2.4.1圆的标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课时题目

2.4.1圆的标准方程（选择性必修第一册第二章）

第1 课时

一、内容和内容解析

内容

圆的标准方程，圆的标准方程的特点，

求圆的方程的三种方法（待定系数法、几何法和直接法）， 

点与圆的位置关系。

内容解析

本节课是解析几何中研究曲线方程的起始课和典范。学生在学习了“直线的方程”之后，首次接触一个非线性的、封闭的曲线的方程。圆的方程是后续学习圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的基础，其“坐标法”的思想——将几何问题代数化——贯穿整个解析几何的始终。因此，掌握圆的方程，特别是标准方程，至关重要。

二、学情分析

（1）认知基础

在初中，学生已经学过圆的一些知识，前一节，学习了直线与方程的基础知识，知道了在直角坐标系中通过建立方程研究几何图形，圆的标准方程正是这一知识的应用延续，在学习中进一步使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力

(2)认知困难

学生在本节课的核心困难在于思维范式的转换。学生习惯于圆的直观几何形象，难以理解为何要用抽象的方程来“定义”圆，对解析几何的“数形结合”思想感到隔阂。

三、目标和目标解析

目标

1、掌握圆的定义及标准方程；

2、会用待定系数法和几何法求圆的标准方程；

3、能准确判断点与圆的位置关系

目标解析

达成上述目标的标志是:

1、会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;

2、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；使学生加深对数形结合思想的理解；知识的应用及灵活处理问题能力的培养。

3、培养学生的的计算能力、思维能力、数形结合的能力。

4、通过分析问题，激发学生的学习兴趣. 培养学生主动探究知识、合作交流的意识，提高学生的思维能力。

5、提供生活背景，让学生体会数学就在身边，培养学数学用数学的意识。

教学重点

圆的标准方程的求法及其应用.

教学难点

1、据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数从而求出圆的标准方程。 

2、初步掌握运用几何关系简化代数运算。

四、教学方法分析

本节课宜采用“探究式教学法”与“数形结合法”。通过创设认知

冲突，引导学生将圆的几何定义自主翻译成代数方程，亲历知识生成过程。教学中贯穿“以形助数”与“以数解形”，利用坐标系双向沟通方程与图形，辅以变式练习，深化对圆的标准方程本质的理解，突破从几何思维到代数思维的转换难点。

五、教学过程设计

教师活动与任务设计

学生学习活动与任务解决

设计意图或达成目标

核心任务一

创设

情景引入新课

环节一

任务1：

圆是一切平面图形中最美的图形

               ——毕达哥拉斯学派

学生动手画圆

情景引入

积极参与课前活动，动手动脑

引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？

核心任务二

探究新知讲解新课

环节一

任务1

在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？

提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径.

使学生在已有的基础上，结合圆的定义，回答确定一个圆的几何要素

使学生在已有的知识经验的基础上，探索新知，引出本节课题

环节二

任务2:

已知圆心A的坐标为(a,b),半径为r，设圆上任意一点 M（x, y），如何求该圆的方程？

如图

在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r，M（x, y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合P={M | |MA|=r} .

由上述过程可知，

若点 M（x, y）在☉A上，点M的坐标就满足方程（1）；

反过来，若点M的坐标（x, y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在☉A上.

这时，我们把方程（1）称为圆心为A(a,b) ，半径为r 的圆的标准方程.

求方程的一般步骤：

1建系设点

2找关系式列方程

3化简方程、证明

由两点间的距离公式，点适合的条件可表为  ①两边平方得

让学生独立思考，并经历数学化的过程，体现数学素材和学生已有知识和生活经验的结合

环

任务3：完成课堂练习

进一步熟

节三

1.写出下列圆的圆心坐标和半径

2.已知圆心和半径，写出圆的标准方程

（1）圆心（1,2）半径为2；

（2）圆心（-1,2）半径为1

（3）圆心（1,-2）半径为

悉掌握圆的标准方程

核心任务三

例题讲解灵活应用

环节一

任务1

例1  求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.

分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.

解：

圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是

把的坐标代入方程

 的左边，得

，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.

跟着老师动手板演。

把点的坐标代入方程

 的左边，得

，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上(如图

引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

任务2

探究

点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？

点与圆

的位置关系如何判断？

   提示：

学生从特殊到一般归纳出点与圆的位置关系。