27.3 反比例函数的应用-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

课题

反比例函数的应用

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P159-162

教学目标

1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数的解析式.

2.能灵活运用反比例函数的图象和性质解决相关的实际问题.

3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识解决相关的实际问题.

教学重难点

重点：从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的图象和性质解决生活实际问题和跨学科问题.

难点：根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.回顾旧知，导入新课

1.根据反比例函数的相关知识,完成下列问题.

(1)阐述反比例函数的定义. 

(2)反比例函数的图象是　　　　　　　　,当k>0时,　　　　　　　　;当k<0时,　　　　　　　　. 

(3)待定系数法求反比例函数表达式的步骤:　　　　　；___________；　　　　_　；____________.

2.类比一次函数的学习过程,在学习了反比例函数的概念、图象、性质后，我们将继续探究什么?

通过复习反比例函数的概念、图象和性质及实际问题中找等量关系列函数表达式,为本节课的学习做铺垫,

2.实践探究，学习新知

【探究】 反比例函数在实际问题中的应用

  在一段长为45 km的公路上，规定小汽车行驶的速度

由学生熟悉的

最低为60 km/h，最高为100 km/h.

问题：(1)在这段公路上，设小汽车行驶的平均速度为v（km/h），时间为t（h），写出v与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围.

（2）某司机开车用30 min通过了这段公路，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由.

（3）某天，由于天气原因，小汽车通过这段公路时，要求行驶速度不得超过75 km/h.此时，小汽车通过该路段最少要用多长时间？

师生活动：教师提出问题后，学生根据已学反比例函数知识思考，小组交流、讨论.教师可以给出下列提示：

(1)已知自变量t的值,怎样求因变量v的值?

(2)已知因变量v的值,如何求自变量t的值?

(3)在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围?

（4）从函数角度出发，应如何理解“最少要用多长时间”.

学生展示结果，教师规范解题书写过程。

解:(1)v=.

(2)当t=时,v=90,

∵v<100,∴没有超速.

(3)当v=75时,75=,解得t=0.6,

∵45>0,∴v随着t的增大而减小,

∴当t≥0.6时,v≤75,

∴通过该路段最少要用36 min.

行程问题探究,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的兴趣和求知欲望.

通过教师引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型,从两个变量的相依关系和变化规律,借助函数的图象,利用函数意义或性质解决问题,体会数学建模思想和数形结合思想的应用,培养学生的应用意识.

【例题】

例1  气体的密度是指单位体积（m3）内所含气体的质量（kg）.现有质量为7 kg的某种气体.将这7 kg的气体注入容积为V（m³）的储气罐中后，该气体的密度为ρ（kg/m3）.

（1）写出用V表示ρ的函数表达式.

（2）当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时，它的密度为多大？

（3）要使气体的密度ρ=2 kg/m3，需把这些气体装入容积是多少立方米的储气罐中？

（4）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： 

 ①当这些气体的体积增大时，它的密度将怎样变化？

②把这些气体装入容积不超过2 m3的储气罐中，气体的密度ρ在什么范围内？

分析：

(1)在物理学中,物体的密度ρ(kg/m3)、体积V(m3)、质量m(kg)之间的等量关系是什么?

(2)你能根据上边的等量关系写出物体的密度ρ(kg/m3)与体积V(m3)之间的函数表达式吗?

(3)在函数表达式中已知自变量如何求对应的函数值?已知函数值如何求对应的自变量?

(4)根据反比例函数图象,密度ρ(kg/m3)随着体积V(m3)的增大怎样变化?

(5)当体积V(m3)取最大值时,对应的函数值ρ(kg/m3)是最

通过物理学科中已学过的密度公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学解决问题的能力.