2.1 一元二次方程的概念（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，涵盖定义、一般形式及根的含义。通过回顾一元一次方程知识，结合正方形面积、矩形花圃、贫困人口下降率等现实问题情境列方程，对比归纳新方程特征，搭建旧知到新知的学习支架。 其特色是用真实情境问题驱动教学，培养学生数学眼光与推理意识，如从扶贫数据抽象方程体现数学观察，通过对比旧知归纳定义发展思维。采用问题链引导概念形成，小结系统梳理要点，助力学生提升抽象能力与应用意识，教师可高效备课优化教学。

2.1 一元二次方程的概念 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义． 掌握一元二次方程一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数． 3 会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程的根的含义，能检验数值是否为方程的根． 知识回顾 什么是一元一次方程？一般形式是什么？ 　　等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程．一般形式是 ax＋b＝0 (a≠0)． 列方程的一般步骤是什么？ 审题→设未知数→找等量关系→列式 解：设正方形桌面的边长为x m， 由题意得： x2＝2． 问题情境 根据下列问题，设未知数列方程： 1．面积为2m2的正方形桌面边长是多少？ 问题情境 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 解：设花圃垂直于墙的一边长为 x m， 由题意得： x(19－2x)＝24． 根据下列问题，设未知数列方程： xm (19－2x)m 问题情境 根据下列问题，设未知数列方程： 3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3 046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率． 解：设我国2017－2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率为x， 由题意得： 3 046 (1－x)2＝551． 讨论交流 对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？ x2＝2， x(19－2x)＝24， 3 046 (1－x)2＝551， ②方程中只含有一个未知数（如x）； ①方程的等号两边都是整式，没有分式或根式等其他形式； ③未知数的最高次项次数是2，且二次项的系数不为0． 具有这样特征的方程应该如何定义呢？ 新知归纳 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）． ① ② ③ 你能举出一个不是一元二次方程的例子吗？ 尝试交流 数学中为了方便研究，常常将方程化为统一的形式． 你能尝试将方程 x(19－2x)＝24 化为等号右边为0的形式吗？ x(19－2x)＝24 去括号，得 19x－2x2＝24 移项，得 －2x2＋19x－24＝0 方程的左边按 x 的降幂排列 新知归纳 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式． 新知讲解 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0） 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 。 关键特征：a≠0 a≠0是一元二次方程的必要条件． 如果a＝0，方程就变成方程就变成bx＋c＝0，是一元一次方程了． b、c 可以为 0． 尝试交流 说出方程－2x2＋19x－24＝0中的二次项、一次项和常数项及它们的系数． 方程x2＝2的一般形式是什么？各项以及它们的系数呢？ 方程3046 (1－x)2＝551化为一般形式后，各项系数是什么？ 注意：确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号． 例题讲解 例 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程． 解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形． 根据题意，得 x2＋(x＋1)2 ＝52． 化简，得 x2＋x－12＝0． 结果化为一般形式． xm (x＋1)m 尝试交流 观察方程 x2＋x－12＝0．你能找到它的解吗？ 观察方程 x2＋(x＋1)2 ＝52，回忆勾股数3，4，5，你有什么发现？ x＝3，x＝－4都是这个方程的根． 当 x＝3时，32＋3－12＝9＋3－12＝0， 所以 x＝3是方程的根． 当 x＝－4时，(－4)2＋(－4)－12＝16－4－12＝0， 所以 x＝－4也是方程的根． 新知归纳 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也称为一元二次方程的根． 一元二次方程最多有几个根？ 两个 在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x＝－4不符合题意． 在解决实际问题时，求出方程的根后，必须回到实际情境中检验它是否符合题意．不符合实际意义的根要舍去． 新知巩固 1．根据题意列方程： (1) 一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多 8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________； x (8＋x)＝240 (2) 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 1 cm 的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的 ．设圆的半径为x cm，可得方程____________． 新知巩固 πx2＝9 1．根据题意列方程： 新知巩固 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) x2－x＝2； (2) 4x＋1＝x2； 解：(1) 将方程化成一般形式，得x2－x－2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2． (2) 将方程转化成一般形式，得x2－4x－1＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1． 也可以化为－x2＋4x＋1＝0，一般形式不唯一，但通常将二次项系数化为正数，且按降幂排列． 新知巩固 (3) 2x2＝－3x； (4) x(x＋3)＝－2． 解：(3) 将方程化成一般形式，得2x2＋3x＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0． (4) 将方程转化成一般形式，得x2＋3x＋2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2． 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项． 将方程化为一般形式时， 务必注意移项要变号；各项系数包括它前面的符号，不可遗漏；若方程中缺少某一项，该项的系数即为0． 新知巩固 3．你能找到方程 x2＝2 的解吗？试一试． 解：根据平方根的定义，对于方程 x2＝2，x是2的平方根， 所以 x＝±． 所以方程 x2＝2 的解为 x1＝，x2＝－． 新知巩固 4．判断下列 x 的值是否为对应的一元二次方程的根： (1) x1＝2，x2＝－2，方程 x2－4＝0； 解：(1) 把 x＝2代入： 左边＝22－4＝4－4＝0＝右边，x＝2是方程的根； 把 x＝－2代入： 左边＝(－2)2－4＝4－4＝0＝右边，x＝－2是方程的根． 新知巩固 4．判断下列 x 的值是否为对应的一元二次方程的根： (2) x＝－1，方程 x2＋2x＋1＝0； 解：(2) 把 x＝－1代入： 左边＝(－1)2＋2×(－1)＋1＝1－2＋1＝0＝右边， x＝－1是方程的根． 新知巩固 4．判断下列 x 的值是否为对应的一元二次方程的根： (3) x1＝2，x2＝3，方程 x2－3x＋2＝0． 解：(3) 把 x＝2代入： 左边＝22－3×2＋2＝4－6＋2＝0＝右边，x＝2是方程的根； 把 x＝3代入： 左边＝32－3×3＋2＝9－9＋2＝2≠0，x＝3不是方程的根． 能力提升 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0，回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值． 解：(1) 根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1． (2) 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解． (2) 存在　有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0，则方程变为－3x－1＝0， 解得 x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1． 课堂小结 2.1 一元二次方程的概念 一元二次方程定义→整式、一个未知数、未知数最高次数为2 一般形式→ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，会识别三项与对应系数 列方程步骤：审题→设未知数→找等量关系→列式 方程的根：实际问题中求出的根需要检验是否符合实际意义 感谢聆听！ $