24.2 解一元二次方程 第3课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦“因式分解法解一元二次方程”核心知识点，课堂导入通过复习配方法、公式法解具体方程，再以“x²-2x=0”引导学生对比不同解法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料亮点在于以探究对比激活抽象能力与创新意识，通过“小亮的做法”让学生自主发现因式分解法的简便性，归纳步骤时发展推理意识，例题练习涵盖提公因式、平方差等类型强化模型意识，助力学生掌握降次思想，提升教师教学效率与学生解题能力。

24.2 解一元二次方程 课题 第3课时 因式分解法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P57-59 教学目标 1.了解因式分解法解一元二次方程的概念.会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选用解一元二次方程的方法. 3.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程，发展合情推理的能力，体会转化、降次的思想方法. 4.通过探究因式分解法解一元二次方程，鼓励学生积极主动地探究知识的形成过程，激发学生的求知欲，体验成功的喜悦. 教学重难点 重点：会用因式分解法解一元二次方程. 难点：能根据一元二次方程的特征，选择适当的解一元二次方程的方法. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情境，导入新课 解下列方程：（1）x2-2x-2=0；（2）2x2+7x=4. 解：（1）∵x2-2x=2，∴x2-2x+1=2+1， 即(x-1)2=3，x-1=±， ∴x1=+1，x2=-+1. （2）原方程可化为2x2+7x40. 这里a2，b7，c4， ∴b24ac7242 (4) 81， ∴x==， ∴x1=，x2=-4. 师生活动：学生独立完成后，小组内交流答案.师生共同复习配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤. 通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法和公式法解方程的全过程，为本节课因式分解法解一元二次方程做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题1 　 解方程x2-2x=0. 配方法： 配方，得x2-2x+12=12，即（x-1）2=1. 两边开平方，得x-1=±1. 解得x1=0，x2=2. 公式法： 这里a=1，b=-2，c=0. ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4. ∴ 即x1=0，x2=2. 还有别的方法吗？ 小明的做法： 配方，得x2-2x+1=1，即（x-1）2=1. 两边开平方，得x-1=±1. 所以，x1=0，x2=2. 小亮的做法： 将方程的左边分解因式，得x(x-2)=0. 所以，x=0，或x-2=0.所以，x1=0，x2=2. 思考： 1.小亮的做法有道理吗？ 2.谁的解法更简单些？ 师生活动：学生在教师的引导下思考回答问题，教师及时补充，学生大胆尝试解该方程，小组合作交流答案，并板书过程，教师对出现的问题有针对性地解决. 【归纳】 用因式分解法解一元二次方程： 定义：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根的方法，叫作因式分解法. 师生活动：学生小组合作交流，师生共同得出结论. 【练一练】 解下列方程： （1）(x+1)(x-3)=0；（2）x215x=0；（3）x(x2)＋x2＝0. 解：（1）原方程可化为 x+1=0，或x-3=0， 解得x1=1，x2=3. （2）原方程可化为 x(x15) =0， 即x=0，或x15=0， 解得x1=0，x2=15. （3）原方程可化为 (x－2)(x＋1)=0. 即x－2＝0或x＋1=0， 解得x1=2，x2=－1. 师生活动：学生独立完成后小组内交流答案，学生代表板书解答过程，教师点评并规范书写过程. 【小结】 思考：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 归纳：解一元二次方程的一般步骤： （1）方程的右边为0，左边可分解因式； （2）把左边分解因式； （3）根据“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”转化为两个一元一次方程； （4）分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 师生活动：教师提问，学生思考回答，教师补充，归纳后课件展示. 【例题】 例4 用因式分解法解下列方程： （1）3(x－1)2 ＝2(x－1)； （2）(x+5)2 ＝49. 解：（1）原方程可化为3(x－1)2 －2(x－1) ＝0， 即 (x－1)(3x－5)＝0， 得x -1= 0，或3x - 5= 0. ∴x1=1，x2=. 提示：在用因式分解法解方程时，要把方程化为一边为0，另一边为两个一次式相乘的形式. （2）原方程可化为(x+5)2 －72 ＝0， 即(x+12) (x-2)＝0， 得x+12=0，或x-2=0. ∴x1=-12，x2=2. 师生活动：学生在教师引导后，独立完成，然后小组交流答案，教师帮助有困难的学生，并对学生展示进行点评. 【归纳】 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 师生活动：学生独立完成，小组内交流解法的不同，寻找出恰当的解方程的方法，教师点评. 通过观察小亮的解法和小明的做法，或者在教师引导下观察方程的特点，通过分解因式达到降次的目的，从而求出方程的解，让学生亲自经历知识的形成过程，培养学生观察问题、分析问题及解决问题的能力. 通过对一元二次方程因式分解法定义的归纳，让学生更加清晰、理解并掌握,同时为下一步用因式分解法解一元二次方程做铺垫. 通过练习进一步熟练掌握用因式分解法解方程的步骤，提高学生的计算能力，教师规范解答过程，培养学生严谨的学习精神. 以问题的形式引导学生思考，加深对因式分解法解方程的理解和掌握，让学生体验知识的形成过程，充分发挥学生在课堂上的主体作用，同时培养学生观察能力及归纳总结能力. 通过对例题的讲解，进一步巩固因式分解法求一元二次方程的定义及解题步骤. 通过探讨一元二次方程的解法，使同学们知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，再之，体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神. 3.学以致用，应用新知 考点 用因式分解法解方程 练习 解下列方程： （1）2(x-2)2-18=0； （2）x(x+2)-4x=0； （3）(2x-1)2=x(3x+2)-8. 解：（1）原方程可化为 (x-2)2-9=0， 因式分解，得(x-2+3)(x-2-3)=0， 即(x+1)(x-5)=0， ∴x+1=0，或x-5=0， ∴x1=-1，x2=5. （2） 原方程可化为 x2-2x=0， 因式分解，得x(x-2)=0， ∴x1=0，x2=2. （3） 原方程可化为 x2-6x+9=0， 因式分解，得(x-3)2=0， ∴x1=x2=3. 变式训练 关于x的方程ax2+bx+c=3的解与(x-1)(x-4)=0的解相同，则a+b+c的值为______. 答案：3 巩固用因式分解法解方程，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.解方程(x+2)2=3(2+x)，最适当的解法是( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 答案：D 2.用分解因式法解下列方程： （1）x2-4=0； （2）(x+1)2-25=0. 解：（1）(x+2)(x-2)=0， ∴x+2=0，或x-2=0. ∴x1=-2，x2=2. （2）[(x+1)+5][(x+1)-5]=0， ∴x+6=0，或x-4=0. ∴x1=-6，x2=4. 3.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 解：设这个数为x.根据题意，得2x2=7x. 移项得2x2-7x=0， 整理化简得x(2x-7) =0， ∴x=0，或2x-7=0. ∴x1=0，x2=. 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 因式分解法： 定义：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根的方法，叫作因式分解法. 步骤： （1）方程的右边为0，左边可分解因式； （2）把左边分解因式； （3）根据“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”转化为两个一元一次方程； （4）分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P58练习，习题A组、B组、C组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.2 解一元二次方程 第3课时 因式分解法 因式分解法：（1）概念： （2） 用因式分解法解方程： 例题： 【总结】 因式分解法的步骤： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $