23.4 数据的方差 （课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“数据的方差”，系统讲解方差的概念、计算及意义。通过甲、乙射击成绩情景导入，在复习集中趋势统计量基础上，引导学生发现数据波动问题，对比偏差绝对值与平方的处理方法，搭建从集中趋势到离散程度的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，结合射击、公交路线等现实情境，培养数学眼光（发现波动规律）、数学思维（推理偏差处理逻辑）和数学语言（用方差描述数据特征）。例题与随堂演练多样化，如手表误差分析，帮助学生理解方差应用，教师可通过完整教学环节提升教学效率。

第二十三章 数据分析与统计估计 23.4 数据的方差 3.如何计算一组数据的平均数、中位数和众数? 复习 1.表示一组数据的“集中趋势”的统计量有哪些? 2.什么是平均数、中位数和众数? 知识回顾 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次， 成绩如图所示. （1）请你用学过的统计量对甲、乙的成绩做出评价. 甲、乙的平均数都是7环 中位数都是7环 众数都是7环 从平均数、中位数、众数方面无法判断甲、乙成绩的优劣. 情景导入 甲 乙 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 甲的成绩波动大，稳定性差，但有2次10环成绩，得高分概率大. （2）两人的射击水平相同吗？说出你的看法. 乙的成绩波动小，稳定性较好，但没有10环成绩，得高分的概率小. 甲 乙 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次， 成绩如图所示. 观察图象,直观感觉甲射击成绩的波动比乙大.如何构造一个 量，来描述一组数据的波动大小呢? 甲 乙 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 一起探究 0 (1) 请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差                   乙成绩的偏差                   -3 1 0 -1 2 0 3 -2 -2 0 0 -1 1 0 1 -1 2 (2)我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0,现有以下两种 观点： 观点1:把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2:把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较 那么,这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢? 观点1 成功消除了正负偏差相互抵消的问题，能真实反映数据偏离平均值的总幅度 观点2 同样消除了正负抵消问题，且平方运算会放大较大偏差的影响，更能突出"波动大"的数据特征 (2)我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0,现有以下两种 观点： 观点1:把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2:把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较 那么,这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢? 观点1修正：将"偏差绝对值之和"改为平均绝对偏差（所有偏差绝对值的平均数） 观点2修正：将"偏差平方之和"改为方差（所有偏差平方的平均数） 修正后消除了样本容量的影响，不同样本可以比较，但依然保留绝对值运算不便的缺点 修正后既消除了样本容量影响，又保留了平方运算的数学优势，成为描述数据波动最常用的指标 获取新知 1.偏差的平方的概念： 设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，各个数据与平均数偏差的平方分别是 . 3.离差平方和的概念： 2.方差的概念： 偏差平方的平均数叫作这组数据的方差,用 s² 表示，即 我们称 为这组数据的离差平方和 获取新知 方差的意义 由方差的意义可以看出：当一组数据分布比较分散时，方差较大；当一 组数据分布比较集中时，方差较小.因此方差的大小反映了这组数据的离 散程度(或波动程度). 对于甲和乙的射击成绩数据，平均数都是7环，方差分别为 由于 ，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙的成绩更稳定些. 例1 张老师乘公交车上班，从家到学校有 A,B两条路线可选择.第一 周(5个工作日)选择A路线，第二周(5个工作日)选择B路线，每天两 趟，记录所用时间如下表： 例题讲解 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 根据上表数据绘制的折线统计图，如图23.4-2所示. 折线如下图： （1）从图形看，哪条路线平均用时少？哪条路线用时波动大？ 分析:绿线（A线路）多数情况下在红线（B线路)的下方 A B 0 30 35 40 45 50 55 60 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 时间/分钟 序号 解：（1）从图形看，A线路平均用时少，且用时的波动大. （2）用计算器计算路线A、B的平均数和方差，验证(1)的结论. A B 0 30 35 40 45 50 55 60 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 时间/分钟 序号 解：经计算得： （3）结合图形，分析A、B两个路线各有什么特点. 路线A的路程可能较短，但车流不平稳，有时通畅，有时堵塞；路线B的路程可能较长，但通行较顺畅. A B 0 30 35 40 45 50 55 60 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 时间/分钟 序号 （4）如果某天上班可用时间只有40分钟，应选择走哪条路线？ 解：当上班可用时间只有40min 时，应选择走A 路线，因为在10次记录中，B 路线所有用时都超过40min, 而 A 路线有6次用时不超 过40 min. A B 0 30 35 40 45 50 55 60 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 时间/分钟 序号 （5）如果某天上班可用时间为50分钟，则应该选择走哪条路线？ 解：当上班可用时间为50 min 时，应选择走B 路线. A B 0 30 35 40 45 50 55 60 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 时间/分钟 序号 例2 测试甲、乙两个品牌的手表各50只，根据日走时误差数据绘制的统计图如下图所示，从日走时误差角度分析这两个品牌手表的优劣. 20 16 12 8 4 0 2 6 11 14 8 6 3 3 2 1 0 -1 -2 -3 20 16 12 8 4 0 数量/只 5 11 17 13 4 -2 -1 0 1 2 甲日走时误差/s 乙日走时误差/s 数量/只 （1）你会想到用哪个统计量去做比较？ 平均数是首选，因为平均数代表的是平均水平. 平均数越大越好吗？ 由于我们考察的数据是手表日走时误差，所以平均数与0越接近，说明误差越小，质量越好. 例题讲解 计算甲、乙两品牌手表日走时误差的平均数 两个品牌的平均数相同，单从平均数角度难以判断甲、乙的优劣. （2）平均数相同的情况下，我们还可以通过什么统计量来比较甲、乙两个品牌手表日走时误差的优劣？ 分析：由于手表的日走时误差为0时最标准，与0的偏差越小，质量越好.因此我们需要去明确两组数据相对于0的波动情况，即需要计算并比较甲、乙方差的大小. 由于 所以从日走时误差方差的角度看，甲品牌优于乙品牌. 拓展 例2 测试甲、乙两个品牌的手表各50只，根据日走时误差数据绘制的统计图如下图所示，从日走时误差角度分析这两个品牌手表的优劣. 20 16 12 8 4 0 2 6 11 14 8 6 3 3 2 1 0 -1 -2 -3 20 16 12 8 4 0 数量/只 5 11 17 13 4 -2 -1 0 1 2 甲日走时误差/s 乙日走时误差/s 数量/只 （3）若规定日走时误差的绝对值不超过1s为优秀，判断甲、乙的优劣. 甲的优秀率=（11+17+13）÷50×100％=82％. 乙的优秀率=（11+14+8）÷50×100％=66％. 82％>66％ ∴甲品牌优于乙品牌. 1.已知一组数据2，3，3，4，则这组数据的离差平方和为( ) D A.0.5 B.0.6 C.1 D.2 随堂演练 2.已知一组数据3，，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的 离差平方和为( ) A A.10 B. C.2 D. 20 3. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为( ) D A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 【点拨】这组数据的平均数是 ，则这 组数据的方差为 . 21 4.[2025泸州] 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试， 每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应 选择( ) B A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 22 5. [张家口期末] 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名 学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是 ，且甲 班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数 据的方差不可能是( ) D A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3 【点拨】 甲班参赛学生身高数据的方差是 ，且甲班参赛 学生的身高比乙班的更整齐， 乙班参赛学生身高数据的方 差大于 不可能是3.故选D. 23 6.某排球队6名队员的身高（单位：）分别是：180，184， 188，190，192，194.现增加一名身高为的队员，与增加 之前相比，增加后7名队员身高的( ) C A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数不变，方差变小 D.平均数不变，方差变大 24 7.已知一组数据，，，的离差平方和是50，则这组数 据的方差___. 5 8.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差， 在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90， 得到一组新数据2，0，4，，9，，记这组新数据的方差为 ，则___（填“”“”或“”）. 25 9.已知两组数据，，6与1，，，7的平均数都是6，若 将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是 ____. 42 10.若一组数据，，，的平均数为10，方差为4，则数 据，，，的平均数和方差分别是____ ____. 23， 16 26 11.某校九年级（1）班开展男生、女生垫排球比赛活动，每队各 派5名同学参加，下表是男生队和女生队5名同学的比赛数据 （单位：个） 1号 2号 3号 4号 5号 男生队 100 98 110 89 103 女生队 88 100 95 120 97 27 请你回答下列问题： （1）分别计算两队的平均成绩； 解：（个）， （个）. 故男生队的平均成绩为100个，女生队的平均成绩为100个. 28 （2）从成绩稳定性角度考虑，哪队成绩稍好？请说明理由. 解：男生队成绩稍好. 理由：， 29 ，，即， 男生队的成绩更稳定. 男生队成绩稍好. 12.某校对九年级（1）班的学生进行百米测验，已知女生达标 成绩为18秒.如图23-4-3所示分别是甲、乙两组各5名女生的成绩 统计图.请你根据统计图提供的信息回答下列问题：#1 图23-4-3 31 （1）甲、乙两组的达标率分别是____________； ， （2）请你通过计算两组成绩的方差，比较哪个组的成绩相对稳定； 解：甲组成绩的平均数是 （秒）， 甲组成绩的方差是 ； 32 乙组成绩的平均数是（秒）， 乙组成绩的方差是 . ， 乙组的成绩相对稳定. 33 （3）如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，那么老师是从各组成 绩的平均数、中位数、达标率、方差中的哪个统计量来说明的？ 解：由可知甲组和乙组成绩的平均数相同，达标率相同, 甲组成绩的方差大于乙组成绩的方差，说明乙组的成绩稳定.甲 组成绩的中位数是17秒，乙组成绩的中位数是18秒，由于用时 越少成绩越好，甲组的成绩较好.如果老师表扬甲组的成绩 好于乙组，那么老师是从各组成绩的中位数来说明的. 34 方差 离差平方和： 方差： 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小． 方差的应用 课堂小结 $