第06讲 等腰 、等边三角形 + 将军饮马最短路径压轴（核心知识+8易错辨析+15典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦等腰三角形、等边三角形及将军饮马最短路径问题，构建从普通三角形到特殊等腰三角形（含三线合一、轴对称性），再到等边三角形（60°性质、判定），最终结合轴对称解决最短路径的递进式知识支架。 资料通过8个易错辨析（如等腰三角形边长分类讨论）培养学生严谨推理意识，15个典例精讲（如等边三角形与30°直角三角形结合计算）发展几何直观，最短路径模型（化折为直）体现数学应用意识。课中助力教师分层教学，课后作业帮助学生查漏补缺，强化知识运用。

第06讲 等腰、等边三角形 + 将军饮马最短路径压轴 （核心知识+8易错辨析+15典例精讲+课后作业） 【知识点01】等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 三大核心性质（三线合一为重中之重） （1）等边对等角 若 ，则 。 （2）三线合一（必考核心） 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合为同一条直线。 几何书写规范： ， 平分、； ，、 平分顶角。 （3）轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：底边的垂直平分线（即三线合一所在直线）。 3. 判定定理 ① 定义判定：两边相等的三角形为等腰三角形； ② 等角对等边：若，则。 4. 角度计算规律 三角形内角和为，等腰三角形两底角相等； 顶角为，底角； 底角为，顶角。 【知识点02】等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 定义 三条边全部相等的三角形，是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2. 核心性质 ① 三边相等：； ② 三角均为：； ③ 三条对称轴，任意一条边上都满足三线合一； ④ 内角、边长、高、面积计算均有固定规律，是几何计算常用模型。 3. 四大判定方法（高频考点） ① 三边对应相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最高频）； ④ 有两个角为60°的三角形是等边三角形。 4. 重要推论 含角的直角三角形性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，常与等边三角形结合出题。 【知识点03】最短路径问题（轴对称压轴核心） 1. 核心解题原理 底层依据：两点之间，线段最短；核心方法：轴对称变换，化折为直，将折线段长度转化为直线段长度求最小值。 2. 必考经典模型 模型1：基础将军饮马（必考） 题干：直线同侧有两点，在上找一点，使最小。 解题步骤： ① 作点关于直线的对称点； ② 连接，与直线的交点即为所求动点； ③ 线段的长度即为的最小值。 模型2：周长最小值模型 固定图形一条边，通过两次轴对称翻折，将剩余两条折边拼接为一条直线段，从而求出三角形、四边形最小周长，常结合等腰三角形轴对称性考查。 模型3：等腰三角形专属最短路径（压轴高频） 利用等腰三角形天然对称轴，无需额外复杂作图，翻折腰上定点，快速转化线段和，是本章期末压轴主流考法。 （一）等腰三角形专属易错点 易错1：边长题型漏分类、忘验三边关系 典型例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长。 错解：分3为腰、7为腰，得出周长13或17； 正解：3、3、7不满足三边关系（），舍去，周长仅为17。 总结：已知等腰三角形两边，必须分「已知边为腰/底边」分类，务必验证三边关系。 易错2：角度题型默认已知角为底角，出现漏解 典型例题：等腰三角形一个内角为70°，求其余两角。 情况1：70°为顶角，底角为55°、55°； 情况2：70°为底角，顶角为40°，另一底角为70°； 警示：未说明已知角是顶角还是底角时，必须双向分类讨论。 易错3：三线合一滥用（最常见书写错误） 核心误区：认为等腰三角形任意边上的高、中线都满足三线合一。 纠正：仅底边上的高、中线、顶角平分线三线合一；腰上的高、中线不具备该性质，禁止乱用定理。 易错4：等边三角形判定条件误用 误区：有一个角是60°的三角形就是等边三角形。 纠正：必须满足等腰三角形+一个60°内角，普通三角形单个60°内角无法判定等边。 （二）最短路径题型易错点 易错5：对称轴选错，对称点作图错误 等腰三角形背景下，优先以等腰对称轴（底边垂线）为翻折对称轴，避免对腰做无效对称。 易错6：只会找点，不会计算最值长度 多数学生可找到动点位置，但无法结合勾股定理、60°特殊角、等边三角形边长性质计算最终最值，导致大题扣分。 易错7：最值模型混淆 同侧两点线段和最小：轴对称化折为直； 同侧两点线段差最大：直接连线延长，二者模型极易混淆。 易错8：作图逻辑混乱 规范步骤：先作对称点→再连线→最后确定动点，禁止直接目测找点，大题作图不规范会扣分。 【题型一】等边对等角 【例1】．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期末）若等腰三角形的一个角是，则它的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： (1)已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 (2)已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 (3)中，当 时，是等腰三角形． 【题型二】三线合一 【例2】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 【变式2】．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【变式3】．（25-26八年级上·河北保定·期末）【方案设计】为测量阜平滨河公园的某处池塘两端，的距离（无法直接测量），同学们进行了方案设计．（所涉及的点均在同一平面内） 【方案提出】甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点，的点； ②连接，，并分别延长到点，，使； ③连接，测出的长即可． （1）求证：； 【交流反思】（2）乙提出另一种方案：如图，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可，则乙同学确定的依据可以是___________（填序号即可） ①等边对等角②等角对等边③等腰三角形“三线合一” 【题型三】根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【例4】．如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 【例5】．（25-26八年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【变式1】．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【变式2】．（2024八年级上·广西河池·期末）如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【变式3】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型四】根据等角对等边证明边相等 【例6】．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【例7】．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 【例8】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，线段上有两点B，E，且，分别以为直角边在线段同侧作，与相交于点G，且． 求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【变式2】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，交于点，于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过C作交于点H，交于点N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【题型五】根据等角对等边求边长 【例9】．（2025八年级上·全国·专题练习）已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则_________． 【变式3】．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【题型六】含30度角的直角三角形 【例10】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【变式3】．如图，在中，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若、同时分别从、出发经__________秒时，为直角三角形． 【题型七】格点图中画等腰三角形 【例11】．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【变式3】．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【题型八】找出图中的等腰三角形 【例12】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式1】．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【题型九】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例13】．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【变式2】．（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【题型十】等腰三角形的性质和判定 【例14】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 【例15】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为______，的长为______． 【例16】．（22-23八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分． (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作于D，你能得到什么结论？ 【变式1】．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，D为边的中点，点E，F分别在边上，，则四边形的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式3】．如图，在中，为的中点，于，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：①；②； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【题型十一】等边三角形的性质 【例17】．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【变式3】．（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【题型十二】等边三角形的判定 【例18】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式1】．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 【变式2】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 【题型十三】等边三角形的判定和性质 【例19】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例20】．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 【例21】．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【变式2】．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【变式3】．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【题型十四】大（小）边对大（小）角定理 【例22】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【题型十五】最短路径问题 【例23】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【例24】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 【例25】．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【变式1】．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为_______． 【变式2】．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______； (2)在y轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 【变式3】．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 1. 知识主线 普通三角形 → 等腰三角形（轴对称、三线合一） → 等边三角形（特殊等腰、60°专属性质）； 压轴核心：依托等腰三角形天然轴对称性，用化折为直思想解决最短路径最值问题。 2. 解题核心思想 ① 等腰三角形问题：边等推角等、角等证边等，遇高、中线优先用三线合一，边角计算必想分类讨论； ② 等边三角形问题：紧抓60°特殊角，结合30°直角三角形性质、全等三角形进行计算证明； ③ 最短路径问题：所有最值核心均为「轴对称化折为直」，先作图定点，再结合几何公式计算长度。 3. 应试得分提醒 ① 边角分类讨论题型，必须检验结果合理性，杜绝漏解、错解； ② 几何证明严格规范书写，定理条件齐全，不滥用三线合一、等边判定定理； ③ 最短路径压轴题，先书写作图思路，再计算最值，步骤完整不丢步骤分。 一、单选题 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 2．如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 8．如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(     ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 10．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 11．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 12．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 13．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 14．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 15．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有_____个． 16．如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 ____小时． 17．如图，已知是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作，交于点，交于点，连接，且，则的周长为________． 三、解答题 18．如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 19．如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： (1)； (2)． 20．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 21．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 22．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 23．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等腰、等边三角形 + 将军饮马最短路径压轴 （核心知识+8易错辨析+15典例精讲+课后作业） 【知识点01】等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 三大核心性质（三线合一为重中之重） （1）等边对等角 若 ，则 。 （2）三线合一（必考核心） 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合为同一条直线。 几何书写规范： ， 平分、； ，、 平分顶角。 （3）轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：底边的垂直平分线（即三线合一所在直线）。 3. 判定定理 ① 定义判定：两边相等的三角形为等腰三角形； ② 等角对等边：若，则。 4. 角度计算规律 三角形内角和为，等腰三角形两底角相等； 顶角为，底角； 底角为，顶角。 【知识点02】等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 定义 三条边全部相等的三角形，是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2. 核心性质 ① 三边相等：； ② 三角均为：； ③ 三条对称轴，任意一条边上都满足三线合一； ④ 内角、边长、高、面积计算均有固定规律，是几何计算常用模型。 3. 四大判定方法（高频考点） ① 三边对应相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最高频）； ④ 有两个角为60°的三角形是等边三角形。 4. 重要推论 含角的直角三角形性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，常与等边三角形结合出题。 【知识点03】最短路径问题（轴对称压轴核心） 1. 核心解题原理 底层依据：两点之间，线段最短；核心方法：轴对称变换，化折为直，将折线段长度转化为直线段长度求最小值。 2. 必考经典模型 模型1：基础将军饮马（必考） 题干：直线同侧有两点，在上找一点，使最小。 解题步骤： ① 作点关于直线的对称点； ② 连接，与直线的交点即为所求动点； ③ 线段的长度即为的最小值。 模型2：周长最小值模型 固定图形一条边，通过两次轴对称翻折，将剩余两条折边拼接为一条直线段，从而求出三角形、四边形最小周长，常结合等腰三角形轴对称性考查。 模型3：等腰三角形专属最短路径（压轴高频） 利用等腰三角形天然对称轴，无需额外复杂作图，翻折腰上定点，快速转化线段和，是本章期末压轴主流考法。 （一）等腰三角形专属易错点 易错1：边长题型漏分类、忘验三边关系 典型例题：等腰三角形两边长为3、7，求周长。 错解：分3为腰、7为腰，得出周长13或17； 正解：3、3、7不满足三边关系（），舍去，周长仅为17。 总结：已知等腰三角形两边，必须分「已知边为腰/底边」分类，务必验证三边关系。 易错2：角度题型默认已知角为底角，出现漏解 典型例题：等腰三角形一个内角为70°，求其余两角。 情况1：70°为顶角，底角为55°、55°； 情况2：70°为底角，顶角为40°，另一底角为70°； 警示：未说明已知角是顶角还是底角时，必须双向分类讨论。 易错3：三线合一滥用（最常见书写错误） 核心误区：认为等腰三角形任意边上的高、中线都满足三线合一。 纠正：仅底边上的高、中线、顶角平分线三线合一；腰上的高、中线不具备该性质，禁止乱用定理。 易错4：等边三角形判定条件误用 误区：有一个角是60°的三角形就是等边三角形。 纠正：必须满足等腰三角形+一个60°内角，普通三角形单个60°内角无法判定等边。 （二）最短路径题型易错点 易错5：对称轴选错，对称点作图错误 等腰三角形背景下，优先以等腰对称轴（底边垂线）为翻折对称轴，避免对腰做无效对称。 易错6：只会找点，不会计算最值长度 多数学生可找到动点位置，但无法结合勾股定理、60°特殊角、等边三角形边长性质计算最终最值，导致大题扣分。 易错7：最值模型混淆 同侧两点线段和最小：轴对称化折为直； 同侧两点线段差最大：直接连线延长，二者模型极易混淆。 易错8：作图逻辑混乱 规范步骤：先作对称点→再连线→最后确定动点，禁止直接目测找点，大题作图不规范会扣分。 【题型一】等边对等角 【例1】．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期末）若等腰三角形的一个角是，则它的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 综上，它的顶角可能是或． 【变式1】．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： (1)已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 (2)已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 (3)中，当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)，或， (2)， (3)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； 【详解】（1）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，则顶角为，此时另外两角为，； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，或，； （2）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，此时，故不符合题意； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，； （3）解：当时，此时是等腰三角形； 当，此时是等腰三角形，则； 当时，此时是等腰三角形，则； 综上所述，中，当或或时，是等腰三角形． 【题型二】三线合一 【例2】．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·河北保定·期末）【方案设计】为测量阜平滨河公园的某处池塘两端，的距离（无法直接测量），同学们进行了方案设计．（所涉及的点均在同一平面内） 【方案提出】甲：如图，①在平地上取一个可以直接到达点，的点； ②连接，，并分别延长到点，，使； ③连接，测出的长即可． （1）求证：； 【交流反思】（2）乙提出另一种方案：如图，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可，则乙同学确定的依据可以是___________（填序号即可） ①等边对等角②等角对等边③等腰三角形“三线合一” 【答案】 （1）证明：在与中，， ∴， ∴； （2）③ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据等腰三角形“三线合一”即可得以论证． 【详解】（1）略 （2）解：由题可知，乙同学确定的依据可以是等腰三角形“三线合一”， 故答案为：③． 【题型三】根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 【例4】．如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，仔细审题，根据、易求，又因为是等腰三角形，再结合、三等分即可得到， 然后得到，结合三角形内角和定理即可得到， 接下来再根据等角对等边即可得到、、、、是等腰三角形，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边进行判断． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、是等腰三角形， 则等腰三角形有：、、、、、共个， 故答案为：． 【例5】．（25-26八年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵，，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【变式1】．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 【变式2】．（2024八年级上·广西河池·期末）如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据题意容易证得，进而得到，结论即可得到证明． 【详解】因为， 所以． 所以． 又因为，， 所以（SAS）． 所以． 所以． 【变式3】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】找邻补角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【题型四】根据等角对等边证明边相等 【例6】．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【详解】解：在中，， 则：； 无法得到， 故选B． 【例7】．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 【答案】20 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 【例8】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，线段上有两点B，E，且，分别以为直角边在线段同侧作，与相交于点G，且． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据证明，进而利用全等三角形的性质及等腰三角形的判定解答即可． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，交于点，于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，   ∴，   ∴， ∴为等腰三角形； (2) 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据平行加角平分线等于等腰三角形即可论证； （2）过点作于点，可得  ，进而利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，    ∵，， ∴， 又∵，   ∴， 在中，， ∴， ∴由（1）得：. 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过C作交于点H，交于点N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）连接，先证，得到，，根据三角形外角的性质和已知条件证明，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， 由（1）得， 又∵ ∴， ∴， 又∵，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型五】根据等角对等边求边长 【例9】．（2025八年级上·全国·专题练习）已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边； 由，根据等角对等边得，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． 故与相等的线段是； 选项A中不一定等于； 选项C中； 选项D中的值不确定，不一定等于； 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长到点H，使得，连接，证明得到，再证明，得到，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则_________． 【答案】8 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等角对等边的性质及三角形内角和定理，解题的关键是通过等角对等边推导三角形边的关系． 根据等角对等边，由得；再结合，得，推出，进而得． 【详解】在中，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为8． 【变式3】．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【答案】6 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的周长为17， ∴， 解得． 【题型六】含30度角的直角三角形 【例10】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】先根据含角的直角三角形的性质，求出的长度，再求出树高． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∴树高为． 【变式2】．（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 【变式3】．如图，在中，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若、同时分别从、出发经__________秒时，为直角三角形． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】设运动时间为，分别表示出、长度，因为，分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程求出的值． 【详解】解：设经过秒时，为直角三角形． 速度，速度，， ，，． 情况一：当时， ， ， ， 解得； 情况二：当时， ， ， ， ， 解得． 综上或． 【题型七】格点图中画等腰三角形 【例11】．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 【变式3】．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 【题型八】找出图中的等腰三角形 【例12】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【变式1】．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 【变式2】．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【知识点】三角形的个数问题、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 【题型九】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例13】．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 【变式1】．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 【变式2】．（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____． 【答案】或或 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】如图，共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 【题型十】等腰三角形的性质和判定 【例14】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意易求，根据，，易求，，结合外角可得是等边三角形，故，再利用即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴，，是等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 【例15】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为______，的长为______． 【答案】 4 6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上截取，连接，则是线段的垂直平分线，由此得，则，由此可证明，进而得，据此依据“”判定得，再根据得，再由三角形外角性质证明，继而得，则，然后根据，，得，由此得，最后根据“”可得的长． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4；6． 【例16】．（22-23八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分． (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作于D，你能得到什么结论？ 【答案】(1)是等腰三角形；是等腰三角形； (2)，，，． 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 【变式1】．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，D为边的中点，点E，F分别在边上，，则四边形的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由等腰直角三角形的性质得到，则可证明都是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 【变式3】．如图，在中，为的中点，于，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：①；②； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，由全等三角形的性质得出，等量代换即可． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：是等腰三角形； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型十一】等边三角形的性质 【例17】．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出，根据垂直得出，利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴的边长为8， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】折叠问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换，几何最值问题，利用轴对称的性质：连接，周长为，由，求出，若周长最小，只要最小，即B，M，C三点共线即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将等边折叠，使点C落在边上的点D处，折痕为， 由题意可得：点C、D关于直线对称， ∴， 在等边中，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴要使的周长最小，只需使的值最小•， ∴当点B、M、C三点共线时，， ∴周长的最小值为， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式3】．（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】证明，，对应边相等． 【题型十二】等边三角形的判定 【例18】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 【变式1】．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．根据等边三角形的判定定理填空即可． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 若，则为等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2) 是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； 【变式3】．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点，即； (2) 解：为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵由（1）得，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再由三线合一即可证明； （2）先由直角三角形的性质得到，而，再由即可证明． 【题型十三】等边三角形的判定和性质 【例19】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 【例20】．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 【答案】5 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：5． 【例21】．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】．（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． 【变式3】．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】 （1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 【题型十四】大（小）边对大（小）角定理 【例22】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【题型十五】最短路径问题 【例23】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 【例24】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 【答案】4 【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 【例25】．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2)图见解析，路程为 【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 【变式1】．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为_______． 【答案】7 【知识点】等边三角形的性质、最短路径问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【变式2】．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______； (2)在y轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，即为所求， 的坐标； (2)如图， 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）连接交轴于，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）连接交轴于，则点即为所求． 当三点共线时，取得最小值，此时． 【变式3】．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）如图所示，整个过程所行的路程为． 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 1. 知识主线 普通三角形 → 等腰三角形（轴对称、三线合一） → 等边三角形（特殊等腰、60°专属性质）； 压轴核心：依托等腰三角形天然轴对称性，用化折为直思想解决最短路径最值问题。 2. 解题核心思想 ① 等腰三角形问题：边等推角等、角等证边等，遇高、中线优先用三线合一，边角计算必想分类讨论； ② 等边三角形问题：紧抓60°特殊角，结合30°直角三角形性质、全等三角形进行计算证明； ③ 最短路径问题：所有最值核心均为「轴对称化折为直」，先作图定点，再结合几何公式计算长度。 3. 应试得分提醒 ① 边角分类讨论题型，必须检验结果合理性，杜绝漏解、错解； ② 几何证明严格规范书写，定理条件齐全，不滥用三线合一、等边判定定理； ③ 最短路径压轴题，先书写作图思路，再计算最值，步骤完整不丢步骤分。 一、单选题 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 2．如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 3．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 4．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 5．如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，求出，结合直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 6．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 7．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 8．如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，判断出②正确，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；求出，即为，再根据计算即可得解，从而判断出⑥正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，（故①正确）； ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（故②正确）； ， ∵， ∴， ∴， ∴，（故④正确）； ∵，， ∴为等边三角形，（故⑤正确）； ∴， ∴， ∴，（故③正确）； ∵， ∴， ∴， ∴，（故⑥正确）； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共6个．故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键，难点在于需要多次证明三角形全等． 9．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(     ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题 10．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P， ∴， ∴，此时P点到A与B的距离和最小， 过作，延长与交于点M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与C点的距离是， 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键． 11．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到、，根据平行线的性质得到、，进而得到、，根据的周长为14，得到，进而得到的周长． 【详解】解：和的平分线相交于点D， 、， ， 、， 、， 、， 的周长为14， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：21． 12．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据作图过程可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后通过角度的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 13．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为___________． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 14．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 15．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有_____个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 16．如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 ____小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角问题，等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质，得，那么，得到，过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得，根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，即可求解时间． 【详解】由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为海里． 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， ， 航行的时间为(时)． 故答案为：． 17．如图，已知是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作，交于点，交于点，连接，且，则的周长为________． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，通过证明、，从而得出，的周长等于的长． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： 是等腰三角形，且， ， 是边长为的等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】根据题意构造另一个三角形是解题的关键． 三、解答题 18．如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 【答案】 能 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质． （1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线．连接，根据轴对称的性质可知，，，，，即，，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可． 【详解】解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线． 连接， ∵作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，，，，， 即，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 19．如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到，由垂线的定义得到，则，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三线合一定理即可证明． 20．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 【答案】 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 21．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)这个命题不成立，理由如下： 如图，在和中，，，，无法判定和全等， ∴不能得到与相等． 【分析】（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得； （2）同（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得，再利用已知条件，，求得的长； （3）边边角相等无法判定两个三角形全等，从而无法证得与相等． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 22．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，结合的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，分别表示出和，通过角度和差化简，证得，再由“等角对等边”得到，从而证明为等腰三角形； （2）先由动点运动规律得，过作，利用平行线的内错角相等，结合已知，用证，得到，再复用第(1)问的结论，推得，得到，最终推出； （3）先由等腰三角形，证得为等边三角形，再通过三角形内角和推导角的等量关系，构造垂直平分线证等边三角形，结合、多次证明三角形全等，完成边的等量转化；然后利用含直角三角形的性质设参，结合已知化简求得；最后根据点坐标得到的长度，算出，复用第(2)问的结论，得到． 【详解】（1）证明：如图1， 令， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为， ∴， 如图2，过点作，交于， 则，， 在和中， ， ∴， ∴，由(1)知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， 过作，交延长线于点，延长到，使，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 过作，交于点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴． 【点睛】几何证等角、推边关系，优先用设参导角，把抽象的角度关系转化为代数式化简，规避复杂的角度推导，逻辑清晰不易错；遇到“线段中点（）+ 对顶角” 的结构，过端点作平行线构造“八字型”全等（第（2）问作），是此类题型的固定破题辅助线，可快速完成边的等量转化；本题三小问层层递进，前一问的结论可直接复用至后一问，无需重复推导，是几何综合题的核心解题逻辑，能大幅简化步骤． 23．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $