24．（2026·河北邢台·二模）如图所示，在竖直平面坐标系xOy的第二象限和第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场区域，一条与x轴正方向成45°且过原点O的虚线MN右下方足够大区域内存在与直线MN平行、斜向左下方的匀强电场，一个质量为m，电荷量为+q的粒子以速度v从y轴上的A点（0，L）沿x轴负方向射入磁场，恰好垂直虚线MN进入电场与磁场组成的复合区域且在复合区域内做直线运动。当粒子到达y轴时，电场强度大小不变，方向变为平行直线MN斜向右上方，此后粒子经电场作用到达x轴。粒子重力不计。求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和匀强电场的电场强度E的大小； (2)带电粒子第二次经过x轴时的位置坐标； (3)带电粒子从A点进入磁场到第二次到达x轴所经过的总时间。（结果均可带根号） 【答案】(1)， (2)（，0） (3) 【详解】（1）如图所示 由几何知识可知，带电粒子在磁场中做圆周运动时 根据洛伦兹力提供向心力 解得 在复合场区域 解得 （2）如图所示 粒子垂直经虚线MN时距O点距离为L，粒子匀速直线经过y轴负半轴时距O点距离应为，粒子离开复合场区域后到达x轴过程中，沿y轴方向上，有， 沿x轴方向上， 解得，， 即带电粒子第二次经过x轴时的位置坐标为（，0）； （3）粒子在磁场中时间 在复合场中时间 带电粒子从A点进入磁场到第二次到达x轴所经过的时间 所以 25．（2026·河北保定·一模）如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，在第三象限中存在沿x轴正方向的匀强电场Ⅰ和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向内的匀强磁场；的区域内存在竖直向上的匀强电场Ⅱ和方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球在第三象限内做匀速直线运动，从O点进入第一象限，从y轴上的A点离开叠加场。已知重力加速度大小为g，电场Ⅰ、Ⅱ的场强大小分别为 (1)求小球在第三象限内运动的速度大小v； (2)若电场Ⅱ的电场强度减小为某值时，小球在x轴上方叠加场中某位置速度为零，求小球速度为零时所在位置的横坐标。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球在第三象限做匀速直线运动，受竖直向下的重力mg、沿x轴正方向的电场力qE1、与速度方向垂直的洛伦兹力qvB1而平衡，设小球速度方向与y轴正方向的夹角为θ，则 且 其中 解得 （2）在区域，电场力即电场力与重力平衡，则小球在该区域内做匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力有 由几何关系得圆周运动的轨迹半径R满足 因为某位置速度为0，故将小球在O点的速度分解为大小相等的、，如图所示 可知圆周分运动初始时的速度与x轴夹角为 轨迹半径为 速度为0时偏转的角度为，经过的时间为 则此时小球所在位置的横坐标为 26．（2026·河北廊坊·一模）如图所示，在xOy平面坐标系第一、四象限存在匀强电场，第一象限的场强大小为E=1×104V/m方向沿y轴负方向，第四象限的场强未知（未画出），在第一、三象限（含坐标轴）存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B=0.1T，方向分别垂直纸面向里、向外。第四象限（2m，-0.3m）点处有一粒子源（未画出），能沿y轴正方向以一定的初速度射出质子，经第三象限后从O点沿x轴正方向、以2×105m/s的速度进入第一象限。质子的比荷为1×108C/kg不计重力。 (1)求质子在第三象限的轨迹半径； (2)设第四象限中电场方向与x轴负方向的夹角为θ，求tanθ的值； (3)求质子从O点进入第一象限后y轴方向速度为零的位置的横坐标。 【答案】(1)0.02m (2)0.13 (3)（n=0，1，2……） 【详解】（1）粒子在第三象限中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）分析可知，质子垂直y轴进入第三象限，沿x轴方向有， 其中， 解得 沿y方向，有， 又 解得 所以 （3）根据配速法原理，质子进入第一象限后，将速度v1沿x轴方向分解为v2、v3，令 解得 方向沿x轴正方向，则 方向沿x轴正方向，即质子的运动可看成沿x轴正方向的匀速直线运动和在xOy平面内的匀速圆周运动的合运动，设质子在第一象限做圆周运动的周期为T，质子进入第一象限后每隔，y轴方向的速度为零，质子做匀速圆周运动的周期为 所以质子y轴方向速度为零的位置的横坐标为（n=0，1，2……） 27．（2026·河北承德·一模）如图所示，在Oxy平面直角坐标系的第二象限内，存在沿+y方向的匀强电场，在x>0区域内存在一圆形匀强磁场（未画出）。一带负电粒子质量为m，电荷量为-q（q>0），从A点以速度v0沿与+x方向成夹角进入第二象限，带电粒子达到y轴上的B点时，速度沿+x方向，在第一象限中，带电粒子经过匀强磁场偏转后从x轴上的C点射出磁场，此时速度与+x方向夹角为。已知O、A两点之间的距离为2L，O、C两点之间的距离为3L。不计粒子重力，试求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)符合条件的匀强磁场的最小面积； (3)在符合第（2）问条件下，带电粒子从A点运动到C点的总时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将粒子的初速度分解得 所以粒子在第二象限的运动时间 又因为粒子受到电场力其加速度为 ，带电粒子运动到y轴上的B点时，速度沿+x方向，所以 解得 （2）因为电场，所以B点纵坐标 解得B点坐标为 因为带电粒子经过匀强磁场偏转后从x轴上的C点射出磁场，速度与+x方向夹角为，所以粒子运动轨迹的圆心必然在以C点为端点，方向与-x方向夹角为的射线上。且该圆心到直线 的距离等于到C点的距离，所以有几何关系 解得 所以带电粒子的运动轨迹是以 为圆心，半径为 的一段圆弧。 所以该匀强磁场应该包含点与C点，其最小面积就是以该两点的连线为直径的圆的面积 （3）将带电粒子从A点运动到C点的总运动时间t分为三部分。 第一部分为从A点运动到B点所用时间 第二部分为从B点到抵达磁场的边界所用时间 第三部分为带电粒子在磁场中运动的时间 所以总运动时间 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题20电磁学计算 6年真题1年模拟 高考品题透析园 河北考情(2021 考点分类 命题规律 2026) 真实情境深度渗透：以国产电磁弹射装置、粒子回 2026河北卷 旋加速器、无线充电系统等前沿科技场景为载体， 2025河北卷 不再使用纯理论裸模型出题，要求学生从复杂场景 中拆解多过程物理模型。 考点1电磁学计 2024河北卷 综合关联属性突出：不再单一考查孤立知识点，会 算题 联动静电场、磁场、电磁感应、力学等多模块考 2023河北卷 点，强化“场+力+能量”的综合链条考查。 2022河北卷 能力导向持续强化：弱化机械繁琐的代数运算，重 点考查轨迹分析、临界条件推导、多解性分析的能 2021河北卷 力，规避固化刷题套路，依靠深度建模能力实现分 数分层。 六年真题分类园 考点01电磁学计算题 1.(2026河北：高考真题)图1为某质谱仪工作原理示意图。电离室中的气体分子被激光照射后发生电离， 其中带正电的粒子由静止经平行于纸面的加速电场加速后，垂直于CD边进入梯形匀强磁场区域（磁场方 1/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 向垂直纸面向外)，并从CG边中点O平行于CD边射出，经无场区从边界PQ进入平行于纸面的匀强偏 转电场，最终打到接收器与纸面交线N上并被吸收，接收器可视为接地良好的金属板。N延长线经过 O点，与CD所在直线夹角为a,α可通过N绕O点在纸面内的转动进行调整，调整前后PQ与N始终 平行且间距为0.3m不变。CG边长为0.2m,与底边HG夹角为60°，磁感应强度大小为0.4T,偏转电场的 电场强度大小为1.8×104Vm,方向始终垂直于PQ。整个过程只考虑一种粒子，加速电场的电压恒定，MN 与PQ足够长，装置处于真空环境，忽略粒子间的相互作用，不计重力。 H G 60 t/μs 梯形 偏转 7.95 磁场 电场 D C e 0.3m 7.90 加速 电场 M 7.85 电离室 接收器 50 图1 607080a1() 图2 (1)已知激光波长为442m,求该激光一个光子的能量c。(普朗克常量h=6.63×104Js,真空中光速 c=3×10m/s (2)调整α，得到从粒子离开加速电场到到达接收器所经历的时间t与α的关系如图2所示，求加速电场的 电压U以及粒子比荷k。 (3)质谱仪稳定工作时，测得接收器每秒接收的粒子数为，若再测一个除电荷量和质量以外的物理量，便 可在(2)问的基础上得到粒子的质量。请写出该物理量，并推导粒子质量表达式（所有物理量均用字母 表示)。 2.(2025·河北：高考真题)某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1000A的恒定电 流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，α可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面 绝缘的无人机。初始时a静止于MM'处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一 起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当α运行至N时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全 部转化为动能，a与b分离。己知电容器电容C为10F,导轨间距为0.5m,磁感应强度大小为1T,M到 N的距离为5m,a、b质量分别为2kg、8跳g,a在导轨间的电阻为0.012。碰撞、分离时间极短，各部分 始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 2/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 调控系统卫× 3 (I)若分离后某时刻a的速度大小为I0m/s,求此时通过a的电流大小。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25m时，求b分离后的速度大小，分析其是否为b能 够获得的最大速度；并求α运动过程中电容器的电压减小量。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f=h2(k=0.025N·s2m),初始 位置与(2)问一致，试估算a运行至W时。a分离前的速度大小能否达到(2)问中分离前速度的99%， 并给出结论。(0.992=0.9801) 3.(2024河北高考真题)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直 平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为99>0 、质量为心，A、B两点间的电势差为 U,重力加速度大小为8，求： (1)电场强度E的大小。 (2)小球在A、B两点的速度大小。 E O B 4.(2024河北高考真题)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处 固定一竖直细导体轴O0。间距为L、与水平面成8角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导 轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在 水平面内绕O点以角速度0匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中， CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R,电路中其余部分 的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为8。 3/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值： (2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a,所受安培力大小等于(1) 问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。 2L ↑B B A ωO D 5.(2023河北：高考真题)如图1，真空中两金属板M、N平行放置，板间电压U连续可调，在金属板N 的中心C处开有一小孔。F、G、H为正三角形CDE各边中点，DE与金属板平行。三角形FGH区域内存 在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。一带电粒子从紧邻M板的P点由静止释放沿CG 方向进入磁场，一段时间后沿∠CED的角平分线方向从E点离开。已知正三角形CDE的边长为a,粒子质 量为、电荷量大小为9，粒子重力不计。 (1)求板间电压U的大小： (2)若磁场区域如图2，磁感应强度不变。调整两板间电压大小，将该粒子从P点由静止释放，仍能沿 ∠CED的角平分线方向从E点离开，求粒子从C点运动到E点的时间。 M M D N x-G -X × H 图1 图2 6.(2022河北高考真题)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源 相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直O少平面向外。电场强度和磁感应强 度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为9(9>0)、初 速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： 4/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2πm t= (1)t=0时刻释放的粒子，在qB。时刻的位置坐标： 、6m (2)在 qB。时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功： M 4πEmπ2Eom 0、6mm (3)在 qBo 点放置一粒接收器，在qB。时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被 捕获。 EA 4E, 0 πm V I t/ B qB B。 012345678 t/ ,πm 图1 图2 7.(2021·河北：高考真题)如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强 度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上0点处的粒子源垂直极板向上发射速度为”、带 正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q,一足够长的挡板OM与正极板成37°倾斜放置，用于吸 收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大 小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子 所受重力。sin37°=3 U (1)若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压“的大小： (2)调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM上，求电压的最小值0m: 5/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点(CH≤CP<CS,H、S两点 未在图中标出)、对于粒子靶在S区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接 收到n(n≥2)种能量的粒子，求CH和CS的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。 ● ● ● 一 年摸拟练测园 8.(2026河北秦皇岛·模拟预测)如图甲所示，间距为L的足够长的平行光滑金属轨道固定在水平面上， B 金属轨道处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为，电阻为R、质量为的金属棒b垂直轨道 放置并与轨道接触良好，导轨左侧接一匝数为N、面积为S的线圈，垂直线圈平面的磁感应强度B随着时 间t变化的关系如图乙所示，金属棒b中的电流方向如图所示，金属棒b在安培力作用下由静止开始向 右运动。已知线圈电阻为0.5R,电路中其余电阻忽略不计。求： (I)金属棒b所处磁场的磁感应强度的方向和0时刻金属棒b的加速度大小： (2)全过程中通过金属棒的电荷量q: Eo )当通过金属棒的电荷量为0.5g时，若此过程线圈产生的电能为°，求此时金属棒的电功率和此过程中 金属棒产生的焦耳热。 9.(2026河北张家口·二模)在真空管道超高速磁悬浮交通系统的研发中，列车启动阶段采用直线电机驱 动。为研究系统启动特性，搭建了如图所示简化实验装置，定子绕组简化为固定在水平绝缘平面上的足够 6/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长光滑平行金属导轨，车载导体作为动子简化为置于导轨上的导体棒，导轨间存在方向竖直向下、磁感应 强度大小为B的匀强磁场，导轨间距为L；导体棒质量为m,长度略大于L,其导轨间电阻值为R,导轨 左端通过开关S连接输出电压恒为U的电源。接通开关S,导体棒从静止开始运动，运动中所受阻力与其 速率成正比，比例系数为。当导体棒运动距离为时达到匀速运动状态，之后立即断开5。导体棒与导 k 轨始终垂直且保持良好接触，忽略导轨电阻。求： + 恒压 电源 B X (I)在接通开关S瞬间导体棒的加速度大小： ②)导体棒能达到的最大速率”， (3)导体棒在加速过程中电源输出的电能。 10.(2026:河北邢台·二模)如图所示，ACE、A'CE为间距L=2的平行金属导轨，其中AC、A'C"段为倾 角8=37°的倾斜导轨，CE、C"E段为光滑水平导轨，倾斜导轨与水平导轨在C、C"处平滑连接。在CC"的 右侧空间存在竖直向上的匀强磁场B0.5T,DD'为固定在水平导轨上的竖直立柱，且DD川CC。将一质量 为0.1kg的导体棒a从距离(CC为=4m 处由静止释放，另一质量为2的导体棒b静置放在CC右侧 52=0.4m 处，DD离导体棒b的初始位置足够远。已知导体棒a与倾斜导轨间的动摩擦因数H=05, ，导体 棒a、b导轨间的电阻均为R=12,其余电阻不计，忽略空气阻力，运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂 直且接触良好，所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度8=10m/s3,sin37°=0.6。 C D (I)求导体棒a刚滑至CC"时的速度大小； 7/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求从导体棒b开始运动到导体棒α、b第一次共速的过程，回路中的电荷净转移量9： (3)若导体棒a、b第二次碰撞后瞬间，立即将立柱DD'撤走，求之后在磁场区时两者的最大间距d。 1.(2026河北三模)如图所示，在平面直角坐标系0中，圆心为0、半径R=08m、关于》轴对称 4 的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，圆形区域与x轴在坐标原点处相切。长均为凸=；m、 3 间距d=1.5m的平行金属板M、N间存在着相互正交的匀强磁场与匀强电场（图中未画出），磁场的磁感 B=0.18T 应强度大小 ，方向垂直于纸面向里，M板的一端落在x轴负半轴上，另一端与圆形区域最左端 点重合。少<0 E=10N/C 区域内存在着沿轴正方向、电场强度大小 的匀强电场，第四象限内距离轴 s=0.8m处固定着足够长的荧光屏。一宽度为的粒子源持续不断地沿平行于金属板方向发射速率均为 ,=4ms、比荷均为m =12.5Cg的同种带正电粒子，粒子恰能在金属板间做直线运动。现仅辙去金属板 间磁场，从A点射入圆形区域的粒子恰能过O点。不计粒子的重力，忽略粒子间相互作用、各场的边缘效 应和粒子打在金属板上对金属板间电场的影响。撤去金属板间磁场后，求： A M (I)粒子射出金属板时的速度大小V; B2 (②)圆形区域内磁场的磁感应强度大小； 3)圆形区域内有粒子经过的面积°和荧光屏上有粒子击中区域的长度之。 12.(2026河北沧州·三模)在空间辐射防护与粒子束调控的科研场景中，科研人员设计了一套复合场粒 子操控系统：如图所示，平面内建立直角坐标系xO),第二象限存在水平向右的匀强电场，一、四象限内 区域I、Ⅱ、Ⅲ存在宽度均为的匀强磁场，方向均垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小均相等，相邻 8/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两藏场区域边界间的距离也为4一质量为m,电荷量为q的带正电的粒子以速率从M(一31,0）点垂直 电场方向进入电场，从N(0,2)点进入磁场，恰好不能从区域Ⅲ的右边界射出，不计粒子的重力。求： ● ● o↑ 2d 。。 ●● ● (1)匀强电场的场强大小E; (2)磁场区域内磁感应强度的大小B: (3)粒子从M点开始运动到第一次到达区域Ⅲ的右边界所用的时间。 13.(2026河北二模)某科研团队设计了一种新型粒子沉积装置，用于沉积特定能量的带电粒子，原理 如图所示。在xOy平面内，y=d与y一4d直线之间的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强 磁场。电子枪沿y轴固定在Od间，电子枪灯丝逸出初速度为0、质量为、电荷量的大小为的电子经电 子枪内部电场加速后沿y轴正方向进入磁场。在x轴上=3d至=5d区间放置一沉积靶（厚度不计），沉 积靶长度为2，电子打到靶上（包括边缘）即被吸收。忽略场的边界效应、电子重力及电子间相互作用。 4d ×××××××××××X ×××××××××××× 3d 5d (I)若电子经磁场偏转后打在沉积靶上表面的左端点，求电子枪内部加速电压V的大小： 心巴若电了枪内部加速电压U=25,在直线=1」方区技加平行y转的上的匀爱化场，为佐电打 在沉积靶的上表面，求电场强度E应满足的条件： 3)若电子枪内部加速电压U=25 2m 一，在直线y≥4d和y≤0的区域也加磁感应强度大小为B、方向垂直 9/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 纸面向里的匀强磁场，且在直线0≤y≤d,0的区域加平行与y轴向下的匀强电场。现要求电子最终垂直 打在沉积靶下表面的中点处，求打在此处电子动能的所有可能值。 14.(2026河北衡水·二模)如图甲所示，直角坐标系x0少位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直 向上的匀强电场，场强大小（未知）。现有一质量为m、电量为9的带电小球，从第二象限以速度 M 2+2L 。=√gL。水平射出，做匀速直线运动，经点 2 进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向 外的匀强磁场，经过一段时间，从点之，0 N 2 第一次离开第一象限进入第四象限，第四象限内存在一 未知电场，小球沿P方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝 缘斜面固定在第三象限内，与少轴相交于P点，斜面沿P方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为 2πm E② B,-1013g0。的匀强磁扬，同时存在沿斜面向上的周期性变化的电场2 ，变化规律如图乙所示，从 小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为8。求： 个y M 个E· +q B E W L.0) ·B2 甲 乙 E B ()电场强度大小和第一象限内磁感应强度大小； (2)第四象限内的电场强度大小 10119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0~2026× -+1T。 3)小球在 4π 时间内的路程s。 15.(2026河北唐山二模)如图所示，MW、P№为匀强磁场竖直截面的上下水平边界，两边界间的距离 为L>a) 磁场的磁感应强度为B。用粗细均匀的某金属材料制成单匝正方形线框ABCD,质量为m, 边长为d,总电阻为R,将线框从距边界MN上方高h处由静止释放，AB、CD边始终与边界平行，AB 边到达边界PO时的速度等于CD边到达边界MW时的速度，重力加速度为8。求： h ×××××× X××××X ×××××× ×××××× (I)线框刚进入磁场时，CD边两端电压： (②)线框穿过磁场的过程中，安培力做功的平均功率大小。 16.(2026河北保定·二模)如图所示，在平面直角坐标系中，x轴上A(4L,0)处有一粒子发射源，能 沿y轴负方向发射电荷量均为9、质量均为的带正电粒子，粒子初速度大小为'。y轴左侧存在垂直纸面 向外的匀强磁场，第四象限存在一方向沿坐标平面的匀强电场（均未画出）。第一象限中矩形区域OBCD 内存在着两匀强磁场区域I和Ⅱ，两磁场区域的分界线为矩形的对角线BD,两磁场均垂直纸面向外。区 线1中磁场的磁感应强度大小为么，-2m L,C点坐标为(3L,4)，从粒子源发射的粒子经电、磁场偏 转后垂直x轴进入第二象限，且恰从B点垂直y轴进入矩形区域。忽略粒子重力。 11/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求第四象限电场的电场强度大小和方向及y轴左侧磁场的磁感应强度大小： (2)若粒子恰好不能从OB边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小： (3)若粒子在第一次离开矩形区域前能经过BD中点E,求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小的可能值。 17.(2026河北邯郸模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系x0少的第二、三象限内存在垂直纸面向外 的匀强磁场。一带正电、电荷量为9、质量为m的粒子从4(0，- 点射入磁场，速度方向与'轴正方向夹 角日=45°，之后粒子从 (0,L) 点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为6，静电力常量为k，忽略粒 子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 PA B ●●● ● A ● (1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小： (2)若在x0少平面内固定一个带负电的点电荷P,粒子仍然沿(1)中的轨迹从A运动到B,已知此时粒子 射入磁场的速度大小为”，求点电荷P的位置坐标和电荷量”， V ⊙)在(2)的场景下，粒子从B点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷'的最远距离为5，经过 一段时间，粒子的速度方向首次与经过B点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷 P的电荷量可直接用Q表示)。 12119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DA 18.(2026河北沧州一模)空间有一边长为L的立方体 ABCD-AB,CD,O为DA的中点，以O为原 AA 点建立空间坐标系O-2,AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感 应强度大小为 ”(未知)的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为、电荷量为 25L,-L0y +9(PO)的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度，射出，M点的坐标为 粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 y D 0' B 荧光屏 (1)求匀强电场的电场强度的大小： ②)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小： B=3xmvo (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 9L同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O到0 点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 19.(2026河北保定·二模)如图所示，长方形abCd区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，ab长为 3.2L,ad长为L,ab边中点S有一粒子源，沿纸面向磁场内各方向均匀发射速率相同的带正电粒子，已知 带电粒子的比荷为k,发射速率为kBL,粒子重力不计，忽略粒子间的静电力。已知sn37°=0.6， cos37°=0.8，求： 13119 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 + + × a F 6 (1)粒子在磁场中运动的最长时间： (2)从ad边射出的粒子占粒子总量的百分比（保留3位有效数字）。 20.(2026河北沧州·一模)医用质子治疗仪通过电、磁场偏转系统实现质子精准导向，确保质子束准确 xOy B 抵达病灶。该偏转系统可简化为如图所示模型： 平面轴右侧空间存在垂直纸面向外的匀强磁 (磁感应强度大小未知)，坐标为0，V☑)的M点有一粒子源，能向左下方沿与'辅负方向成日=45°角的 方向，发射速度大小为”，质量为”，带电荷量为9的质子，不计质子的重力。 本y M (I)若在y轴左侧空间施加沿+x方向的匀强电场，使质子发射后能够从O点处第一次进入'轴右侧的磁场 中，求所加电场的电场强度大小E; B-m出 (2)若在y轴左侧空间仅施加垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小 qL，使质子能通过坐标原点 O且通过O点时速度与初速度相同，求质子从发射到通过O点所经历的时间。 21.(2026河北邢台·二模)如图所示，在xOy坐标系第二象限有一半径为R的圆形区域，圆心为C。圆 形区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，圆形边界分别与x、y轴相切，切点分别为MN。在第一象 Vo 限存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴上放有粒子接收屏。带电粒子从M点以速度沿与MC夹角 14119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=30° 的方向垂直射入磁场，粒子离开磁场后从y轴上的P点垂直y轴进入电场，最后到达接收屏的Q点 3R (P、Q点图中没有画出)，Q到O的距离为 。不计粒子所受重力。 。B。 ● E ● M 0 (1)求P到O的距离y: E (②)求电场强度E和磁感应强度B的比值B; (3)若在第一象限还有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B',粒子进入第一象限后垂直击中接收 B' 屏，求B。 22.(2026河北保定·一模)如图所示，三条竖直虚线将空间分成四个区域I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域I中存 在水平向右的匀强电场，区域Ⅱ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅲ为无场区，区域Ⅳ中某矩形区域 中存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），矩形区域的一条边与区域V左边界重合。区域Ⅳ的磁感应强 度大小为区域Ⅱ的4倍。一带正电的粒子从图中水平虚线的S点垂直电场方向以初速度射出，之后做周 期性运动。虚线1与水平虚线的交点为O,SO=4.5L,粒子从虚线1的P点进入区域Ⅱ，OP=12L,接着通 过虚线2时速度方向斜向下与虚线2成53°角，虚线1、2间的距离为28L,粒子的比荷为k。粒子的重力忽 略不计，取sin37°=0.6。求： 0个 I (I)区域I中电场强度的大小： 15119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)区域Ⅱ中磁感应强度的大小： (3)粒子做周期性运动的周期。 23.(2026河北沧州二模)如图所示，一倾角为8=30°的光滑绝缘斜面和光滑绝缘水平面平滑连接，在 斜面上存在三个宽度均为d=0lm的区域，区域边界均平行于斜面底边EF,区域I、Ⅲ有垂直于斜面向下 的匀强磁场，区域Ⅱ有垂直于斜面向上的匀强磁场，三个区域的磁感应强度大小均为B=2T。水平面上在 虚线N(N连线平行于EF且ME间距大于d)右侧存在不随时间变化的恒定的磁场，磁场方向竖直向 下，磁感应强度大小与到MN的距离x之间满 B.=B,+x,B。=T,k=10Tm)。一个边长也为 d =0.1m m=0.08kg R=0.12 、质量 、电阻 的单匝正方形金属线框，某时刻从斜面上某一位置处由静止释放。 线框的CD边刚要离开区域Ⅲ下边界时，线框加速度恰好为O,速度大小为。当线框AB边刚到MN时， 2=2m/s 速度大小为 ,从此时起立刻对线框施加水平向右的作用力F,保证线框做匀速直线运动。已知在 运动过程中线框AB边始终平行于斜面底边，重力加速度g取l0m/s2。 ××× ××× M )求速度的大小。 ②)求线框从静止释放到CD边离开区域，所需要的时间。 (3)如果以线框AB边刚到MN边界时作为(=0时刻，分析水平外力F随时间t变化的规律。 24.(2026河北邢台·二模)如图所示，在竖直平面坐标系xOy的第二象限和第三象限内有垂直纸面向里 的匀强磁场区域，一条与x轴正方向成45°且过原点O的虚线MN右下方足够大区域内存在与直线N平行、 斜向左下方的匀强电场，一个质量为L,电荷量为+q的粒子以速度v从y轴上的A点(0，L)沿x轴负方 向射入磁场，恰好垂直虚线W进入电场与磁场组成的复合区域且在复合区域内做直线运动。当粒子到达 16119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y轴时，电场强度大小不变，方向变为平行直线W斜向右上方，此后粒子经电场作用到达x轴。粒子重 力不计。求： B 中A 45° X KE (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和匀强电场的电场强度E的大小： (2)带电粒子第二次经过x轴时的位置坐标： (3)带电粒子从A点进入磁场到第二次到达x轴所经过的总时间。（结果均可带根号） 25.(2026河北保定·一模)如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，在第三象限中存在沿x轴正方向的匀 B 0≤y≤2L 强电场I和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向内的匀强磁场： 的区域内存在竖直向上的匀 强电场Ⅱ和方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为q的带正电小球在第三象限内做匀速直 线运动，从O点进入第一象限，从y轴上的A点离开叠加场。已知重力加速度大小为8，电场I、Ⅱ的场 5mg、E,-ms 强大小分别为 E,= y A C ××× (I)求小球在第三象限内运动的速度大小： (②)若电场Ⅱ的电场强度减小为某值时，小球在x轴上方叠加场中某位置速度为零，求小球速度为零时所在 17/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 位置的横坐标。 26.(2026河北廊坊·一模)如图所示，在x0y平面坐标系第一、四象限存在匀强电场，第一象限的场强 大小为E=1×10Vm方向沿y轴负方向，第四象限的场强未知（未画出），在第一、三象限（含坐标轴） 存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B0.1T,方向分别垂直纸面向里、向外。第四象限(2m,-0.3m)点 处有一粒子源（未画出），能沿y轴正方向以一定的初速度射出质子，经第三象限后从O点沿x轴正方向、 以2×10m/s的速度进入第一象限。质子的比荷为1×10C/kg不计重力。 ↑y B × + + + + (I)求质子在第三象限的轨迹半径： (2)设第四象限中电场方向与x轴负方向的夹角为0，求tan8的值； (③)求质子从O点进入第一象限后y轴方向速度为零的位置的横坐标。 27.(2026河北承德·一模)如图所示，在Oxy平面直角坐标系的第二象限内，存在沿+少方向的匀强电场， 在0区域内存在一圆形匀强磁场（未画出)。一带负电粒子质量为m,电荷量为9(P0),从A点以速 度0沿与+x方向成45°夹角进入第二象限，带电粒子达到y轴上的B点时，速度沿+x方向，在第一象限中， 带电粒子经过匀强磁场偏转后从x轴上的C点射出磁场，此时速度与+x方向夹角为60°。已知O、A两点 之间的距离为2L,O、C两点之间的距离为3L。不计粒子重力，试求： CY60→t (1)匀强电场的电场强度E的大小： 18/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)符合条件的匀强磁场的最小面积； (3)在符合第(2)问条件下，带电粒子从A点运动到C点的总时间t。 19119