23.4 数据的方差-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦“数据的方差”核心知识点，涵盖方差定义、计算及应用。课堂导入通过甲乙同学成绩实例，在平均数相同的情况下引出数据波动问题，以旧知（平均数、中位数）为支架衔接新知学习。 特色是以生活实例驱动探究，如射击成绩波动分析引导学生用数学眼光观察数据离散程度，通过偏差计算、方法讨论培养数学思维（推理意识、运算能力），结合公交线路选择等例题强化数学语言表达（数据观念、应用意识）。助力学生提升数据分析能力，为教师提供结构化教学流程，突出重难点。

23.4 数据的方差 课题 数据的方差 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P25-30 教学目标 1.理解离差平方和、方差的定义，会计算方差． 2.理解方差概念的产生和形成的过程. 3.会用方差比较两组数据的波动大小，即数据的离散程度，进而解决实际问题. 4.培养学生独立思考，互相交流的能力增强数学应用意识. 教学重难点 重点：掌握方差的计算公式，会用方差来比较两组数据的波动大小. 难点：理解方差概念的产生和形成的过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 甲乙两名同学只能从中挑选一个参加数学竞赛，数学老师特意把两名同学本学期五次考试的数学成绩列表如下： 甲的平均成绩：90，乙的平均成绩：90 老师最终选择了甲，你知道为什么吗？ 师生活动：学生思考后举手回答，教师点评. 通过生活实例复习旧知引出新问题,为本节课的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 1.方差与离差平方和的概念 问题1 甲、乙两名业余射击选手参加射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 【观察与思考】 1.观察图23.4-1，甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数各是多少？ 预设答案：甲射击成绩的平均数为7，中位数为7； 乙射击成绩的平均数为7，中位数为7. 2.在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点： 观点二 从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. 观点一 因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 你认为哪种观点更合理些? 预设答案：观点二更合理些. 师生活动：教师出示问题，学生思考后求出甲、乙的平均数、中位数，再分组讨论，对两种观点的看法，派代表发言,教师点评,最后统一结论并板书. 【结论】 在分析数据时，仅考虑用数据的集中趋势来描述这组数据的特征往往是不够的，还需要考虑这组数据的离散程度. 【一起探究】 观察下图23.4-1，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大.如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢? （1）请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) 预设答案：第一行：-3 +1 -1 0 +2 0 +3 -2 第二行： -2 0 -1 +1 0 +1 -1 0 +2 0 （2）我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0，现有以下两种观点： 观点1：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 那么，这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢? 师生活动：教师出示问题，学生思考后计算甲、乙成绩的偏差，教师可以让学生分别计算甲、乙所有数据与其平均数的偏差之和，再提出（2），让学生分组讨论，对两种观点的看法，派代表发言,教师点评,最后统一结论并板书，进而和学生共同总结离差平方和与方差的概念. 【总结】 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 【概念】 设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，各个数据与平均数偏差的平方分别是 ，，…，.偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s2表示，即 s2=[²+²+…+²]. 我们称²+²+…+²为这组数据的离差平方和. 2.方差的意义及利用方差分析数据的离散程度 师生活动：教师让学生回顾前面的问题，通过问题1，能发现了什么？从而归纳得出方差的意义，再提出问题2，让学生计算方差，通过方差的大小比较数据的波动大小. 方差的意义：方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 由方差的意义可以看出：当一组数据分布比较分散时，方差较大；当一组数据分布比较集中时，方差较小，因此，方差的大小反映了这组数据的离散程度（或波动程度）. 问题2 分别求甲、乙射击成绩的方差，并根据方差说明哪个射击选手的成绩更稳定. 预设答案： =[(4-7)2+(8-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(10-7)2] =3.4， =[(5-7)2+2×(6-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+(9-7)2=1.2. 由于>，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙的成绩更稳定些. 3.利用方差分析数据 【例题】 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示. （1）从图形看，哪条路线平均用时少，哪条路线用时的波动大? （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线? （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线? 解：（1）从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. （2）经计算得：=42 min，=63.2; =47 min，=4.2. （3）当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线所有用时都超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. （4）当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 师生活动：教师出示问题，学生观察统计图，回答问题（1），再分组计算线路A,B的平均数和方差，派代表发言回答问题（3）和（4），教师点评，并板书. 【总结】 在统计分析中，往往需要对数据的集中趋势和数据的离散程度进行综合分析. 在比较两组数据时，一般先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再分析稳定性问题，而方差是反映数据的波动大小的量，通过比较方差的大小来解决问题． 通过解决生活实际问题,引导学生在两组数据的平均数与中位数一样的时候，可以考虑两组数据在平均数的波动情况,为形成方差的概念打下基础,在探究过程中,充分发挥学生的主观能动性,让学生积极思考,合作交流,在数学活动中逐步得出概念. 通过问题的解决，让学生参与进来，一起探究离差平方和与方差的概念,加深学生对这两个概念的理解，提高学生总结概括能力和知识理解能力. 通过问题，让学生加深对方差意义的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过解决生活实际问题,引导学生读统计图，计算方差，并会用方差去分析数据的离散度,在探究过程中,充分发挥学生的主观能动性,让学生积极思考,合作交流,在数学活动中感受方差在现实生活中的应用. 学会用统计量方差去分析生活实例中的数据，并用分析的结果解决相应的实际问题. 3.学以致用，应用新知 考点1 方差的计算 练习1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示. 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 方差分别是 由s2甲 ＜ s2乙 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 变式训练1 甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙的平均数均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，下列说法中不正确的是（　　） A.甲、乙射中的总环数相同 　　　B.甲的成绩较稳定 　　　 C.乙的成绩较稳定 　　D.乙的成绩波动较大 答案：B 考点2方差的应用 练习2 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如表所示.根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？ 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是 样本数据的方差分别是 由可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等； 由s2甲 ＜ s2乙 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀. 因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿. 变式训练2 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高为170 cm，方差分别是s2甲，s2乙，且s2甲>s2乙，，则两个队的队员的身高较整齐的是(　　) A． 甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定 答案：B 巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是(　　) A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.4 答案：B 2.若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为(　　) A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 答案：C 3.在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差 答案：D 4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：A 【变式】某村引进甲、乙两种水稻，各选6块条件相同的试验田吗，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，甲的方差=141.7，乙的方差=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为( ) A.甲、乙均可 B.乙 C.甲 D.无法判断 答案：C 5.某创意工作室6位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的月工资为4 500元，则下列关于现在7位员工月工资的平均数和方差的说法正确的是(　　) A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变 答案：B 6.某排球队6名场上队员的身高（单位：cm)是：180 184 188 190 192 194.先用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A.平均数变小，方差变小. B.平均数变小，方差变大. C.平均数变大，方差变小. D.平均数变大，方差变大. 答案：A 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1. 2.离差平方和：²+²+…+². 3.当数据中出现极端值时，方差会变大，此时平均数对数据的代表性变差； 反之，方差小时，说明数据中没有异常值，此时平均数对数据的代表性较好. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P28练习，P28-P29习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 23.4 数据的方差 1.方差与离差平方和的概念 2.方差的意义及计算 3.方差的应用 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本课时的重点是方差公式的推导.当平均水平相同时，就要分析数据的稳定性，画图能直观地反映数据波动大小的方法，因此在这个环节设计了多媒体播放画图的过程，从中体会画统计图是描述数据波动大小的一种方法.接着引出了如何用数值表示一组数据的波动. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $