专题3.2 代数式的值（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“代数式的值”核心知识点，系统梳理其定义（用数值代替代数式字母按运算得出结果）及求法步骤（代入、计算，强调负数分数乘方加括号），衔接代数式概念与后续整体代入、公式应用，构建完整学习支架。 资料通过分层题型（基础即学即练、综合典例变式）与实际情境（礼品盒包装、长方体容积）设计，培养抽象能力（符号意识）、运算能力（规范步骤）和模型意识（公式应用）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题3.2 代数式的值 教学目标 1.理解代数式的值的概念，知道用数值代替代数式里的字母，按照代数式规定的运算计算出的结果就是代数式的值。 2.掌握求代数式的值的步骤：代入、计算；注意代入时负数、分数乘方要正确添加括号。 3.会根据给定字母的值求代数式的值；能结合简单实际情境，求代数式的值并解释结果的实际意义。 教学重难点 1.重点 掌握求代数式的值的解题步骤，能够正确代入数值并计算代数式的值，规范书写解题格式。 2.难点 （1）当代数式中字母取负数、分数，进行乘方、乘法运算时，容易漏加括号导致计算出错； （2）理解字母取值要符合实际问题意义（实际情境中字母不能取无意义数值）； （3）整体代入思想的简单渗透（不深挖，初步感知）。 知识点01 代数式的值 代数式的值的定义： 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 一般情况下有直接带入和整体带入这两种方法。 【即学即练】 若，，代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：将，代入得，． 知识点02 用公式进行计算 用公式进行计算： 在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 【即学即练】 如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【答案】 6 14或15 【分析】（1）根据题意直接列式求解即可； （2）根据题意得出，结合点阵求解即可． 【详解】解：（1）由图象得：， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 题型01 已知字母求代数式的值 【典例1】下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 【答案】 【分析】观察数阵可得规律，第行共有个数，最后一个数为，利用规律确定所在的行数和位置，再计算即可． 【详解】解：∵第1行有个数，最后一个数为， 第2行有个数，最后一个数为， 第3行有个数，最后一个数为， 第4行有个数，最后一个数为 …… ∴第行共有个数，最后一个数为， ∵，，且， ∴排在从上向下数的第行，即， ∵第行的最后一个数是， ∴第行的第一个数为， ∴是该行从左向右数的第个数，即， ∴． 1.写条件：解：当a=，b=时， 2.代入：把代数式里字母全部换成对应数字，负数、分数要加括号；省略的乘号还原成× 3.计算：按照有理数运算法则计算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号） 4.写出结果 口诀：先写当，再代入，负数分数加括号，省略乘号要补全，运算顺序记心间。 【变式1】为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 【答案】 或 【分析】根据规定的加密规则进行计算即可． 【详解】解：∵加密变成， ∴加密后是，即， 由加密后为，则 解得或 ∴或加密变成． 【变式2】已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 【变式3】如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 【变式4】求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 【答案】(1)7或19 (2) 【分析】（1）首先化简绝对值得到，，然后根据分两种情况讨论，分别代入求解即可； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为7或19； （2）解：∵对于任意的x都成立 ∴当时，， ∴． 题型02 已知式子求代数式的值 【典例1】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用已知得出，，，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 题型1：直接整体代入 已知某式子等于一个数，所求代数式里面完整出现这个式子，直接替换整体。 解题步骤： 观察已知条件和所求代数式，找到相同的 “整体部分”； 将这个整体当作一个单元，替换成已知的数值； 进行有理数计算，得出结果。 题型2：变形后再整体代入（考试高频） 已知式子和所求式子没有完全一样，需要对已知或者所求式子做简单变形，构造出相同整体。 变形手段：等式两边同时乘、同时除以。 【变式1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先根据相关定义确定各未知量对应的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数， ∴，，，， ∴，， 因此，且， ∴． 【变式2】若，则_____________． 【答案】 【分析】由已知方程整理得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴整理得， 将所求代数式变形：， 把代入上式得：． 【变式3】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 【变式4】若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 题型03 计算程序框图 【典例1】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 若已知两边的边长为a和b，则第三边c的取值范围可简化为：|a-b|<c<a+b. 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 【变式2】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 【答案】 【分析】根据流程图可知，运算顺序为：输入后先减去，再将结果平方，最后乘以． 【详解】解：根据流程图，输出结果的代数式为 当时， 原式 ． 【变式3】如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 【变式4】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 题型04 用公式计算相关式子的值 【典例1】如图，一个长方形推拉窗，窗高1.4m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b（m）的变化，窗户的通风面积A（m2）也发生了变化．在这个变化过程中，当拉开长度b从0.1m变化到0.4m时，通风面积A从ㅤㅤm2变化到ㅤm2．（　　） A．0.14  5.6 B．0.24   0.48 C．0.14  0.56 D．2.4  5.6 【答案】C 【分析】通过长方形的面积公式，可得出窗户的通风面积，当拉开长度为0.1m时，即m，当拉开长度为0.4m时，即m，把的值分别代入，即可得出结论． 【详解】解：通过长方形的面积公式，可得出窗户的通风面积（m2）， 当拉开长度为0.1m时，即m时，通风面积为m2． 当拉开长度为0.4m时，即m时，通风面积为m2． 故选：C． 【变式1】如图，长方形的长为a，宽为4．当，时，阴影部分的面积是（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个三角形的面积，用a和b表示出长方形和三角形的面积，然后代入数值计算即可． 【详解】解：根据题意可得，阴影部分的面积 【变式2】已知梯形的面积，其中a为上底长，b为下底长，h为梯形的高．当，，时，梯形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的求值，将对应的数代入梯形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选C． 【变式3】某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 【答案】(1) (2)甲，（或填乙，） (3)乙，76；112 【分析】（1）已知长、宽、高，利用长方体的表面积为，即可写出代数式； （2）根据两种摆放方式易得长、宽、高，再列出对应的表面积代数式即可； （3）观察甲乙图形，当时，乙图中重合部分的面积更大，因此表面积更小，故应该选择乙方式包装，然后根据新的长、宽、高计算出表面积即可；画出4个长方形可以摆成的形状，共6种，先比较重合部分面积，重合面积越大，数量越多的所构成的表面积就越小，选出表面积最小的然后列式计算即可． 【详解】（1）解： 所以图1所示的长方形礼品盒的表面积为 （2）解：若选甲，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． 若选乙，两个礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高， 所需的包装纸的面积为． （3）解：当时，若选甲，所需的包装纸的面积为， 若选乙，所需的包装纸的面积为， 因为， 所以从节约的角度选择乙种方式包装，所需包装纸． 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，有以下6种不同的摆放方式，如图所示： 观察可知，图⑤重合面积大，数量多，所构成的表面积最小， 所以图⑤最省包装纸，此时礼品盒叠放后的尺寸为：长，宽，高，所需的包装纸的面积为 ． 【变式4】如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体盒，怎样才能使无盖的长方体盒容积尽可能大（不计重叠部分的面积）？ 课题小组的同学设计了这样一个活动：在一张边长为的正方形塑料板上，其4个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分围成一个长方体盒． (1)这个长方体盒的底面积是_________，此盒的容积是_________．（用含、的代数式表示） (2)如果选取的正方形硬塑料板的边长，请根据取不同的数值观察长方体容积是如何变化的？答：容积随着的增大而_________． A．变大    B．先变小再变大    C．先变大再变小    D．无法确定 (3)在（2）的条件下，你能否设计一个能装进液体的长方体？答：_________．（填能或不能） 【答案】(1)； (2)C (3)能 【分析】（1）由题意可知，长方体的底面是边长为的正方形，即可解决问题； （2）当时，，分别求出，，时，长方体的容积，即可得出结论； （3）根据（2）的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，长方体的底面是边长为的正方形， ∴这个长方体盒的底面积是，此盒的容积是； （2）解：当时，， 若，则； 若，则； 若，则； 综上所述，容积随着b的增大而先变大再变小； （3）解：由（2）可知，， ∴能设计一个能装进液体的长方体． 1．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得 ， ． 2．若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 3．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】利用绝对值的非负性，即多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出、的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 6．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可知，的展开式中各项的系数之和为________． 【答案】16 【分析】根据图片信息可知的展开式中各项的系数，进而即可求解； 【详解】解：根据图片信息可知的展开式中各项的系数分别为：1，4，6，4，1； ∴． 7．如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，，易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 3．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 4．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为________，第n个图形中的小圆圈的个数为________． 【答案】 24 【分析】观察图形得第1个图形有个圆圈；第2个图形有个圆圈；第3个图形有个圆圈；由此得出规律即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈； 第2个图形有个圆圈； 第3个图形有个圆圈； …， 第7个图形有个圆圈； 第个图形有个圆圈． 5．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 【答案】184 【分析】根据表格中的已知数确定数字的变化规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：第一行第一个数是n，第二个数比前一个数大4即为，第二行第一个数比n大2即为，第二行第二个数是的结果， ∴当时，． 6．已知，满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，求，的值． 【答案】的值为，的值为 【分析】根据得出为整数，进而得出为整数，可得，即可求出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为，的值为． 7．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 代数式的值 教学目标 1.理解代数式的值的概念，知道用数值代替代数式里的字母，按照代数式规定的运算计算出的结果就是代数式的值。 2.掌握求代数式的值的步骤：代入、计算；注意代入时负数、分数乘方要正确添加括号。 3.会根据给定字母的值求代数式的值；能结合简单实际情境，求代数式的值并解释结果的实际意义。 教学重难点 1.重点 掌握求代数式的值的解题步骤，能够正确代入数值并计算代数式的值，规范书写解题格式。 2.难点 （1）当代数式中字母取负数、分数，进行乘方、乘法运算时，容易漏加括号导致计算出错； （2）理解字母取值要符合实际问题意义（实际情境中字母不能取无意义数值）； （3）整体代入思想的简单渗透（不深挖，初步感知）。 知识点01 代数式的值 代数式的值的定义： 一般地，用 代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 一般情况下有 带入和 带入这两种方法。 【即学即练】 若，，代数式的值是________． 知识点02 用公式进行计算 用公式进行计算： 在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 【即学即练】 如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 题型01 已知字母求代数式的值 【典例1】下边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是______． 1.写条件：解：当a=，b=时， 2.代入：把代数式里字母全部换成对应数字，负数、分数要加括号；省略的乘号还原成× 3.计算：按照有理数运算法则计算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号） 4.写出结果 口诀：先写当，再代入，负数分数加括号，省略乘号要补全，运算顺序记心间。 【变式1】为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 【变式2】已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【变式3】如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4】求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 题型02 已知式子求代数式的值 【典例1】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 题型1：直接整体代入 已知某式子等于一个数，所求代数式里面完整出现这个式子，直接替换整体。 解题步骤： 观察已知条件和所求代数式，找到相同的 “整体部分”； 将这个整体当作一个单元，替换成已知的数值； 进行有理数计算，得出结果。 题型2：变形后再整体代入（考试高频） 已知式子和所求式子没有完全一样，需要对已知或者所求式子做简单变形，构造出相同整体。 变形手段：等式两边同时乘、同时除以。 【变式1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【变式2】若，则_____________． 【变式3】已知，则的值为________． 【变式4】若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 题型03 计算程序框图 【典例1】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 若已知两边的边长为a和b，则第三边c的取值范围可简化为：|a-b|<c<a+b. 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 【变式3】如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【变式4】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 题型04 用公式计算相关式子的值 【典例1】如图，一个长方形推拉窗，窗高1.4m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b（m）的变化，窗户的通风面积A（m2）也发生了变化．在这个变化过程中，当拉开长度b从0.1m变化到0.4m时，通风面积A从ㅤㅤm2变化到ㅤm2．（　　） A．0.14  5.6 B．0.24   0.48 C．0.14  0.56 D．2.4  5.6 【变式1】如图，长方形的长为a，宽为4．当，时，阴影部分的面积是（   ） A．6 B． C．7 D． 【变式2】已知梯形的面积，其中a为上底长，b为下底长，h为梯形的高．当，，时，梯形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3】某礼品店招聘员工，薪资待遇丰厚，竞争者蜂拥而至．笔试题目如下，聪明的同学也来试一试吧．（注意：包装纸重叠部分不计） (1)用代数式表示如图1所示的长方形礼品盒的表面积； (2)若顾客购买相同的两份礼品（礼品盒同图1），并要求包装在一起，请在以下两种包装方式中任选一种，并用代数式表示所需的包装纸的面积． 解：我选 （填“甲”或“乙”）． (3)当时，从节约的角度你会选择 种方式包装，所需包装纸 ； 当时，如果有四盒相同的长方形礼品包装在一起，最节约的包装方案需要包装纸 ． 【变式4】如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体盒，怎样才能使无盖的长方体盒容积尽可能大（不计重叠部分的面积）？ 课题小组的同学设计了这样一个活动：在一张边长为的正方形塑料板上，其4个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分围成一个长方体盒． (1)这个长方体盒的底面积是_________，此盒的容积是_________．（用含、的代数式表示） (2)如果选取的正方形硬塑料板的边长，请根据取不同的数值观察长方体容积是如何变化的？答：容积随着的增大而_________． A．变大    B．先变小再变大    C．先变大再变小    D．无法确定 (3)在（2）的条件下，你能否设计一个能装进液体的长方体？答：_________．（填能或不能） 1．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 2．若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 3．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 4．方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．已知，那么代数式的值是 ___________． 6．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可知，的展开式中各项的系数之和为________． 7．如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 3．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 4．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为________，第n个图形中的小圆圈的个数为________． 5．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 6．已知，满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，求，的值． 7．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $