第6章 第4节 空间中的平行关系（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间平行关系判定与性质，以定理应用为核心，通过分层训练构建"概念-判定-性质-综合应用"的完整逻辑链，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题|线面平行判定（中位线法/平行四边形法）、面面平行性质转化、存在性问题构造法|从线面平行到面面平行，以正方体/三棱锥为载体，强化"线线平行→线面平行→面面平行"推导链条| |能力提升组|4题|翻折问题空间转化、动态轨迹分析、体积计算中的平行性质应用|结合球与多面体综合，突出平行关系在距离/体积计算中的工具性，培养推理能力与模型观念|

课时冲关45　空间中的平行关系 学生用书　P341 [基础训练组] 1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．] 2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过Β点的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 解析：A　[当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线. ] 3．(2024·合肥市模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　) A．0条　　　　　 B．1条 C．2条 D．1条或2条 解析：C　[ 如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD， ∴EF∥平面BCD. ∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH. 同理AB∥平面EFGH.] 4．(2024·南开模拟)下列命题正确的是(　　) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 解析：C　[若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；只有一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，其他情况，两个平面不平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错；C项正确．] 5．(2024·大连模拟) 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点(不包括顶点)，平面BFD1交棱CC1于点E，则下列命题中正确的是(　　) A．存在点F，使得∠D1FB为直角 B．对于任意点F，都有直线A1C1∥平面BED1F C．对于任意点F，都有平面A1C1D⊥平面BED1F D．当点F由A1向A移动过程中，三棱锥F－BB1D1的体积逐渐变大 解析：C　[对于A，易知·＝(＋)·(＋)＝·＝－≠0，故与不垂直，故A错误；对于B，连接A1C1、AC、EF，则平面ACC1A1∩平面BED1F＝EF， 若A1C1∥平面BED1F，则A1C1∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时A1C1与EF才平行，故B错误； 对于C，连接A1D、A1C1、C1D、BD1、AD1、BC1， 由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，易知AD1⊥A1D， ∵AB∩AD1＝A，AB、AD1⊂平面ABC1D1， ∴A1D⊥平面ABC1D1， ∴A1D⊥BD1，同理可证A1C1⊥BD1， ∵A1D∩A1C1＝A1，A1D、A1C1⊂平面A1C1D， ∴BD1⊥平面A1C1D， ∵BD1⊂平面BED1F， ∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C正确； 对于D，连接BD1、FB1、B1D1， ∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1， BB1⊂平面BB1D1， ∴AA1∥平面BB1D1，则F到平面BB1D1的距离为定值， 又△BB1D1面积为定值，故三棱锥F－BB1D1体积为定值，故D错误．] 6．(多选)如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是(　　 ) A．MB是定值 B．点M在圆上运动 C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE 解析：ABD　[取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，D正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，A正确；∵B是定点，∴M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，C不正确．∴ABD正确．] 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________. 解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝. 答案： 8．(2024·重庆市模拟)在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________． 解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2， 所以MN∥AB，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 答案：平面ABD与平面ABC 9．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________． 解析：如图1，∵AC∩BD＝P， ∴经过直线AC与BD可确定平面PCD. ∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， ∴AB∥CD.∴＝， 即＝，∴BD＝. 如图2，同理可证AB∥CD. ∴＝，即＝， ∴BD＝24. 综上所述，BD＝或24. 　 答案：或24 10．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点． (1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D， 所以平面BDE∥平面MNG. [能力提升组] 11．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为(　　 ) A.　　　　　　B. C. D． 解析：A　[由球体积πR3＝知球半径为R＝， 设△ABC的外心为M，由正弦定理＝2|AM|，得AM＝，由2＋AM2＝2，得PA＝，设AB的中点为N，则CN⊥平面PAB，连接PN，则∠CPN为直线与平面所成的角，PN＝＝，CN＝，tan ∠CPN＝＝.] 12．(多选)如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论恒成立的是(　　) A．EP⊥AC B．EP∥BD C．EP∥平面SBD D．EP⊥平面SAC 解析：AC　[如图所示， 设AC，BD相交于点O，连接SO，EM，EN.对于A，由S－ABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∵AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，MN，EM⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∵EP⊂平面EMN，∴AC⊥EP.故A正确．对于B，易知EP与BD是异面直线，因此B不正确． 对于C，由A可知平面EMN∥平面SBD，∵EP⊂平面EMN，∴EP∥平面SBD，因此C正确． 对于D，由A同理可得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即D不正确．] 13．(2024·安阳市模拟)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，B1S＝，则AT＝________. 解析：设AT＝x，A1T＝y，则x＋y＝1.由题意易知该截面六边形的对边分别平行，即OP∥SR，OT∥QR，PQ∥TS，则△DOP∽△ B1SR.又因为DP＝DO＝1，所以B1S＝B1R＝，所以A1S＝C1R＝.由△ATO∽△C1QR，可得＝，所以C1Q＝x.由△A1TS∽△CQP，可得＝，所以CQ＝y，所以x＋y＝x＋y＝1，可得x＝，y＝，所以AT＝. 答案： 14.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2. (1)求五棱锥A′－BCDFE的体积； (2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求出A′M的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H. 因为四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4， 所以H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH， 从而有A′H⊥EF，CH⊥EF， 又A′H∩CH＝H， 所以EF⊥平面A′HC，且EF⊂平面ABCD. 从而平面A′HC⊥平面ABCD. 过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O， 则A′O⊥平面ABCD. 因为正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4， 故A′H＝2，CH＝4， 所以cos∠A′HC＝ ＝＝， 所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝，则A′O＝， 所以五棱锥A′－BCDFE的体积 V＝××＝. (2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝.证明如下： 连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过点O. A′M＝＝A′C，HO＝HC， 所以OM∥A′H. 又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF， 所以OM∥平面A′EF. 又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF， 所以BD∥平面A′EF. 又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF， 因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF. 4 学科网（北京）股份有限公司 $