第3章 第6节 正弦定理与余弦定理（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的系统性应用，通过基础到综合的梯度设计，以题载法构建“定理应用-边角互化-形状判断-综合拓展”的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题（含2023北京卷等高考真题）|正余弦定理直接计算、边角互化、多解判断、面积公式应用|从定理直接应用到简单综合，形成“概念-公式-应用”递进| |综合提升|4题（含充要条件、四边形综合等）|定理与逻辑推理结合、跨知识融合（如立体几何展开）|从单一知识到多知识交汇，深化知识内在联系|

课时冲关29　正弦定理与余弦定理 学生用书　P315 [基础训练组] 1．(2024·莆田市模拟)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 ) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.] 2．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　 ) A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45° C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° 解析：BC　[对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．] 3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　) A. B． C. D． 解析：B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.] 4．(2022·全国甲卷，8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A. B． C. D． 解析：B　[由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝，CD＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝2＋＝.] 5．(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．] 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为 解析：ACD 　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 所以可设(其中x＞0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x.所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大， 又cos C＝＝＝＞0，所以C角为锐角，所以B错误；由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小， 又cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝， 所以cos 2A＝cos C. 由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确； 设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理得2R＝，又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．] 7．(2023·上海卷)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝________. 解析：由题意，a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝， ∴sin A＝＝. 答案： 8．(2024·济源、平顶山、许昌质检一) 如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝________.若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为________． 解析：由余弦定理知：cos B＝，而a2＋c2＝b2＋ac， ∴cos B＝，又0<B<π，则B＝， 在△BCE中，设∠CEB＝θ，则＝，可得CE＝， 又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA＝∠EAC＝， ∴sin＝＝，可得cos ＝， 而0<θ<π，故θ＝. ∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2. 答案：　2 9．(2024·太原模拟卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________． 解析：根据题意，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，即sin A＝， 结合余弦定理可得2bccos A＝8， 所以A为锐角，且cos A＝， 从而求得bc＝， 所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝··＝. 答案： 10．(2023·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，∠A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin(B－C)的值． 解：(1)由正弦定理，＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去)．所以c＝5. (3)由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝，而A＝120°， 所以B，C都为锐角，因此cos C＝＝，cos B＝＝， 故sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C ＝×－×＝－. [能力提升组] 11．(2024·百师联盟联考一)在△ABC中，“asin＝bcos(π＋B)”是“△ABC为等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由asin＝bcos(π＋B)，化简得－asin＝－bcos B， 所以acos A＝bcos B， 由正弦定理可知，sin Acos A＝sin Bcos B， 所以sin 2A＝sin 2B， 因为2A,2B∈(0,2π)， 所以2A＝2B或2A＋2B＝2×或2A＋2B＝2×π， 即A＝B或A＋B＝或A＋B＝(舍)， 所以A＝B或A＋B＝， 所以△ABC是直角三角形或等腰三角形， 由此可知“asin＝bcos(π＋B)”是“△ABC为等腰三角形”的必要不充分条件．] 12．(多选)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，下列结论正确的有(　　) A．四边形ABCD为梯形 B．圆O的直径为7 C．四边形ABCD的面积为 D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列 解析：ACD　[连接AC、BD，由B、A、D所在圆弧与ADC所在的圆弧弧长相等知AC＝BD，∵AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，∴∠BAD＝120°，可证△BAD≌△CDA， ∴∠BAD＝∠CDA＝120°，∴∠BCD＋∠CDA＝180°，∴BC∥DA， 显然AB不平行CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确； 在△BAD中由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝52＋32－2×5×3 cos 120°＝49， ∴BD＝7， ∴圆的直径不可能是7，故B错误；在△BCD中由余弦定理可得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD， ∴72＝CB2＋52－2×5×CBcos 60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)， ∴S△BAD＝AB·ADsin 120°＝×5×3×＝，∴S△BCD＝CB·CDsin 60° ＝×5×8×＝， ∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BAD＝＋ ＝.故C正确； 在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB， ∴△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确．] 13．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________. 解析：由已知，得BD＝AB＝， ∵D，E，F重合于一点，∴AE＝AD＝， BF＝BD＝， ∴在△ACE中，由余弦定理，得 CE2＝AC2＋AE2－2AC·AE·cos∠CAE＝12＋()2－2×1×cos 30°＝1，∴CE＝CF＝1， 又∵BC＝＝2， ∴在△BCF中，由余弦定理，得cos∠FCB＝＝＝－. 答案：－ 14．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ACD的面积． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos∠ABC ＝ ＝＝， sin∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得 ＝ ＝4， 则S△ACD＝S△ABC ＝× ＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $