2.1+一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的概念、一般形式及根的含义展开，通过正方形面积、矩形花圃栅栏、农村贫困人口下降率等实际问题导入，引导学生列方程并对比已学方程归纳特征，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养模型意识，如用脱贫数据列方程；通过探索活动发展抽象能力与推理意识，如归纳定义关键词；练习分层设计含参数方程判断及根的实际意义分析。助力学生理解数学与现实联系，帮助教师高效落实教学目标。

2.1 一元二次方程的概念 学习目标 1.能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义。 2.掌握一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程根的含义，能检验数值是否为方程的根。 情景引入 根据下列问题，设未知数列方程： 1、面积为2 m2的正方形桌面的边长是多少？ 2、矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，如果花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 3、我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫. 已知我国2017年农村贫困人口为3046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率. 新课讲解 在问题1中，设正方形桌面的边长是x m，可得方程： . 在问题2中，如图，设花圃垂直于墙的一边是x m， 可得方程：           . x(19-2x)=24 在问题3中，设农村贫困人口平均每年下降的百分率为x， 可得方程：                          . 3046(1-x)2=551 情景引入 根据下列问题，设未知数列方程： 1、面积为2 m2的正方形桌面的边长是多少？ 2、矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，如果花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 问题 新课讲解 在问题1中，设正方形桌面的边长是x m，可得方程： . x2=2 在问题2中，如图，设花圃垂直于墙的一边是x m， 可得方程：  . x(19-2x)=24 新课讲解 问题1：思考所列方程与我们所学过的方程有什么异同？ 问题2：思考所列方程有何特征？ 观察所列方程：x2= 2，x(19-2x)=24，3046(1-x)2=551， 思考： 探索活动 1、探索活动一、一元二次方程的概念 思考： （1）什么是方程？ （2）我们学过哪几种方程？ （3）观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学过的方程有什么异同？   新课讲解 像方程 x2=2 ，x(19-2x)=24 ，3046(1-x)2=551 ，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）.一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根. 关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).其中，ax2，bx，c分别叫作二次项，一次项和常数项，a,b分别叫作二次项系数、一次项系数.例如，方程x(19-2x)=24可以化为一般形式-2x2+19x-24=0,二次项系数、一次项系数、常数项分别为-2,19，-24 1.下列方程中,是一元二次方程的为(　　) A. ax2+bx+c=0 B. x2+x=x(x-1) C. x2-=2 D. x2=3x 2.一元二次方程3x2-2x-1=0的一次项系数为(　　) A. 3 B. -2 C. -1 D. 0 D B 牛刀小试 探索活动 1、探索活动一、一元二次方程的概念 说明概念中的关键词： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数为2； （3）整式方程； （4）有的方程要整理后才能判断是否是一元 二次方程. 一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根. 归纳总结：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）. 探索活动 1、探索活动二、一元二次方程的一般形式 关于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）.其中ax2叫做 项，a叫做              ；bx叫做          项，b叫做           ；c叫做          项． 二次 二次项系数 一次 一次项系数 常数 尝试练习 3.若方程(a-4)x|a|﹣2﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为-4 尝试练习 4.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x2－x=2； (2)4x+1=x2； (3)2x2=－3x； (4)x(x+3)=－2. 解：(1)一般形式：x2－x－2=0 二次项系数是1，一次项系数是－1，常数项是－2. (2)一般形式：x2－4x－1=0 二次项系数是1，一次项系数是－4，常数项是－1. (3)一般形式：2x2+3x=0 二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是0. (4)一般形式：x2+3x+2=0 二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2. 尝试练习 (1)(书本第30页练习2)：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x2－x=2； (2)4x+1=x2； (3)2x2=－3x； (4)x(x+3)=－2. 解：(1)原方程即：x2－x－2=0； 二次项系数是1，一次项系数是－1，常数项是－2. (2)原方程即：x2－4x－1=0； 二次项系数是1，一次项系数是－4，常数项是－1. (3)原方程即：2x2+3x=0； 二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是0. (4)原方程即：x2+3x+2=0； 二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2. 尝试练习 (2)（2026春•越城区校级单元）一元二次方程(x+2)2＝2x+1化为一般式为　 　 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． (3)（2025秋•镇原县期末）一元二次方程x(2x﹣1)＝3x+4化成一般形式为　 ，其中二次项是 ，一次项是 ．常数项是 ． (4)（2026春•拱墅区月考）已知关于x的一元二次方程(k﹣3)x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　 ． x2+2x+3=0 1 2 3 2x2－4x－4=0 2x2 －4x －4 －3 5.将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a<0)后,二次项和一次项分别是-3x2、4x 例如图2-2，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的低端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m，设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程. 解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形.根据题意，得 x2+(x+1)2=52 化简，得 x2+x －12=0 由x2+(x+1)2=52，对照勾股数3，4，5可以发现，x=3，x=－4都满足这个方程，我们称这个一元二次方程有两根实数根x1=3，x2=－4.在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x2=－4不符合题意 1、(书本第29页例题)如图2-2，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的低端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m，设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程. 例题讲解 解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形.根据题意，得 x2+(x+1)2=52 化简，得 x2+x －12=0 由x2+(x+1)2=52，对照勾股数3，4，5可以发现，x=3，x=－4都满足这个方程，我们称这个一元二次方程有两根实数根x1=3，x2=－4.在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x2=－4不符合题意 例题讲解 2、已知关于x的方程 ． (1)当m 时，此方程是一元一次方程； (2)当m 时，此方程是一元二次方程；并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． =－1 =±2 (2)当m=2时，此方程即：3x2+2x－1=0. 它的二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是－1． 当m=－2时，此方程即：－x2+2x－1=0. 它的二次项系数是－1，一次项系数是2，常数项是－1． 拓展延伸 1.已知关于x的一元二次方程(a-3)x2+a2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则a的值为 (　　) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 2.已知关于x的一元二次方程(m-5)x2+x+|m|-5=0的一个根是x=0,则实数m的值为 (　A　) A. -5 B. 0 C. 5 D. -5或5 D 3．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2026+2a﹣b的值是 　 ． 4．已知方程(m2﹣5m)x|m|﹣3﹣x﹣9＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程． 5．关于x的方程(k2﹣1)x2+2(k﹣1)x+2k+2＝0， （1）当k 时，该方程是一元二次方程； （2）当k 时，该方程是一元一次方程． 当堂练习 2024 ﹣5 ≠±1 =﹣1 (1) 若方程是一元二次方程，求m的值． (2) 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解． 6. 7．已知a是一元二次方程x2+x－1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值；（2）求a3－2a+2026的值． 当堂练习 解：(1)∵a是一元二次方程x2+x－1＝0的一个根， ∴a2+a－1=0, ∴a2+a=1, ∴2a2+2a=2, (2)∵a2+a－1=0, ∴a2=－a+1, ∴a3=－a2+a, ∴a3－2a+2026=－a2+a－2a+2026=－a2－a+2026=－1+2026=2025 课堂小结 课堂小结 1.等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程 2.关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).其中，ax2，bx，c分别叫作二次项，一次项和常数项，a,b分别叫作二次项系数、一次项系数. 课堂小结 这节课，你的收获是--- 谢谢大家聆听 $