专题14.1 全等三角形及其性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形及其性质核心知识点，从全等形概念切入，系统梳理全等三角形定义、对应元素识别方法（图形特征、位置关系、字母顺序法）及性质（对应边、角相等），构建从基础到应用的学习支架，含思维导图辅助知识体系梳理。 该资料通过“即学即练”及时巩固概念，设计性质应用、图形变换（平移、旋转）、综合问题三类题型，结合典例与变式培养几何直观和推理意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过练习题查漏补缺，提升解决实际问题能力。

专题14.1全等三角形及其性质 教学目标 1.了解全等图形的概念． 2.理解全等三角形的概念，并能识别两全等三角形的对应元素． 3.掌握全等三角形的性质，能运用全等三角形的性质探索两线段的位置和数量关系、角的等量关系、面积与周长的关系，并解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的概念； （2）识别两全等三角形的对应元素． 2.难点 （1）运用全等三角形的性质探索线段及角度的关系； （2）运用全等三角形的性质解决相关问题． 知识点01 全等形的概念 1. 全等形的概念： 能够 的两个图形叫作全等形． 2. 全等形的形状 ，大小 ． 注意： ①两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形位置无关． ②全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形，因为二者的形状不一定相同． ③一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 【即学即练】 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 3．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 知识点02 全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 （1）全等三角形：能够 的两个三角形叫作 ． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：把两个 的三角形重合到一起， 的顶点． ②对应边：把两个 的三角形重合到一起， 的边． ③对应角：把两个 的三角形重合到一起， 的角． 2．全等三角形的表示方法 全等用符号“ ”表示，读作“ ”．用“”表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 的位置上． 如图中，和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点 ，点B和点 ，点C和点 是对应顶点，和 ，和 ，和 是对应边，和 ，和 ，和 是对应角． 3．全等三角形中对应元素的确定方法 （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边． ②最大角对最大角，最小角对最小角． ③相等的边（角）为对应边（角）． （2）位置关系法： ①公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边． ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）字母顺序法： 如，则与，与，与是对应边，与，与，与是对应角． 【即学即练】 1．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在线段上，，，则________． 3．下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 知识点03 全等三角形的性质 1．全等三角形的性质 全等三角形的 ，全等三角形的 ． 2．书写格式 如图，∵， ∴，，；，，． 【即学即练】 1．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 2．如图，已知，写出对应边、对应角． 题型01 全等三角形性质的应用 【典例1】如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．3.5 【典例2】如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图所示，已知，其中，． （1）求证：． （2）求的长． 【变式1】 如图，，点B、F、C、E共线，与交于点G．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，，则_____． 【变式3】如图，，，． （1）求的长； （2）若A、B、C在一条直线上，求证：． 题型02 图形变换中的全等三角形 【典例1】如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．14 C．15 D．17 【典例2】 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为__________时，能够使与全等． 【变式1】 如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【变式2】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【变式3】如图，，，点E和点F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线上取一点G，使与全等，则的长为________． 题型03 全等三角形的综合问题 【典例1】如图，，点E在边上（不与点B，C重合）与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 【变式1】如图所示，，且点E、B、D、F在同一条直线上． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）线段与线段相等吗？说明理由． 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，一定是全等图形的是（    ） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 3．如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（），其中与三角形③全等的是（    ） A．⑤ B．④ C．② D．① 4．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 5．如图，与交于点O，，点B，C是对应点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，点C在边上，平分，与交于点G．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 8．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．若，，线段的长__________． 9．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则a的值为________________． 10．如图，，，，，那么 _______． 11．如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 12．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当 _________________时， 才能使和全等． 13．如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 14．如下图，已知，，点C在上，与交于点F． （1）【探究】已知，求和的度数． （2）线段，与之间有什么数量关系？请说明理由． （3）【运用】若，，则____________． 1．如图，在中，D是上的一点，，，，动点P从点C出发向点A运动，速度为，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（    ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 2．如图，中，点D在边上，点E线段上，点F在的延长线上，且．若的面积为3，的面积为2，则的面积为________． 3．在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． （1）如图1，当时，_______，当时，_______（用含t的式子表示）； （2）如图1，当______s时，的周长被线段平分为相等的两部分； （3）如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； （4）如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.1全等三角形及其性质 教学目标 1.了解全等图形的概念． 2.理解全等三角形的概念，并能识别两全等三角形的对应元素． 3.掌握全等三角形的性质，能运用全等三角形的性质探索两线段的位置和数量关系、角的等量关系、面积与周长的关系，并解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的概念； （2）识别两全等三角形的对应元素． 2.难点 （1）运用全等三角形的性质探索线段及角度的关系； （2）运用全等三角形的性质解决相关问题． 知识点01 全等形的概念 1. 全等形的概念： 能够 完全重合 的两个图形叫作全等形． 2. 全等形的形状 相同 ，大小 相等 ． 注意： ①两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形位置无关． ②全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形，因为二者的形状不一定相同． ③一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 【即学即练】 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； B：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； C：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； D：两个图形可以完全重合，全等，故该选项符合题意． 2．在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形． A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形． B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形． C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形． D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形． 3．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．周长相等的两个图形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同． ∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A错误； ∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B错误； ∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C错误； ∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D正确． 知识点02 全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 （1）全等三角形：能够 完全重合 的两个三角形叫作 全等三角形 ． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：把两个 全等 的三角形重合到一起， 重合 的顶点． ②对应边：把两个 全等 的三角形重合到一起， 重合 的边． ③对应角：把两个 全等 的三角形重合到一起， 重合 的角． 2．全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“ 全等于 ”．用“”表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 对应 的位置上． 如图中，和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点 D ，点B和点 E ，点C和点 F 是对应顶点，和，和，和是对应边，和，和，和是对应角． 3．全等三角形中对应元素的确定方法 （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边． ②最大角对最大角，最小角对最小角． ③相等的边（角）为对应边（角）． （2）位置关系法： ①公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边． ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）字母顺序法： 如，则与，与，与是对应边，与，与，与是对应角． 【即学即练】 1．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 2．如图，，点E在线段上，，，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 3．下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【答案】①④⑤ 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为4高为3和底为6高为2的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为3，4，5和4，4，4的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 知识点03 全等三角形的性质 1．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2．书写格式 如图，∵， ∴，，；，，． 【即学即练】 1．如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【详解】解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 2．如图，已知，写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 题型01 全等三角形性质的应用 【典例1】如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【典例2】如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 【典例3】如图所示，已知，其中，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）10 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 【变式1】 如图，，点B、F、C、E共线，与交于点G．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，点B、F、C、E共线， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，，，，，则_____． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，，，． （1）求的长； （2）若A、B、C在一条直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02 图形变换中的全等三角形 【典例1】如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为__________时，能够使与全等． 【答案】3厘米/秒或厘米/秒 【详解】解：设点P运动的时间为t秒， 则（厘米），厘米， ∵， 当，，时， ∵，P，Q运动的时间相等， ∴Q的运动速度是3厘米/秒； 当，，时， ∵E是中点， ∴（厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴（厘米/秒）； ∴当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等． 【变式1】 如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【详解】解：当时，，即， 解得：； 当时，米， 此时所用时间x为10秒， ∴米， ∴，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 【变式3】如图，，，点E和点F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线上取一点G，使与全等，则的长为________． 【答案】60或32 【详解】解：由题意，设，则， 分以下两种情况： ①当时，则，， ∵，即， ∴， ∴； ②当时，，， ∵，即， ∴， ∴； 综上，的长为60或32． 题型03 全等三角形的综合问题 【典例1】如图，，点E在边上（不与点B，C重合）与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 【答案】（1）；（2）33.5 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为． 【变式1】如图所示，，且点E、B、D、F在同一条直线上． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．下列各组图形中，一定是全等图形的是（    ） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【详解】A．两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B．两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C．两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D．∵ 圆的面积公式为，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等． 3．如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（），其中与三角形③全等的是（    ） A．⑤ B．④ C．② D．① 【答案】B 【详解】解：与三角形③全等的是④． 4．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 5．如图，与交于点O，，点B，C是对应点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与交于点O， ∴与是对顶角， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 6．如图，已知，点C在边上，平分，与交于点G．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】， 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 8．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．若，，线段的长__________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 9．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则a的值为________________． 【答案】6 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 10．如图，，，，，那么 _______． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 11．如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】32 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当 _________________时， 才能使和全等． 【答案】3或6 【详解】解：∵和全等，， ∴，或，， 当，时， ∵， ∴， 当，时， ∵， ∴， 综上，或6 13．如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵，即：， ∴， 又， ∴． 14．如下图，已知，，点C在上，与交于点F． （1）【探究】已知，求和的度数． （2）线段，与之间有什么数量关系？请说明理由． （3）【运用】若，，则____________． 【答案】（1），；（2）．理由见解析；（3）2 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴． （3）解：由（2）可知， ∵，， ∴． 1．如图，在中，D是上的一点，，，，动点P从点C出发向点A运动，速度为，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（    ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【详解】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为2或． 2．如图，中，点D在边上，点E线段上，点F在的延长线上，且．若的面积为3，的面积为2，则的面积为________． 【答案】7 【详解】解：∵，， ∴，，即D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． （1）如图1，当时，_______，当时，_______（用含t的式子表示）； （2）如图1，当______s时，的周长被线段平分为相等的两部分； （3）如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； （4）如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 【答案】（1）9，；（2）6；（3）或9.5；（4）或或或 【详解】（1）解：当时，； 当时，此时点P在边上，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； （3）解：①当点P为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点P为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或9.5； （4）解：①当，则：，， 当点P在上时，，解得：， ∴点Q的速度为：； 当点P在上时，则：， ∴点Q的速度为：； ②当时，则：，， 当点P在上时，，解得：， ∴点Q的速度为：； 当点P在上时，则：， ∴点Q的速度为：； 综上：点Q的速度为或或或． 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $