第24章 一元二次方程 专题3 一元二次方程的特殊题型-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(冀教版·新教材)

该初中数学单元复习课件聚焦第二十四章一元二次方程的特殊题型，通过“新定义问题、换元法应用、几何图形关联”三大类型梳理知识，将抽象概念、代数方法与几何直观有机结合，帮助学生建立完整的特殊题型解题框架。 其亮点在于以核心素养为导向设计复习活动，如新定义问题（max符号方程）培养抽象能力，换元法解题（含√x的方程）训练推理意识，几何图形题（矩形中线段与方程根关系）发展几何直观。分层设置基础选择、变式训练及过程性学习题，满足个性化复习需求，助力学生巩固解题技巧，也为教师提供系统题型与解析，提升复习效率。

2 第二十四章　一元二次方程 专题3　一元二次方程的特殊题型 3 类型1　新定义下的一元二次方程 1. （石家庄栾城期中）定义符号max｛a，b｝的含义为：当a≥b时，max｛a，b｝=a；当a<b时，max｛a，b｝=b，如max｛3，1｝=3，max｛-3，2｝=2，则方程max｛x， -x｝=x2-6的解是 （　　） A. 3或-3 B. 3或1 C. 3或2 D. 1或-3 A 2 3 4 5 6 1 4 2. 在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b=a2-ab. 根据这个规则，解答下列问题： （1）若（x+2）△5=0，则x的值为________； （2）证明：（x+m）△5=0中，无论m为何值，x总有两个不同的值. -2或3 （2）证明：由题意，得（x+m）△5=（x+m）2-5（x+m）=0， 整理，得x2+（2m-5）x+m2-5m=0， ∵b2-4ac=（2m-5）2-4（m2-5m）=25>0， ∴无论m为何值，x总有两个不同的值. 2 3 4 5 6 1 5 3. 若实数x，y满足x2-2xy+y2+x-y-6=0，则x-y的值是 （　　） A. -2或3 B. 2或-3 C. -1或6 D. 1或-6 【变式】　（秦皇岛阶段练习）若（m2+n2）（1-m2-n2）+6=0，则m2+n2的值为________. B 类型2　用换元法构造一元二次方程解决问题 3 2 3 4 5 6 1 6 4. [新趋势 过程性学习]阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值. 【问题】解方程：x2+2x+4-5=0. 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2. 原方程可化为t2+4t-5=0. 【续解】 2 3 4 5 6 1 7 解：配方，得（t+2）2=9，解得t1=1，t2=-5（不合题意，舍去）. 当t=1时，=1，则x2+2x=1， 配方，得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-. 经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-. 2 3 4 5 6 1 5. （张家口宣化期中）如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，先以顶点B为圆心，AB长为半径作弧，交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，AD长为半径作弧，交对角线BD于点F，则方程x2+2ax=b2的一个正根是 （　　） A. 线段BD的长 B. 线段BF的长 C. 线段DE的长 D. 线段EF的长 C 类型3　与几何图形有关的一元二次方程 2 3 4 5 6 1 9 解析：解方程x2+2ax=b2，得x==-a±， 由条件，得CD=AB=a，BC=AD=b. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=， ∴DE=BD-BE=BD-AB=-a，BF=BD-DF=BD-AD=-b， EF=BD-DE-BF=a+b-， ∴线段DE的长是方程x2+2ax=b2的一个根.故选C. 2 3 4 5 6 1 6. （保定阶段练习改编）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A，B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程x2+2x-24=0的解，求线段OC长的最大值. 解：方程x2+2x-24=0可变形为（x-4）（x+6）=0， ∴x-4=0或x+6=0，解得x1=4，x2=-6（舍去）， ∴正方形ABCD的边长是4. 2 3 4 5 6 1 11 记AB的中点为E，连接OE，CE，如图. ∵∠AOB=90°，∴OE= AB=2. ∵四边形ABCD是正方形， ∴CE===2. 根据题意，得OC≤OE+CE， ∴当点E在线段OC上时，线段OC的长有最大值，且最大值为OC=OE+CE=2+2. 2 3 4 5 6 1 13 $