2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦匀变速直线运动的位移与时间关系这一核心知识点，从匀速v-t图像面积引入，通过微积分思想推导位移公式，进而延伸至速度与位移关系、运动规律总结、初速度为零的比例关系及应用，构建完整知识支架。 该资料以v-t图像和微积分思想为特色切入点，注重公式推导过程与规律整合，例题覆盖生活情境与高考真题，助力学生形成运动观念，培养科学推理和模型建构能力。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 · 导入 由做匀速直线运动的v-t图像可以看出，在时间t内的位移x对应图中着色部分的矩形面积。那么，做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移与时间会有怎样的关系？ 图2.3-1 图2.3-2 · 知识点对点 知识一 匀变速直线运动的位移☆☆☆ 项目 内容 情景举例 利用v-t图像探究匀变速直线运动位移随时间变化的规律，如图2.3-3。 图示 图2.3-3 微积分的方法 面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理任意形状的v-t图像都适用。对于如图所示的运动物体的位移，可用其v-t图像着色部分图形的面积来表示。 在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干个小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。 推导 匀变速直线运动的位移对应着v-t图像中图线与两轴所围的面积，如图2.3-4 图2.3-4 由图可知：梯形OABC的面积 位移与时间关系 （1）公式： （2）矢量：vo为初速度，一般以vo的方向为正方向。 （3）匀加速直线运动：a取正值，如图2.3-5 （4）匀减速直线运动：a取负值，如图2.3-6 （5）特殊匀加速直线运动：a取正值，v0=0，如图2.3-7 图2.3-5 图2.3-6 图2.3-7 注意 区分图像拐点和与时间轴交点，如图2.3-8 图2.3-8 · 例题 考点：匀变速直线运动位移与时间的关系 1．（2026春•茂名期末）·【易】某新能源汽车进行直线加速测试，t＝0时从静止开始加速，电机提供恒定牵引力，阻力恒定，t1时撤去牵引力，汽车仅受阻力作用，到t2时停下。在下列位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 知识二 速度与位移的关系☆☆☆ 项目 内容 导入 速度与位移又有什么联系呢？ 答：结合位移时间关系式，速度时间关系式，， ，两式子联立，消去t即可。 公式 如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间，利用这个公式求解，往往会更简便。 · 例题 考点：匀变速直线运动速度与位移的关系 2．（2026春•光明区校级期末）·【中档】近年来无人配送车搭载传感器、控制器，融合通信与网络技术，广泛用于快递、商超配送，实现了运输中转全流程智能化。如图所示，一辆满载的无人配送车正以v1＝14m/s的速度沿平直大道匀速行驶，正前方一辆电动助力车正以v2＝8m/s的速度同向匀速行驶。当两车相距d＝10m时，电动助力车突然以a2＝2m/s2的加速度做匀减速直线运动，为避免相撞，无人配送车立即以a1＝4m/s2的加速度刹车做匀减速直线运动（不考虑无人配送车的反应时间），重力加速度g＝10m/s2，求： （1）电动助力车刹车至停止的位移s2的大小； （2）无人配送车与电动助力车之间的最小距离l。 知识三 匀变速直线运动规律总结☆☆☆ 项目 内容 定义式 速度 平均速度 加速度 适合任意运动 速度v与时间t关系式 无x (基本公式1) 位移x与时间t关系式 无v (基本公式2) 速度v与位移x关系式 无t (重要推论1) (推导：联立上述基本公式1和公式2，两式消去t得出)。 平均速度等于该段运动的中间时刻的瞬时速度 (重要推论2) (推导：如图2.3-9可知：梯形OABC的面积； 代入各物理量得：；； )。 图2.3-9 位移 (求位移常用公式) (推导：联立上述①②基本方程两式消去a得出，也可由梯形面积公式推导出)。 任意连续相等时间内的位移之差为恒量 (重要推论3) 拓展：不连续的相等时间间隔内的位移之差，第n个T时间内的位移和第m个T时间内的位移之差：，如图2.3-10。 图2.3-10 某段位移中点的瞬时速度 (重要推论4) (推导：如图2.3-11，；；联立上述两公式得）。 图2.3-11 口诀 张老师辅助总结、强调、归纳 （v0、v、a、t、x）知三可求二；用时查缺量；三同两必同；注意正负向。 拓展 中间位置和中间时刻哪个速度大？ (推导：法一：数学计算， 法二：图像法，如图2.3-12 图2.3-12 答：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，总有，匀速直线运动时候)。综上中间位置速度大。 · 例题 考点：相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 3．（2025秋•广州校级期中）·【较易】小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图2中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置。连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d。根据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．不能判断位置1是否为小球释放的初始位置 B．小球位移与时间成正比 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 考点：匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 4．（2025秋•清远月考）·【较易】小明乘坐从清远开往广州的轻轨列车，发现列车启动时车窗正对着某电线杆（记第1根），小明立即启动手机计时器，经过40秒恰好观察到车窗经过第21根电线杆，此时车内电子屏显示即时速度为180km/h。若这段时间内列车做匀加速直线运动，且相邻两电线杆之间距离相等，下列说法正确的是（　　） A．这段时间内列车的平均速度大小为50m/s B．相邻电线杆之间的距离约为100m C．这段时间内列车的加速度大小为1m/s2 D．车窗经过第6根电线杆时，列车的速度大小为25 m/s 考点：中间位置处的速度计算 5．（2025秋•重庆期中）·【中档】某物体做匀加速直线运动，先后经过M、N两点的速度分别为v和3v，经历的时间为t，则下列说法中正确的是（　　） A．经过MN中点时的速度为2v B．在MN中间时刻的速度为v C．前和最后的位移之比为4：11 D．物体在后时间所通过的距离比前时间所通过的距离大 考点：中间时刻速度与中间位置速度的关系 6．（2025秋•越秀区校级月考）·【较易】一位花鼓戏演员在表演时，随着音乐的变化做匀减速直线运动，依次通过A、B、C、D四个标志物，测得的数据有：AB＝6.4m，CD＝1.6m，演员在AB、BC、CD段的运动时间依次为2s、1s、2s，则演员的加速度大小为（　　） A．0.2m/s2 B．0.4m/s2 C．0.6m/s2 D．0.8m/s2 知识四 初速度为零的匀变速直线运动规律☆☆☆ 项目 内容 思考 对于初速度为0的物体，运动规律又是怎样的呢？ 答：按照原公式，将初速度v0换成0。 规律 （1）速度v与时间t关系式：。 （2）位移x与时间t关系式：。 （3）速度v与位移x的关系式：。 （4）速度平均速度等于该段运动的中间时刻的瞬时速度：。 （5）位移：。 （6）任意连续相等时间内的位移之差为恒量：。 （7）某段位移中点的瞬时速度：。 · 例题 考点：计算停车的时间、速度或位移 7．（2025秋•深圳校级月考）·【易】某汽车在平直公路上以108km/h的速度匀速行驶，当前方出现道路故障时智驾系统启动AEB（自动紧急制动）自动刹车，设此过程做匀减速直线运动，加速度大小为10m/s2，则刹车后第4s内汽车的位移为（　　） A．120m B．40m C．45m D．0 考点：逆向思维法求解匀减速直线运动 8．（2025秋•越秀区校级期中）·【易】2025年世界女子冰壶锦标赛，中国队战胜韩国获得铜牌。假设比赛中冰壶被投掷出后最后3s可认为做匀减速直线运动，在停止前的最后1s内行驶的距离是1m，则（　　） A．最后3s冰壶的加速度大小为2m/s2 B．最后3s冰壶的位移大小为12m C．最后3s冰壶的初速度大小为9m/s D．最后3s冰壶的平均速度大小为5m/s 考点：提前停止类问题 9．（2026春•番禺区校级期中）·【易】汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车的初速度为12m/s B．汽车的加速度为﹣6m/s2 C．汽车3s内的位移为18m D．汽车第2s内的位移为6m 考点：避免碰撞类问题 （多选）10．（2025秋•汕头期末）·【中档】两辆汽车A、B在同一直线上同向行驶，A的速度为v1，B的速度为v2（v2＞v1），当B在A后方s0处时，B开始刹车，加速度大小为a，下列说法正确的是（　　） A．若2as0，则两车不会相撞 B．若2as0，则两车刚好相撞 C．若2as0，则两车会相撞 D．两车速度相等时，距离最小 知识五 初速度为零的匀变速直线运动比例关系☆☆☆ 项目 内容 思考 对于初速度为0的物体，运动规律又是怎样的呢？ 答：按照原公式，将初速度v0换成0。 等分时间（如图2.3-13） （1）从静止开始物体在t秒末、2t秒末、3t秒末…nt末内物体的速度之比 推导：。 （2）从静止开始物体在t秒内、2t秒内、3t秒内…nt内内物体的位移之比 推导：。 （3）从静止开始物体在连续相等的时间t秒内的位移之比 推导：。 等分位移（如图2.3-14） （1）从静止开始物体在第1x位移处、第2个x位移处、…第n个x位移处的瞬时速度之比 推导：。 （2）从静止开始通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比 推导：；。 （3）从静止开始通过连续相等位移x所用时间之比 推导：。 图示 图2.3-13 图2.3-14 · 例题 考点：连续相等时间内的运动比例规律 11．（2025秋•天河区校级期中）·【较易】如图所示，木块A、B、C紧挨着并排固定在水平地面上，子弹（可视为质点）以300m/s的速度从木块A左侧面射入，恰好能从木块C中射出。已知子弹在木块A、B、C中运动的时间相等，在木块中运动时加速度始终恒定。则下列说法正确的是（　　） A．木块A、B、C的长度之比为9：4：1 B．子弹刚射出木块A时的速度大小为150m/s C．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块B中运动的平均速度的2倍 D．若子弹射入木块A的初速度变为200m/s，则子弹将停留在木块A中 考点：连续相等位移内的运动比例规律 12．（2025秋•黄埔区校级期中）·【较易】如图所示，三块由同种材料制成的木块A、B、C固定在水平地面上，一颗水平飞行的子弹以速度v0击中木块A，并恰好能穿过全部木块，假设子弹穿过木块过程中为匀减速直线运动，下列说法中正确的是（　　） A．若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块的时间之比为 B．若穿过三块木块所用时间相等，则三块木块的长度之比为LA：LB：LC＝1：3：5 C．若三块木块的长度相等，则穿出第二块时的速度为 D．若穿过三块木块所用时间相等，则穿出第二块时的速度为 知识六 匀变速直线运动规律的应用☆☆☆ 项目 内容 物理解题核心 对象、状态、过程。 物理题的梯度 单对象、单过程→单对象、多过程→多对象、多过程。 工具 单对象、单过程——最基本的问题，如图2.3-15 图2.3-15 五个运动学量v0、vt、a、x、t ，知三求二 练习1 （单对象、多过程）汽车做匀加速直线运动，连续经过三根电线杆A、B、C，两杆间距60 m，A到B用时3 s，B到C用时2 s。求加速度大小。 解法一： 研究AB过程： ①； ② 研究BC过程： ③； ④ 研究AB过程：⑤ ①②③④解得⑤：，， 解法二： v0、vt未知设为v0即，为vt，即 练习2 （多对象、多过程）汽车正以10 m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，试求： (1)汽车速度减小到4 m/s所需的时间？ (2)关闭油门时汽车离自行车多远？ 经分析知：汽车恰好不碰上自行车的条件是它追上自行车时与自行车速度相等(两者相对静止) 解法一： (1) (2)对汽车： 对自行车： （发现自行车时汽车与自行车的距离） 解法二： （1） （2） 解法二中的v是相对速度，假定 汽车追上自行车是将这6m/s速度减为零 汽车相对自行车的位移： · 例题 考点：变速物体追匀速物体问题 13．（2026春•番禺区校级期中）·【中档】研究表明，一般司机的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间）t0＝0.4s，但新手司机反应时间会延长。在某次试验中，新手司机驾车以v0＝54km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L＝37m，减速过程中汽车位移s与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动。 （1）根据图乙求减速过程汽车加速度的大小及所用时间。 （2）新手司机的反应时间比一般司机增加了多少？ （3）若某次大雾天可见度只有10m，该新手司机以15m/s的速度行驶在平直马路上，当他发现正前方正以10m/s同向行驶的汽车后，反应后开始以上述加速度刹车，试问两车是否会相撞？ 考点：变速物体追变速物体问题 14．（2026•江门模拟）·【中档】2025年8月，世界人形机器人运动会在北京举办。在百米机器人“飞人大战”中，机器人站在同一起跑线上，发令枪响（记为0时刻）后，A、B两机器人沿直线运动，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两机器人同时出发 B．0～2s内，A机器人的加速度大小为2m/s2 C．t＝5s时，B机器人刚好追上A机器人 D．2s～5s内，两机器人之间的距离一直在减小 考点：匀速物体追变速物体问题 （多选）15．（2025秋•广州月考）·【中档】A、B两辆汽车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度v1＝8m/s，B车的速度v2＝20m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝20m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度a大小为2m/s2，从此时开始计时，则下列说法正确的是（　　） A．A车追上B车所用时间为15s B．A车追上B车时，B车的速度大小为8m/s C．A车追上B车之前，B车的速度减为0时，两者相距最远 D．A车追上B车之前，两者相距的最远距离为56m 考点：相遇次数问题 16．（2026春•沙坪坝区校级期中）·【中档】一辆电动车和一辆货车分别在两条水平平行的车道上同时从静止启动，电动车在货车后方d＝12m处。电动车起步快，做加速度a1＝2m/s2的匀加速直线运动，但最大速度为v1＝8m/s；货车起步较慢，做加速度a2＝1m/s2的匀加速直线运动，但最大速度可达v2＝10m/s；两车各自达到最大速度后均保持匀速直线行驶。忽略车身长度，两车并排时视为相遇。 （1）求两车从启动到第一次相遇经历的时间。 （2）若货车在达到最大速度时立即开始以大小为a3的加速度匀减速直线行驶，电动车仍按原规律运动，两车全程恰好相遇两次，求a3的大小。 考点：追及相遇的图像类问题 17．（2026•广州模拟）·【中档】如图所示，两根光滑轨道平行放置在同一水平面上，其上分别套有A、B两个完全相同的小球，小球间用一根弹性绳相连（弹力遵循胡克定律）。初始两球均静止，弹性绳处于原长，现给A球一个向右的初速度v0，则从开始运动到两球再次相距最近的过程中，两球的v﹣t图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 考点：非匀变速直线运动的问题 （多选）18．（2025秋•沙坪坝区校级期中）·【较易】某一质点沿直线运动，运动速度与到出发点的距离成反比，当运动到离出发点为x的A处时质点速度为v1，后来运动到离出发点为x2的B处。设质点到达B处时速度v2，从A处到B处所用时间为t，则下列关系正确的是（　　） A．v2v1 B．v2v1 C．t D．t 考点：匀变速直线运动规律的综合应用 19．（2025秋•龙岗区期末）·【中档】如图所示，某校足球场长120m，宽80m。在某次足球训练中，运动员甲从边线的中点A朝着与中线成37°角的AB方向以v0＝12m/s的初速度踢出足球，随后足球以的加速度做匀减速直线运动；此时对方运动员乙从球场中点C沿CD方向（与AB垂直）静止开始加速进行拦截，其加速度大小，他加速到最大速度v2后匀速运动并在D点恰好拦截到足球，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，运动员和足球均可视为质点。求： （1）若没有拦截，足球从踢出到停下的时间t以及与停下后与A的距离s； （2）运动员乙的最大速度v2。 小结 · 2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 · 一、匀变速直线运动的位移随时间变化的规律 · · 微积分的思想 · 二、速度与位移关系及其应用 · · 三、匀变速直线运动规律总结 · 四、初速度为零的匀变速直线运动规律 · 五、初速度为零的匀变速直线运动比例关系 · 六、匀变速直线运动规律的应用 · 解题核心：对象、状态、过程。 · 近三年高考真题 考点：匀变速直线运动位移与时间的关系（共2小题） 1．（2024•山东）·【中档】如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2：Δt1为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•江西）·【较易】一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x＝1+2t+3t2（x的单位是m，t的单位是s）。关于速度及该质点在第1s内的位移，下列选项正确的是（　　） A．速度是对物体位置变化快慢的描述；6m B．速度是对物体位移变化快慢的描述；6m C．速度是对物体位置变化快慢的描述；5m D．速度是对物体位移变化快慢的描述；5m 考点：匀变速直线运动速度与位移的关系（共3小题） 3．（2026•贵州）·【易】某同学乘坐列车时，在自己的座位上利用车厢内信息屏和手机秒表估算隧道长度。该同学进隧道时速度为60m/s，出隧道时速度为50m/s，总用时200s。若列车在隧道中做匀减速直线运动，则该隧道长为（　　） A．5000m B．8000m C．11000m D．14000m 4．（2026•台湾）·【较易】一汽车以108km/h（30m/s）等速行驶在速限为90km/h（25m/s）的水平笔直高速公路，车上驾驶发现前方50m处的路旁有一测速照相器，立即刹车以等加速度﹣a行进。若此车在通过该测速照相器所在处瞬间，车速恰降为90km/h，则a约为多少？（　　） A．1.0m/s2 B．2.8m/s2 C．4.0m/s2 D．5.6m/s2 E．8.0m/s2 5．（2025•西藏）·【易】我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450km/h。若以120m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4km后停止，则减速运动中其加速度的大小为（　　） A．0.1m/s2 B．0.5m/s2 C．1.0m/s2 D．1.5m/s2 考点：相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 6．（2024•广西）·【中档】如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9m，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1＝0.4s，从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2＝0.5s，求该同学 （1）滑行的加速度大小； （2）最远能经过几号锥筒。 考点：匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论）（共2小题） 7．（2025•广西）·【易】某乘客乘坐的动车进站时，动车速度从36km/h减小为0，此过程可视为匀减速直线运动，期间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次，则此过程动车行驶距离约为（　　） A．216m B．350m C．600m D．700m 8．（2024•海南）·【较易】商场自动感应门如图所示，人走近时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为（　　） A．1.25m/s2 B．1m/s2 C．0.5m/s2 D．0.25m/s2 考点：连续相等时间内的运动比例规律 9．（2024•甲卷）·【较易】为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2m/s2，在t1＝10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340m/s，求： （1）救护车匀速运动时的速度大小； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 考点：计算停车的时间、速度或位移 10．（2024•北京）·【易】一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（　　） A．5m B．10m C．20m D．30m 考点：变速物体追匀速物体问题 （多选）11．（2026•河南）·【中档】智能飞行器飞行表演中，两飞行器M、N位于同一高度，沿同一直线同向匀速飞行。依据表演要求，M保持飞行速度不变，N先匀加速后匀减速调整与M的间距，20s以内完成调整。从开始调整时计时，N传回的数据如表所示，则调整过程中（　　） 时间（s） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 间距（m） 281 294 297 290 273 248 227 212 203 200 200 A．10s末N的速度达到最大值 B．7s末N与M的间距为281.5m C．N加速阶段的加速度大小为2.5m/s2 D．N与M的相对速度的最大值为13.5m/s 考点：匀变速直线运动规律的综合应用（共5小题） 12．（2026•广东）·【较易】足球比赛中，某队员为接应传球，由静止开始沿直线跑动，先匀加速冲刺，后匀减速至接球点停止。全程用时5s，位移大小为20m，则该队员在某时刻的速度和加速度的大小可能是（　　） A．6m/s，2m/s2 B．6m/s，1m/s2 C．9m/s，2m/s2 D．9m/s，1m/s2 13．（2025•安徽）·【较易】汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站，先做加速度大小为a的匀加速运动，位移大小为x；接着在t时间内做匀速运动；最后做加速度大小也为a的匀减速运动，到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x，则（　　） A． B． C． D． 14．（2025•浙江）·【较易】有一离地面高度20m、质量为2×10﹣13kg稳定竖直降落的沙尘颗粒，在其降落过程中受到的阻力与速率v成正比，比例系数1×10﹣9kg/s，则它降落到地面的时间约为（　　） A．0.5h B．3h C．28h D．166h 15．（2024•贵州）·【易】某研究人员将一铁质小圆盘放入聚苯乙烯颗粒介质中，在下落的某段时间内，小圆盘仅受重力G和颗粒介质对其向上的作用力f。用高速相机记录小圆盘在不同时刻的位置，相邻位置的时间间隔相等，如图所示，则该段时间内下列说法可能正确的是（　　） A．f一直大于G B．f一直小于G C．f先小于G，后大于G D．f先大于G，后小于G 16．（2026•四川）·【较易】某款国产民用无人机已实现全自动作业。如图所示，无人机完成某次任务后开始返航，此时所在位置与降落点的水平距离为120m，竖直距离为90m。无人机先以10m/s的速度沿水平直线飞行至与降落点水平距离50m处，然后沿原运动方向做匀减速直线运动至降落点正上方，随后用时33s竖直下降至降落点，返航结束。求： （1）无人机沿水平方向做匀减速直线运动的加速度大小； （2）无人机从开始返航到返航结束的位移大小和平均速度大小。 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 · 导入 由做匀速直线运动的v-t图像可以看出，在时间t内的位移x对应图中着色部分的矩形面积。那么，做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移与时间会有怎样的关系？ 图2.3-1 图2.3-2 · 知识点对点 知识一 匀变速直线运动的位移☆☆☆ 项目 内容 情景举例 利用v-t图像探究匀变速直线运动位移随时间变化的规律，如图2.3-3。 图示 图2.3-3 微积分的方法 面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理任意形状的v-t图像都适用。对于如图所示的运动物体的位移，可用其v-t图像着色部分图形的面积来表示。 在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干个小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。 推导 匀变速直线运动的位移对应着v-t图像中图线与两轴所围的面积，如图2.3-4 图2.3-4 由图可知：梯形OABC的面积 位移与时间关系 （1）公式： （2）矢量：vo为初速度，一般以vo的方向为正方向。 （3）匀加速直线运动：a取正值，如图2.3-5 （4）匀减速直线运动：a取负值，如图2.3-6 （5）特殊匀加速直线运动：a取正值，v0=0，如图2.3-7 图2.3-5 图2.3-6 图2.3-7 注意 区分图像拐点和与时间轴交点，如图2.3-8 图2.3-8 · 例题 考点：匀变速直线运动位移与时间的关系 1．（2026春•茂名期末）·【易】某新能源汽车进行直线加速测试，t＝0时从静止开始加速，电机提供恒定牵引力，阻力恒定，t1时撤去牵引力，汽车仅受阻力作用，到t2时停下。在下列位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：AD、小车沿直线运动，先匀加速后匀减速，速度一直沿正方向，从0～t2位移一直增加，不存在位移减小的情况，故AD错误； BC、x﹣t图像上斜率代表速度，由于汽车先匀加速后匀减速，则x﹣t图线的斜率先增大后减小，t1时刻速度最大，t2时刻速度为零，故B错误，C正确。 故选：C。 知识二 速度与位移的关系☆☆☆ 项目 内容 导入 速度与位移又有什么联系呢？ 答：结合位移时间关系式，速度时间关系式，， ，两式子联立，消去t即可。 公式 如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间，利用这个公式求解，往往会更简便。 · 例题 考点：匀变速直线运动速度与位移的关系 2．（2026春•光明区校级期末）·【中档】近年来无人配送车搭载传感器、控制器，融合通信与网络技术，广泛用于快递、商超配送，实现了运输中转全流程智能化。如图所示，一辆满载的无人配送车正以v1＝14m/s的速度沿平直大道匀速行驶，正前方一辆电动助力车正以v2＝8m/s的速度同向匀速行驶。当两车相距d＝10m时，电动助力车突然以a2＝2m/s2的加速度做匀减速直线运动，为避免相撞，无人配送车立即以a1＝4m/s2的加速度刹车做匀减速直线运动（不考虑无人配送车的反应时间），重力加速度g＝10m/s2，求： （1）电动助力车刹车至停止的位移s2的大小； （2）无人配送车与电动助力车之间的最小距离l。 【答案】（1）电动助力车刹车至停止的位移s2的大小为16m； （2）无人配送车与电动助力车之间的最小距离l为1m。 【解答】解：（1）电动助力车刹车后，由匀变速直线运动的速度—位移公式： 代入数据解得s2＝16m 即电动助力车刹车完成后的位移大小为16m。 （2）设从刹车开始经过时间t无人配送车与电动助力车速度相等，此时两车之间的距离最小，则v1﹣a1t＝v2﹣a2t 解得t＝3s 在时间t内，无人配送车的位移x1，电动助力车的位移x2，则， 代入数据解得x1＝24m，x2＝15m 由几何关系l＝d+x2﹣x1 解得l＝1m 即无人配送车与电动助力车之间的最小距离l＝1m 答：（1）电动助力车刹车至停止的位移s2的大小为16m； （2）无人配送车与电动助力车之间的最小距离l为1m。 知识三 匀变速直线运动规律总结☆☆☆ 项目 内容 定义式 速度 平均速度 加速度 适合任意运动 速度v与时间t关系式 无x (基本公式1) 位移x与时间t关系式 无v (基本公式2) 速度v与位移x关系式 无t (重要推论1) (推导：联立上述基本公式1和公式2，两式消去t得出)。 平均速度等于该段运动的中间时刻的瞬时速度 (重要推论2) (推导：如图2.3-9可知：梯形OABC的面积； 代入各物理量得：；； )。 图2.3-9 位移 (求位移常用公式) (推导：联立上述①②基本方程两式消去a得出，也可由梯形面积公式推导出)。 任意连续相等时间内的位移之差为恒量 (重要推论3) 拓展：不连续的相等时间间隔内的位移之差，第n个T时间内的位移和第m个T时间内的位移之差：，如图2.3-10。 图2.3-10 某段位移中点的瞬时速度 (重要推论4) (推导：如图2.3-11，；；联立上述两公式得）。 图2.3-11 口诀 张老师辅助总结、强调、归纳 （v0、v、a、t、x）知三可求二；用时查缺量；三同两必同；注意正负向。 拓展 中间位置和中间时刻哪个速度大？ (推导：法一：数学计算， 法二：图像法，如图2.3-12 图2.3-12 答：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，总有，匀速直线运动时候)。综上中间位置速度大。 · 例题 考点：相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 3．（2025秋•广州校级期中）·【较易】小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图2中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置。连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d。根据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．不能判断位置1是否为小球释放的初始位置 B．小球位移与时间成正比 C．小球下落的加速度为 D．小球在位置3的速度为 【答案】D 【解答】解：B、由题图可知，两相邻的时间T内小球运动的位移之差均为d，所以小球做匀加速直线运动，不是匀速直线运动，位移与时间的平方成正比，故B错误； C、根据题意分析可知，设小球下落的加速度大小为a，则 d＝aT2 解得 故C错误； D、根据题意分析可知，小球在位置3的速度等于在2、4两位置间的平均速度，即 故D正确； A、根据题意分析可知，小球在位置1的速度为 所以位置1不是小球释放的初始位置，故A错误。 故选：D。 考点：匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 4．（2025秋•清远月考）·【较易】小明乘坐从清远开往广州的轻轨列车，发现列车启动时车窗正对着某电线杆（记第1根），小明立即启动手机计时器，经过40秒恰好观察到车窗经过第21根电线杆，此时车内电子屏显示即时速度为180km/h。若这段时间内列车做匀加速直线运动，且相邻两电线杆之间距离相等，下列说法正确的是（　　） A．这段时间内列车的平均速度大小为50m/s B．相邻电线杆之间的距离约为100m C．这段时间内列车的加速度大小为1m/s2 D．车窗经过第6根电线杆时，列车的速度大小为25 m/s 【答案】D 【解答】解：A．速度v＝180km/h＝50m/s 这段时间内列车的平均速度，故A错误； B．设相邻电线杆之间的距离x，则 可得x＝50m，故B错误； C．由速度—时间公式v＝at 得加速度大小为，故C错误； D．车窗经过第6根电线杆时速度为v6，位移为5x，则速度—位移公式： 可得v6＝25m/s，故D正确。 故选：D。 考点：中间位置处的速度计算 5．（2025秋•重庆期中）·【中档】某物体做匀加速直线运动，先后经过M、N两点的速度分别为v和3v，经历的时间为t，则下列说法中正确的是（　　） A．经过MN中点时的速度为2v B．在MN中间时刻的速度为v C．前和最后的位移之比为4：11 D．物体在后时间所通过的距离比前时间所通过的距离大 【答案】D 【解答】解：AB.在匀变速直线运动中位移中点的速度为，时间中点的速度为，故AB错误； C.物体加速度为，前位移为，逆过程是匀减速运动，可得最后的位移为，所以前和最后的位移之比为4：17，故C错误； D.物体在时间t内的中间时刻的速度为2v，则物体在后时间所通过的距离比前时间所通过的距离大，故D正确。 故选：D。 考点：中间时刻速度与中间位置速度的关系 6．（2025秋•越秀区校级月考）·【较易】一位花鼓戏演员在表演时，随着音乐的变化做匀减速直线运动，依次通过A、B、C、D四个标志物，测得的数据有：AB＝6.4m，CD＝1.6m，演员在AB、BC、CD段的运动时间依次为2s、1s、2s，则演员的加速度大小为（　　） A．0.2m/s2 B．0.4m/s2 C．0.6m/s2 D．0.8m/s2 【答案】D 【解答】解：一位花鼓戏演员在表演时，随着音乐的变化做匀减速直线运动， 根据平均速度等于中间时刻速度得演员经过AB段中间时刻的速度v1m/s＝3.2m/s，演员经过CD段中间时刻的速度为v2m/s＝0.8m/s， 则演员加速度大小为am/s2＝0.8m/s2，故ABC错误，D正确。 故选：D。 知识四 初速度为零的匀变速直线运动规律☆☆☆ 项目 内容 思考 对于初速度为0的物体，运动规律又是怎样的呢？ 答：按照原公式，将初速度v0换成0。 规律 （1）速度v与时间t关系式：。 （2）位移x与时间t关系式：。 （3）速度v与位移x的关系式：。 （4）速度平均速度等于该段运动的中间时刻的瞬时速度：。 （5）位移：。 （6）任意连续相等时间内的位移之差为恒量：。 （7）某段位移中点的瞬时速度：。 · 例题 考点：计算停车的时间、速度或位移 7．（2025秋•深圳校级月考）·【易】某汽车在平直公路上以108km/h的速度匀速行驶，当前方出现道路故障时智驾系统启动AEB（自动紧急制动）自动刹车，设此过程做匀减速直线运动，加速度大小为10m/s2，则刹车后第4s内汽车的位移为（　　） A．120m B．40m C．45m D．0 【答案】D 【解答】解：汽车的初速度为v0＝108km/h＝30m/s，匀减速直线运动的加速度为a＝﹣10m/s2， 根据速度—时间公式v＝v0+at可得，汽车速度减为0的时间为， 即汽车在3s时完全停止，刹车后第4s内汽车的位移为0，故ABC错误，D正确。 故选：D。 考点：逆向思维法求解匀减速直线运动 8．（2025秋•越秀区校级期中）·【易】2025年世界女子冰壶锦标赛，中国队战胜韩国获得铜牌。假设比赛中冰壶被投掷出后最后3s可认为做匀减速直线运动，在停止前的最后1s内行驶的距离是1m，则（　　） A．最后3s冰壶的加速度大小为2m/s2 B．最后3s冰壶的位移大小为12m C．最后3s冰壶的初速度大小为9m/s D．最后3s冰壶的平均速度大小为5m/s 【答案】A 【解答】解：把冰壶的运动看作是反向的初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度大小为a，根据x可得冰壶最后3s的加速度大小为a，则最后3s冰壶的初速度大小为v＝at3＝2×3m/s＝6m/s，最后3s冰壶的位移大小为，最后3s冰壶的平均速度大小为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 考点：提前停止类问题 9．（2026春•番禺区校级期中）·【易】汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车的初速度为12m/s B．汽车的加速度为﹣6m/s2 C．汽车3s内的位移为18m D．汽车第2s内的位移为6m 【答案】D 【解答】解：AB、根据位移与时间的关系x＝24t﹣6t2，对比x＝v0t，可得汽车的初速度为v0＝24m/s，加速度为a＝﹣12m/s2，故AB错误； C、汽车刹车时间为t02s，即汽车2s末停止运动，则3s内的位移等于2s内的位移，即24m，故C错误； D、第2s内的位移为6m，故D正确。 故选：D。 考点：避免碰撞类问题 （多选）10．（2025秋•汕头期末）·【中档】两辆汽车A、B在同一直线上同向行驶，A的速度为v1，B的速度为v2（v2＞v1），当B在A后方s0处时，B开始刹车，加速度大小为a，下列说法正确的是（　　） A．若2as0，则两车不会相撞 B．若2as0，则两车刚好相撞 C．若2as0，则两车会相撞 D．两车速度相等时，距离最小 【答案】AD 【解答】解：对B车，共速时，B车位移 A．若，则sB＜s0，两车不会相撞，故A正确； B．若，则sB＝s0，因为A车仍在运动，所以此时两车刚好不相撞，故B错误； C．若，则sB＞s0，因为A车仍在运动，可能此时B仍未追上A车，所以此时两车可能不会相撞，故C错误； D．后面车的速度大，且在减速，所以当两车速度相等时，距离最小，故D正确。 故选：AD。 知识五 初速度为零的匀变速直线运动比例关系☆☆☆ 项目 内容 思考 对于初速度为0的物体，运动规律又是怎样的呢？ 答：按照原公式，将初速度v0换成0。 等分时间（如图2.3-13） （1）从静止开始物体在t秒末、2t秒末、3t秒末…nt末内物体的速度之比 推导：。 （2）从静止开始物体在t秒内、2t秒内、3t秒内…nt内内物体的位移之比 推导：。 （3）从静止开始物体在连续相等的时间t秒内的位移之比 推导：。 等分位移（如图2.3-14） （1）从静止开始物体在第1x位移处、第2个x位移处、…第n个x位移处的瞬时速度之比 推导：。 （2）从静止开始通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比 推导：；。 （3）从静止开始通过连续相等位移x所用时间之比 推导：。 图示 图2.3-13 图2.3-14 · 例题 考点：连续相等时间内的运动比例规律 11．（2025秋•天河区校级期中）·【较易】如图所示，木块A、B、C紧挨着并排固定在水平地面上，子弹（可视为质点）以300m/s的速度从木块A左侧面射入，恰好能从木块C中射出。已知子弹在木块A、B、C中运动的时间相等，在木块中运动时加速度始终恒定。则下列说法正确的是（　　） A．木块A、B、C的长度之比为9：4：1 B．子弹刚射出木块A时的速度大小为150m/s C．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块B中运动的平均速度的2倍 D．若子弹射入木块A的初速度变为200m/s，则子弹将停留在木块A中 【答案】D 【解答】解：A．利用逆向思维，结合初速度为零、相邻相等时间间隔内的位移之比等于连续的奇数比，可知木块A、B、C的长度之比为5：3：1，故A错误； B．令子弹经过三个木块的时间均为t，子弹（可视为质点）以300m/s的速度从木块A左侧面射入且刚好在木块C右侧面停止运动，有v0＝a•3t 子弹刚射出木块A时，有vA＝a•2t 解得vA＝200m/s 故B错误； C．令木块C的长度为d，则子弹在木块A中运动的平均速度 子弹在木块B中运动的平均速度 解得 故C错误； D．若子弹射入木块A的初速度变为v3＝200m/s，当子弹停止运动时，有 子弹（可视为质点）以300m/s的速度从木块A左侧面射入且刚好在木块C右侧面停止运动，利用逆向思维则有 解得x＝4d＜5d 可知，子弹将停留在木块A中，故D正确。 故选：D。 考点：连续相等位移内的运动比例规律 12．（2025秋•黄埔区校级期中）·【较易】如图所示，三块由同种材料制成的木块A、B、C固定在水平地面上，一颗水平飞行的子弹以速度v0击中木块A，并恰好能穿过全部木块，假设子弹穿过木块过程中为匀减速直线运动，下列说法中正确的是（　　） A．若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块的时间之比为 B．若穿过三块木块所用时间相等，则三块木块的长度之比为LA：LB：LC＝1：3：5 C．若三块木块的长度相等，则穿出第二块时的速度为 D．若穿过三块木块所用时间相等，则穿出第二块时的速度为 【答案】C 【解答】解：A.子弹做匀减速直线运动，且恰好穿过全部木块，说明穿出木块C时速度为零，可将子弹的运动过程反向视为初速度为零的匀加速直线运动，若三块木块的长度相等，根据等分位移的时间之比的规律可知，子弹穿过三块木块的时间之比为，故A错误； B.若穿过三块木块所用时间相等，根据等分时间的位移之比可知LA：LB：LC＝5：3：1，故B 错误； C.根据等分位移的速度之比可知，子弹依次进入三个木块时的速度之比，其中进入木块A时的速度vA＝v0，则穿出第二块木块时的速度即进入第三块木块时的速度，故C正确； D.若穿过三块木块所用时间相等，根据等分时间的速度之比，子弹依次进入三块木块时的速度之比为v1：v2：v3＝3：2：1，其中进入木块A时的速度v1＝v0，则穿出第二块的速度即进入第三快木块的速度v3，故D错误。 故选：C。 知识六 匀变速直线运动规律的应用☆☆☆ 项目 内容 物理解题核心 对象、状态、过程。 物理题的梯度 单对象、单过程→单对象、多过程→多对象、多过程。 工具 单对象、单过程——最基本的问题，如图2.3-15 图2.3-15 五个运动学量v0、vt、a、x、t ，知三求二 练习1 （单对象、多过程）汽车做匀加速直线运动，连续经过三根电线杆A、B、C，两杆间距60 m，A到B用时3 s，B到C用时2 s。求加速度大小。 解法一： 研究AB过程： ①； ② 研究BC过程： ③； ④ 研究AB过程：⑤ ①②③④解得⑤：，， 解法二： v0、vt未知设为v0即，为vt，即 练习2 （多对象、多过程）汽车正以10 m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，试求： (1)汽车速度减小到4 m/s所需的时间？ (2)关闭油门时汽车离自行车多远？ 经分析知：汽车恰好不碰上自行车的条件是它追上自行车时与自行车速度相等(两者相对静止) 解法一： (1) (2)对汽车： 对自行车： （发现自行车时汽车与自行车的距离） 解法二： （1） （2） 解法二中的v是相对速度，假定 汽车追上自行车是将这6m/s速度减为零 汽车相对自行车的位移： · 例题 考点：变速物体追匀速物体问题 13．（2026春•番禺区校级期中）·【中档】研究表明，一般司机的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间）t0＝0.4s，但新手司机反应时间会延长。在某次试验中，新手司机驾车以v0＝54km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L＝37m，减速过程中汽车位移s与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动。 （1）根据图乙求减速过程汽车加速度的大小及所用时间。 （2）新手司机的反应时间比一般司机增加了多少？ （3）若某次大雾天可见度只有10m，该新手司机以15m/s的速度行驶在平直马路上，当他发现正前方正以10m/s同向行驶的汽车后，反应后开始以上述加速度刹车，试问两车是否会相撞？ 【答案】（1）减速过程汽车加速度的大小为4.5m/s2，所用时间为s。 （2）新手司机的反应时间比一般司机增加了0.4s。 （3）两车不会相撞。 【解答】解：（1）设减速过程中汽车加速度的大小为a，所用时间为t，由题可得初速度v0＝15m/s，末速度vt＝0，位移s＝25m，由运动学公式得，，联立代入数据得a＝4.5m/s2，解得：s。 （2）设志愿者反应时间为t'，反应时间的增加量为Δt，由运动学公式得L＝v0t'+s，Δt＝t'﹣t0，联立代入数据得t'＝0.8s，解得：Δt＝0.4s。 （3）反应时间内后车比前车多走的距离x1＝（v0﹣v1）t'，代入数据得x1＝4m。 设共速时间为t1，则，解得：s。 在t1时间内，后车的位移，解得：m。 在t1时间内，前车的位移x3＝v1t1，解得：m。 则从发现到共速后车比前车多走的距离m＜10m，故两车不会相撞。 答：（1）减速过程汽车加速度的大小为4.5m/s2，所用时间为s。 （2）新手司机的反应时间比一般司机增加了0.4s。 （3）两车不会相撞。 考点：变速物体追变速物体问题 14．（2026•江门模拟）·【中档】2025年8月，世界人形机器人运动会在北京举办。在百米机器人“飞人大战”中，机器人站在同一起跑线上，发令枪响（记为0时刻）后，A、B两机器人沿直线运动，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．两机器人同时出发 B．0～2s内，A机器人的加速度大小为2m/s2 C．t＝5s时，B机器人刚好追上A机器人 D．2s～5s内，两机器人之间的距离一直在减小 【答案】C 【解答】解：A、由v﹣t图像可知，A机器人自t＝0时刻起开始运动，B机器人则从t＝2s时刻才开始运动，因此两者并不同时出发，故A错误； B、在0～2s内，依据加速度的定义式，代入数据可求得A机器人的加速度大小为，解得：，故B错误； C、根据v﹣t图像与时间轴围成的面积代表位移，在t＝5s时，A机器人的位移，解得：xA＝8m；B机器人的位移，解得：xB＝8m。由于两者出发点一致且位移相等，表明此时B恰好追上了A，故C正确； D、在2s～5s内，t＝3s之前有vA＞vB，两机器人间的距离持续增大；t＝3s之后则有vA＜vB，两者间的距离逐渐减小，故D错误。 故选：C。 考点：匀速物体追变速物体问题 （多选）15．（2025秋•广州月考）·【中档】A、B两辆汽车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度v1＝8m/s，B车的速度v2＝20m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝20m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度a大小为2m/s2，从此时开始计时，则下列说法正确的是（　　） A．A车追上B车所用时间为15s B．A车追上B车时，B车的速度大小为8m/s C．A车追上B车之前，B车的速度减为0时，两者相距最远 D．A车追上B车之前，两者相距的最远距离为56m 【答案】AD 【解答】解：AB、设经过时间t1，B车停下来，则有0m/s＝v2﹣at1，解得：t1＝10s。 此过程中A车和B车的位移分别为x1＝v1t1，解得：x1＝80m；，解得：x2＝100m。 此时x2+x0＞x1。 说明A车尚未追上B车，设再经过时间t2才追上，则有x2+x0﹣x1＝v1t2，解得：t2＝5s。 所以A车追上B车所用时间为t＝t1+t2，解得：t＝15s，故A正确，B错误； CD、当两车速度相等时，两车间距离最大，设经过时间t3两车速度相等，则有v1＝v2﹣at3，解得：t3＝6s。 在t3时间内A车位移为x'1＝v1t3，解得：x'1＝48m。 B车位移为，解得：x'2＝84m。 则两者相距的最远距离为Δx＝x'2+x0﹣x'1，解得：Δx＝56m，故C错误，D正确。 故选：AD。 考点：相遇次数问题 16．（2026春•沙坪坝区校级期中）·【中档】一辆电动车和一辆货车分别在两条水平平行的车道上同时从静止启动，电动车在货车后方d＝12m处。电动车起步快，做加速度a1＝2m/s2的匀加速直线运动，但最大速度为v1＝8m/s；货车起步较慢，做加速度a2＝1m/s2的匀加速直线运动，但最大速度可达v2＝10m/s；两车各自达到最大速度后均保持匀速直线行驶。忽略车身长度，两车并排时视为相遇。 （1）求两车从启动到第一次相遇经历的时间。 （2）若货车在达到最大速度时立即开始以大小为a3的加速度匀减速直线行驶，电动车仍按原规律运动，两车全程恰好相遇两次，求a3的大小。 【答案】（1）两车从启动到第一次相遇经历的时间为s（约5.17s）。 （2）货车减速的加速度大小为1m/s2。 【解答】解：（1）设电动车加速至最大速度的时间为t1，根据v1＝a1t1，解得：t1＝4s。 此阶段电动车的位移为，货车的位移为，代入数据解得：xE1＝16m，xT1＝20m。 由于xT1＞xE1，表明第一次相遇发生在电动车匀速运动阶段。 设相遇时间为t，此时货车仍在加速，根据两车位移关系有，解得：。 （2）设货车加速至最大速度的时间为t2，根据v2＝a2t2，解得：t2＝10s。 此时两车的位移分别为与，计算得xE2＝64m，xT2＝62m。 由于xE2＞xT2，且v2＞v1，因此货车在减速后将继续追赶。 设货车开始减速后经历时间τ两车相遇，根据位移关系有，整理可得关于τ的一元二次方程。 由题意知全程恰好相遇两次，故该阶段仅相遇一次，即方程判别式Δ＝0，由此解得：。 答：（1）两车从启动到第一次相遇经历的时间为s（约5.17s）。 （2）货车减速的加速度大小为1m/s2。 考点：追及相遇的图像类问题 17．（2026•广州模拟）·【中档】如图所示，两根光滑轨道平行放置在同一水平面上，其上分别套有A、B两个完全相同的小球，小球间用一根弹性绳相连（弹力遵循胡克定律）。初始两球均静止，弹性绳处于原长，现给A球一个向右的初速度v0，则从开始运动到两球再次相距最近的过程中，两球的v﹣t图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A获得初速度后，弹簧被拉伸，A向右做减速运动，而B向右做加速运动。 设A、B两球的质量均为m，以向右为正方向，A、B两球组成的系统在水平方向动量守恒，有mv0＝2mv共1，解得：。 从开始运动到第一次共速，弹簧被拉长，弹力增大，且其水平分力也在增大，因此二者做加速度增大的运动。 达到v共1后，A继续向右做减速运动，B向右做加速运动，弹簧开始恢复原长。 当A、B两球再次相距最近时，B位于A的正下方。 根据动量守恒与机械能守恒，有mv0＝mvA+mvB，，解得：vA＝0，vB＝v0。 从第一次共速到两球再次相距最近，弹簧拉伸量减小，弹力减小，且其水平分力也在减小，故二者做加速度减小的运动。 v﹣t图像斜率的绝对值表示加速度大小，综合以上分析可知，C正确，ABD错误。 故选：C。 考点：非匀变速直线运动的问题 （多选）18．（2025秋•沙坪坝区校级期中）·【较易】某一质点沿直线运动，运动速度与到出发点的距离成反比，当运动到离出发点为x的A处时质点速度为v1，后来运动到离出发点为x2的B处。设质点到达B处时速度v2，从A处到B处所用时间为t，则下列关系正确的是（　　） A．v2v1 B．v2v1 C．t D．t 【答案】BC 【解答】解：AB、质点运动的速度与到出发点的距离成反比，设比例常数为k，则有：，，联立解得：，故A错误，B正确； CD、作出图像如图所示： 第一小段的时间为：，则可知，v﹣x的乘积其数值等于图像最左边第一个矩形面积，依此类推，n→∞时，运动总时间等于图中梯形面积，则有：，解得：t，故C正确，D错误。 故选：BC。 考点：匀变速直线运动规律的综合应用 19．（2025秋•龙岗区期末）·【中档】如图所示，某校足球场长120m，宽80m。在某次足球训练中，运动员甲从边线的中点A朝着与中线成37°角的AB方向以v0＝12m/s的初速度踢出足球，随后足球以的加速度做匀减速直线运动；此时对方运动员乙从球场中点C沿CD方向（与AB垂直）静止开始加速进行拦截，其加速度大小，他加速到最大速度v2后匀速运动并在D点恰好拦截到足球，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，运动员和足球均可视为质点。求： （1）若没有拦截，足球从踢出到停下的时间t以及与停下后与A的距离s； （2）运动员乙的最大速度v2。 【答案】（1）若没有拦截，足球从踢出到停下的时间是6s，停下后与A的距离是36m； （2）运动员乙的最大速度是8m/s。 【解答】解：（1）若没有拦截，足球从踢出到停下的时间ts＝6s 停下后与A的距离sm＝36m （2）设足球由A点运动到D点所用时间为t1， 则有40m×cos37°＝v0t1， 解得t1＝4s（t1＝8s不符合题意，舍去）， 运动员乙在D点恰好拦截到足球，有40m×sin37°v2（t1）， 解得v2＝8m/s（v2＝24m/s不符合题意，舍去） 答：（1）若没有拦截，足球从踢出到停下的时间是6s，停下后与A的距离是36m； （2）运动员乙的最大速度是8m/s。 小结 · 2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 · 一、匀变速直线运动的位移随时间变化的规律 · · 微积分的思想 · 二、速度与位移关系及其应用 · · 三、匀变速直线运动规律总结 · 四、初速度为零的匀变速直线运动规律 · 五、初速度为零的匀变速直线运动比例关系 · 六、匀变速直线运动规律的应用 · 解题核心：对象、状态、过程。 · 近三年高考真题 考点：匀变速直线运动位移与时间的关系（共2小题） 1．（2024•山东）·【中档】如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2：Δt1为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设斜面的倾角为θ，加速度为a 根据牛顿第二定律mgsinθ＝ma 解得a＝gsinθ 因此木块在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动 木板前端到达A点的时间为t0，当木板长度为L时，木板后端通过A点的时间为t1； 根据运动学公式， 解得 木板通过A点的时间 当木板长度为2L，木板后端通过A点的时间为t2，根据运动学公式 联立解得 木板通过A点的时间 因此解得 综上分析，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．（2024•江西）·【较易】一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x＝1+2t+3t2（x的单位是m，t的单位是s）。关于速度及该质点在第1s内的位移，下列选项正确的是（　　） A．速度是对物体位置变化快慢的描述；6m B．速度是对物体位移变化快慢的描述；6m C．速度是对物体位置变化快慢的描述；5m D．速度是对物体位移变化快慢的描述；5m 【答案】C 【解答】解：根据速度的定义式v表明，速度等于位移与时间的比值。位移是物体在一段时间内从一个位置到另一个位置的位置变化量，而时间是这段时间的长度。这个定义强调了速度不仅描述了物体运动的快慢，还描述了物体运动的方向。因此，速度是刻画物体位置变化快慢的物理量。再根据物体位置随时间的关系x＝1+2t+3t2，可知开始时，即t＝0物体的位置为x＝1m，1s时物体的位置为 x1＝1+2t+3t2＝（1+2×1+3×12）m＝6m 则1s内物体的位移为 Δx＝x1﹣x＝6m﹣1m＝5m 故C正确，ABD错误。 故选：C。 考点：匀变速直线运动速度与位移的关系（共3小题） 3．（2026•贵州）·【易】某同学乘坐列车时，在自己的座位上利用车厢内信息屏和手机秒表估算隧道长度。该同学进隧道时速度为60m/s，出隧道时速度为50m/s，总用时200s。若列车在隧道中做匀减速直线运动，则该隧道长为（　　） A．5000m B．8000m C．11000m D．14000m 【答案】C 【解答】解：已知进隧道初速度v0＝60m/s，出隧道末速度v＝50m/s，运动总时间t＝200s，全程匀减速直线运动。 全程平均速度： 隧道长等于列车位移： x•t＝55×200m＝11000m，故C正确，ABD错误 故选：C。 4．（2026•台湾）·【较易】一汽车以108km/h（30m/s）等速行驶在速限为90km/h（25m/s）的水平笔直高速公路，车上驾驶发现前方50m处的路旁有一测速照相器，立即刹车以等加速度﹣a行进。若此车在通过该测速照相器所在处瞬间，车速恰降为90km/h，则a约为多少？（　　） A．1.0m/s2 B．2.8m/s2 C．4.0m/s2 D．5.6m/s2 E．8.0m/s2 【答案】B 【解答】解：汽车做匀减速直线运动，有，代入数据可得a＝2.75m/s2，约为2.8m/s2，故B正确，ACDE错误。 故选：B。 5．（2025•西藏）·【易】我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450km/h。若以120m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4km后停止，则减速运动中其加速度的大小为（　　） A．0.1m/s2 B．0.5m/s2 C．1.0m/s2 D．1.5m/s2 【答案】B 【解答】解：动车组的初速度v0＝120m/s，匀减速运动的位移为x＝14400m，设减速运动中加速度的大小a； 根据运动学公式 代入数据解得加速度的大小a＝0.5m/s2 故ACD错误，B正确。 故选：B。 考点：相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 6．（2024•广西）·【中档】如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9m，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1＝0.4s，从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2＝0.5s，求该同学 （1）滑行的加速度大小； （2）最远能经过几号锥筒。 【答案】（1）滑行的加速度大小为1m/s2； （2）最远能经过4号锥筒。 【解答】解：（1）根据匀变速运动规律某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知在 1、2 间中间时刻的速度为v12.25m/s 2、3 间中间时刻的速度为v21.8m/s 故可得加速度大小为a，代值解得：a＝1m/s2 （2）设到达1号锥简时的速度为v0，根据匀变速直线运动规律得v0t1d 代入数值解得v0＝2.45m/s 从1号开始到停止时通过的位移大小为x3.00125m≈3.33d 故可知最远能经过 4号锥筒。 答：（1）滑行的加速度大小为1m/s2； （2）最远能经过4号锥筒。 考点：匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论）（共2小题） 7．（2025•广西）·【易】某乘客乘坐的动车进站时，动车速度从36km/h减小为0，此过程可视为匀减速直线运动，期间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次，则此过程动车行驶距离约为（　　） A．216m B．350m C．600m D．700m 【答案】B 【解答】解：火车运动的时间为 v0＝36km/h＝10m/s 火车共行驶的距离 故ACD错误，B正确。 故选：B。 8．（2024•海南）·【较易】商场自动感应门如图所示，人走近时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为（　　） A．1.25m/s2 B．1m/s2 C．0.5m/s2 D．0.25m/s2 【答案】C 【解答】解：设门的最大速度为v，根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和减速过程的平均速度均为，且时间相等，均为2s，根据 解得 v＝1m/s 则加速度 故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点：连续相等时间内的运动比例规律 9．（2024•甲卷）·【较易】为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2m/s2，在t1＝10s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340m/s，求： （1）救护车匀速运动时的速度大小； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 【答案】（1）救护车匀速运动时的速度大小为20m/s； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离为680m。 【解答】解：（1）救护车在t1＝10s时停止加速，则救护车匀速直线运动时的速度为v＝at1 解得v＝20m/s （2）救护车运动过程草图如图所示： 设匀速运动时间Δt时停止鸣笛，此时救护车距离出发点的距离为 发出的鸣笛声从鸣笛处传播到救护车出发点处，传播距离为x＝v0（t2﹣t1﹣Δt） 代入解得x＝680m。 答：（1）救护车匀速运动时的速度大小为20m/s； （2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离为680m。 考点：计算停车的时间、速度或位移 10．（2024•北京）·【易】一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（　　） A．5m B．10m C．20m D．30m 【答案】B 【解答】解：汽车做匀减速直线运动，且末速度v＝0，初速度v0＝10m/s，根据匀变速直线运动的位移—时间规律，则有x•t2m＝10m，故B正确，ACD错误。 故选：B。 考点：变速物体追匀速物体问题 （多选）11．（2026•河南）·【中档】智能飞行器飞行表演中，两飞行器M、N位于同一高度，沿同一直线同向匀速飞行。依据表演要求，M保持飞行速度不变，N先匀加速后匀减速调整与M的间距，20s以内完成调整。从开始调整时计时，N传回的数据如表所示，则调整过程中（　　） 时间（s） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 间距（m） 281 294 297 290 273 248 227 212 203 200 200 A．10s末N的速度达到最大值 B．7s末N与M的间距为281.5m C．N加速阶段的加速度大小为2.5m/s2 D．N与M的相对速度的最大值为13.5m/s 【答案】CD 【解答】解：ACD.以M飞行器为参考系，分别求出N在相邻2s内相对M的位移，如表所示： 时间区间 0﹣2s 2﹣4s 4﹣6s 6﹣8s 8﹣10s 10﹣12s 12﹣14s 14﹣16s 16﹣18s 18﹣20s 相对位移 13m 3m ﹣7m ﹣17m ﹣25m ﹣21m ﹣15m ﹣9m ﹣3m 0 0～8s内相邻2s位移差恒为﹣10m，位移差恒定，说明此阶段N相对M做匀加速直线运动；10～18s内相邻2s位移差恒为6m，位移差恒定，说明此阶段N相对M做匀减速直线运动。8～10s为运动切换区间，N在此区间由匀加速转为减速，因此速度最大值出现在8～10s之间。 设加速阶段的加速度为a1，由，可得； 设减速阶段的加速度为a2，由，解得。 根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于平均速度，可得6s的瞬时相对速度，12s的瞬时相对速度。 设6s后经时间t速度达到最大，两段运动速度衔接满足v6+a1t＝v12﹣a2（6s﹣t），解得t＝3s，即第9s速度最大。 N相对于M的速度最大值为v＝v6+a1t＝﹣6m/s﹣2.5×3m/s＝﹣13.5m/s。故A错误，CD正确。 B.已知t＝6s时两机间距为290m，6s到7s时长Δt＝1s，此阶段N仍做匀加速运动，相对位移为，7s末间距L7＝290m+ΔL＝282.75m，故B错误。 故选：CD。 考点：匀变速直线运动规律的综合应用（共5小题） 12．（2026•广东）·【较易】足球比赛中，某队员为接应传球，由静止开始沿直线跑动，先匀加速冲刺，后匀减速至接球点停止。全程用时5s，位移大小为20m，则该队员在某时刻的速度和加速度的大小可能是（　　） A．6m/s，2m/s2 B．6m/s，1m/s2 C．9m/s，2m/s2 D．9m/s，1m/s2 【答案】A 【解答】解：该队员先匀加速（0→vm）、后匀减速（vm﹣0），两段平均速度均为。 总位移，代入数据x＝20m，t总＝5s， 解得：vm＝8m/s； 所以运动员运动过程中瞬时速度一定满足0＜v≤8m/s； 设匀加速冲刺时加速度为a1、加速时间为t1；匀减速时加速度大小为a2、减速时间为t2， vm＝a1t1＝a2t2，t1+t2＝5s 所以0＜t1＜5，0＜t2＜5； 代入数据解得a1＞1.6m/s2，且a2＞1.6m/s2， 所以加速、减速阶段加速度大小必须大于1.6m/s2，故只有A符合题意，故A正确，BCD错误。 故选：A。 13．（2025•安徽）·【较易】汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站，先做加速度大小为a的匀加速运动，位移大小为x；接着在t时间内做匀速运动；最后做加速度大小也为a的匀减速运动，到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设汽车从静止开始的匀加速直线运动时间为t′，匀速运动的速度为v，在匀加速直线运动阶段，由位移公式，根据逆向思维方法，位移关系满足8x﹣x﹣x＝vt，即6x＝vt，联立解得，再根据匀变速直线运动的位移公式，解得，故BCD错误，A正确。 故选：A。 14．（2025•浙江）·【较易】有一离地面高度20m、质量为2×10﹣13kg稳定竖直降落的沙尘颗粒，在其降落过程中受到的阻力与速率v成正比，比例系数1×10﹣9kg/s，则它降落到地面的时间约为（　　） A．0.5h B．3h C．28h D．166h 【答案】B 【解答】解：沙尘颗粒速度较小时，阻力较小，可知mg﹣kv＝ma，沙尘颗粒速率增大，阻力增大，加速度减小，当a＝0时，沙尘颗粒速度达到最大且稳定，此时速度满足mg＝kvmax，解得vmax＝2×10﹣3m/s，沙尘下落时间为t，故B正确，ACD错误。 故选：B。 15．（2024•贵州）·【易】某研究人员将一铁质小圆盘放入聚苯乙烯颗粒介质中，在下落的某段时间内，小圆盘仅受重力G和颗粒介质对其向上的作用力f。用高速相机记录小圆盘在不同时刻的位置，相邻位置的时间间隔相等，如图所示，则该段时间内下列说法可能正确的是（　　） A．f一直大于G B．f一直小于G C．f先小于G，后大于G D．f先大于G，后小于G 【答案】C 【解答】解：由图可知小圆盘先加速，后减速，则可知f先小于G，后大于G，故C正确，ABD错误； 故选：C。 16．（2026•四川）·【较易】某款国产民用无人机已实现全自动作业。如图所示，无人机完成某次任务后开始返航，此时所在位置与降落点的水平距离为120m，竖直距离为90m。无人机先以10m/s的速度沿水平直线飞行至与降落点水平距离50m处，然后沿原运动方向做匀减速直线运动至降落点正上方，随后用时33s竖直下降至降落点，返航结束。求： （1）无人机沿水平方向做匀减速直线运动的加速度大小； （2）无人机从开始返航到返航结束的位移大小和平均速度大小。 【答案】（1）无人机沿水平方向做匀减速直线运动的加速度大小为1m/s2； （2）无人机从开始返航到返航结束的位移大小是150m，平均速度大小是3m/s。 【解答】解：（1）水平匀减速阶段，初速度v0＝10m/s，末速度v＝0，位移x＝50m。由 代入数据可得a＝﹣1m/s2 故加速度大小为1m/s2 （2）从90m高度处到降落点，水平位移120m，竖直位移90m。合位移大小。 水平匀速阶段用时为t1，t17s 匀减速时间为t2，t210s 用时33s竖直下降至降落点，则t总＝t1+t2+33s＝7s+10s+33s＝50s，结合 代入数据可得3m/s 答：（1）无人机沿水平方向做匀减速直线运动的加速度大小为1m/s2； （2）无人机从开始返航到返航结束的位移大小是150m，平均速度大小是3m/s。 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $