第6章 第7节 第1课时 空间中的点、直线、平面与空间向量（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以空间向量为工具，通过建立坐标系将立体几何问题转化为向量运算，系统覆盖线面关系判断、法向量应用等高频考点，突出数学思维与数学语言的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题（选择6、填空3、解答1）|线面/面面位置关系判断、法向量计算、空间坐标系应用|从方向向量/法向量概念到线面平行/垂直判定，形成“概念-判定-应用”逻辑链条| |能力提升组|4题（选择2、填空1、解答1）|综合几何证明、存在性问题探究|深化向量工具在复杂几何情境中的应用，强化推理能力与模型意识|

第7节　空间向量在立体几何中的应用 课时冲关48　空间中的点、直线、平面与空间向量 学生用书　P347 [基础训练组] 1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则(　　) A．l∥α或l⊂α　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：A　[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.] 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A．2　 B．－4　 C．－5　 D．－2 解析：C　[因为α⊥β，所以1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)×k＝0，所以k＝－5.] 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A. B． C. D． 解析：D　[因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 经验证，当n＝时， n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.] 4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析：C　[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0，0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.] 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：B　[以D点为坐标原点， 以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0，0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.] 6．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2，0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　 ) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 解析：ABC　[对于A，·A＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．] 7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________． 解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)． 答案：(0，，) 8．(2024·武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z， 由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________． 解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， ∴·＝·＝0， ∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1. 答案：平行 10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°， ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0，0,2)， M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∴n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM⊄平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)如(1)中图，取AP的中点E，连接BE， 则E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥，∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. [能力提升组] 11．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1,1,1) B． C. D． 解析：C　[由选项特点，设M(λ，λ，1)，又A(，，0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，则＝(－，0,1)，＝(0，－，1)，＝(λ－，λ－，1)． 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，则 即 不妨取z＝，则n＝(1,1，)， 由于AM∥平面BDE，所以⊥n， 即·n＝0，所以λ－＋λ－＋＝0，解得λ＝，即M点坐标为.] 12．(多选)如图四棱锥P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是(　　) A．CQ⊥平面PAD B．PC与平面AQC所成角的余弦值为 C．三棱锥B－ACQ的体积为6 D．四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的表面积为24 解析：BD　[取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP， 因为三角形PAD为等边三角形，所以OP⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD ， 因为AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直， 如图，以O为坐标原点，分别以OD，OE，OP所在的直线为x轴，y轴 ，z轴， 建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(，0,0)，A(－，0,0)P(0,0,3)，C(，2，0)，B(－，2，0) 因为点Q是PD的中点，所以Q， 平面PAD的一个法向量为m＝(0,1,0)， ＝，显然m与不共线， 所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确； ＝(，2，－3)，＝，＝(2，2，0)， 设平面AQC的法向量为n＝(x，y，z)，则 ， 令x＝1，则y＝－，z＝－， 所以n＝(1，－，－)． 设PC与平面AQC所成角为θ， 则sin θ＝＝＝， 所以cos θ＝，所以B正确； 三棱锥B－ACQ的体积为 VB－ACQ＝VQ－ABC＝S△ABC·OP ＝××2×2××3＝6所以C不正确； 设四棱锥Q－ABCD外接球的球心为M(0，，a)，则MQ＝MD， 所以2＋()2＋2＝()2＋()2＋a2， 解得a＝0，即M(0，，0)为矩形ABCD对角线的交点， 所以四棱锥Q－ABCD外接球的半径为3， 设四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的棱长为x， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线， 故正方体的棱长为x，所以32＝62，得x2＝24， 所以正四面体的表面积为4×x2＝24，所以D正确． 13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________． 解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系． 因为底面边长为1，侧棱长为2， 所以A，B1， C，C1， M(0,0,0)，设N， 因为＝，所以N， 所以＝，＝. 又因为AB1⊥MN，所以·＝0. 所以－＋＝0，所以λ＝15. 答案：15 14．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)， F， ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)假设存在满足条件的点G， 设G(x,0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB， 则由·＝·(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴点G的坐标为， 即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点． 7 学科网（北京）股份有限公司 $