28.5 弧长和扇形面积的计算-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦弧长、扇形面积及圆锥侧面积计算，通过运动会跑道起跑线问题导入，从圆周长过渡到1°圆心角弧长推导弧长公式，类比圆面积推导扇形面积公式，再结合扇形与圆锥侧面展开图得出侧面积公式，构建连贯知识支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过公式推导过程培养数学思维，结合扇形面积计算、圆锥侧面积应用等实例强化数学语言表达。如排水管道截面面积计算等拓展题，助学生理解知识本质，教师可依托清晰结构提升教学效率。

第二十八章 圆 28.5 弧长和扇形面积的计算 学习目标 1.理解弧长和扇形面积的计算公式的推导过程. 2.运用弧长和扇形面积的计算公式进行相关计算. 3.体会圆锥侧面积公式的探索过程并利用圆锥侧面积公式进行计算. 学习重难点 运用弧长、扇形面积和圆锥侧面积的计算公式进行相关计算. 理解弧长、扇形面积和圆锥侧面积的计算公式的推导过程. 难点 重点 情景引入 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度” 是一样的. 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 扇形的定义 探索新知 定义 一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫作扇形. 在同一个圆中，一个扇形对应一个圆心角， 反过来，一个圆心角对应一个扇形. 知识点1 如图，在⊙O中，由半径OA，OB和AB所组成的图形为一个扇形；由半径OA，OB和ACB所组成的图形也是一个扇形. 下列阴影部分图形是扇形吗？ O O O O O O 练习 （1）半径为r的圆,周长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ （3）1°圆心角所对弧长是多少？ 思考 你能总结出弧长公式吗？ C=2πr = 弧长公式 知识点2 360° 探索新知 7 弧长公式 圆的半径. 弧所对的圆心角的度数. 8 解读 1.公式中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180 不带单位. 2.在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量. 9 1.半径为r的圆,面积是多少？ 2.圆心角为90°的扇形所对的面积是多少？ = 3.圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？ = 思考 扇形面积公式 知识点3 探索新知 10 扇形面积公式 扇形的圆心角的度数. = 圆的半径. 11 对比弧长公式和扇形的面积公式， 可以用弧长表示扇形面积公式： 12 解读 1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的n 倍， 不带单位. 2.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. 13 例1 如图，圆O的半径为10 cm. （1）如果∠AOB=100°，求AB的长及扇形AOB的面积．（结果保留一位小数） （２）已知BC＝25 cm，求∠BOC的度数．（结果精确到1°） 例题示范 14 解：（1）r=10 cm，∠AOB=100°， 由弧长和扇形面积公式，得 ==≈≈17.4（cm）， ==≈≈87.2（cm²）. 所以AB的长约为17.4 m，扇形AOB的面积约为87.2 cm². (2)r=10 cm，=25 cm， 由弧长公式，得=≈≈143. 所以∠BOC约为143°. 1.弧长公式： 2.扇形的面积公式： 归纳 16 拓展 弧、弧长、弧的度数之间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 17 圆锥的侧面积 　　圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫作圆锥的母线．圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫作圆锥的高． 　　如图，PA为圆锥的一条母线，PO为圆锥的高．将圆锥的侧面沿母线PA展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长． 　　反过来，扇形也可以围成一个圆锥． 定义 探索新知 知识点4 侧面展开图扇形的半径=母线的长 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 圆锥侧面积=这个扇形的面积 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此 圆锥的侧面积为 πrl 圆锥的表面积为 πrl+πr2 = πr（l+r） 归纳 例2 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a. 可得r=10. 解得a=30. 因此，该圆锥底面半径为10，母线长为30. 例题示范 20 随堂演练 6 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 . 2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm. 3.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为( ) A.15π B.24π C.30π D.39π 4π B 21 4.如图，已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是( ) A.π－2 B.2π－4 C. 4π－2 D.4π－4 A 22 5.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为32 m，母线长为7 m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少为多少平方米？ 解：S= ×32×7=16×7=112(m2) 因此，所需油毡的面积至少是112m2. 23 拓展提升 １.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______． 180° ２.草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积. 解： 因此，它能喷灌的草坪的面积为 πm2. 25 ３.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D, 交弧AB于点C，连接AC.∵OC=0.6m,DC=0.3m, ∴OD=OC-DC=0.3m. ∴OD=DC. 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 有水部分的面积S=S扇形-S△OAB= O B A C D 26 课堂小结 弧长和 扇形面积 弧长公式 扇形面积公式 圆锥的侧面积为 πrl 圆锥表面积为 πrl+πr2 = πr（r+l） 圆锥 27 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $