专题2.4 直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，系统梳理两条直线交点坐标的求解（含方程组解与位置关系的关联）、距离公式（两点间、点到直线、平行直线间）及对称问题，构建从方程联立到距离计算再到实际应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于考点分层设计（8个考点覆盖基础到综合应用），结合“将军饮马”等现实情境问题，通过方程组解的个数分析直线位置关系培养数学思维中的推理能力，用距离公式解决最值问题体现数学语言表达现实世界的价值，课中助力教师针对性教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识梳理】 1 【考点1：求两条直线的交点坐标】 2 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 3 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 3 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 4 【考点5：两点间的距离公式】 6 【考点6：点到直线的距离公式】 6 【考点7：两条平行直线间的距离】 7 【考点8：与距离有关的最值问题】 8 【知识梳理】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系： 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．距离公式 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 3．点、直线间的对称问题 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：求两条直线的交点坐标】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 1．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为2的直线的方程为_____.（写成一般式） 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为__________. 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 2．（25-26高一下·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·福建福州·期中）给出下列曲线：①；②；③；④，其中与直线有交点的所有曲线是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①②③ 4．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 5．（第一章直线与方程（知识归纳 题型突破）-2025-2026学年高二数学单元速记�巧练（苏教版2019选择性必修第一册））分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 1．（第1.4讲两条直线的交点与点线对称（暑假预习讲义）新高二数学苏教版）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 2．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【考点5：两点间的距离公式】 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 2．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知、是直线上的两点，若，则____ 3．（24-25高二上·江苏常州·阶段检测）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为______. 4．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 5．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【考点6：点到直线的距离公式】 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 3．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 4．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 5．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【考点7：两条平行直线间的距离】 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【考点8：与距离有关的最值问题】 1．（25-26高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 2．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线的方程为. (1)求出直线所过的定点，并求出到原点O的距离. (2)过点的直线交轴非正半轴与轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长. 5．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识梳理】 1 【考点1：求两条直线的交点坐标】 2 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 4 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 6 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 8 【考点5：两点间的距离公式】 12 【考点6：点到直线的距离公式】 15 【考点7：两条平行直线间的距离】 17 【考点8：与距离有关的最值问题】 18 【知识梳理】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系： 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．距离公式 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 3．点、直线间的对称问题 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：求两条直线的交点坐标】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 4．（25-26高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【详解】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 5．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 1．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为2的直线的方程为_____.（写成一般式） 【答案】 【分析】求出交点坐标，先设斜截式方程，再代入点坐标即可得到答案. 【详解】联立得，解得，则交点坐标为， 显然直线斜率不存在时不合题意，则可设， 代入得，解得， 则，即. 故答案为：. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【分析】解方程组求出已知两条直线的交点坐标，然后根据所求直线与平行的条件，设出具有相同斜率的直线方程，将交点坐标代入即可. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为__________. 【答案】或 【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解． 【详解】由方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距相等， 当直线与两坐标轴的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或． 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【答案】 【分析】联立两直线方程，解得交点坐标，然后由截距式求得直线方程. 【详解】联立方程组，解得， 即的交点坐标为， 则过点和点的直线，即， 故答案为： 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 2．（25-26高一下·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可. 【详解】由题, 直线与平行,故. 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题. 3．（25-26高二上·福建福州·期中）给出下列曲线：①；②；③；④，其中与直线有交点的所有曲线是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据题意，依次联立方程求解即可得答案. 【详解】对于①，联立方程得，显然不满足， 故与直线无交点； 对于②，联立方程得，显然或，有两个解， 故与直线有两个交点； 对于③，联立方程得，显然， 故有两个解，所以与直线有两个交点； 对于④，联立方程得，或，有两个解， 故与直线有两个交点； 故与直线有交点的所有曲线是②③④. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于联立方程，并结合判别式求解. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 5．（第一章直线与方程（知识归纳 题型突破）-2025-2026学年高二数学单元速记�巧练（苏教版2019选择性必修第一册））分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 1．（第1.4讲两条直线的交点与点线对称（暑假预习讲义）新高二数学苏教版）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 2．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【考点5：两点间的距离公式】 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 2．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知、是直线上的两点，若，则____ 【答案】 【分析】由两点间的距离公式可求解． 【详解】因为、在直线上，所以，． 根据两点间的距离公式，得 ，解得． 故答案为：. 3．（24-25高二上·江苏常州·阶段检测）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为______. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，并根据其在第二象限，得到不等式组，求出，由两点间距离公式列出方程，求出的值. 【详解】两直线不平行，故， 联立与，解得， 因为点在第二象限，故，解得， 由题意得，解得或（舍去）， 故. 故答案为： 4．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 5．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出. 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 【考点6：点到直线的距离公式】 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 3．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 4．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 5．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 【考点7：两条平行直线间的距离】 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 2．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 4．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 5．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 【考点8：与距离有关的最值问题】 1．（25-26高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 2．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 【答案】 【分析】首先求出点关于的对称点为，再利用对称性，转化长度和，即可求解. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得：，，即， 由对称性可知，， 则，如图饮马点为与的交点， . 故答案为：. 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线的方程为. (1)求出直线所过的定点，并求出到原点O的距离. (2)过点的直线交轴非正半轴与轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）化简后令，解出即可得定点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解； （2）分别令、可表示出、两点坐标，即可表示出面积，结合基本不等式取等条件即可得、两点坐标，即可求出周长. 【详解】（1）化简得到，令， 解得，，所以直线过定点， 到原点距离； （2）设，令，则， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等， 则当时，，当时，， 则此时交点为，， 则， 即周长为. 5．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】(1)直线恒过定点； (2) (3)面积的最小值为4，直线方程为 【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求； （2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； （2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （3）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $