22.4.2平面直角坐标系中图形的位似变换（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中位似变换，涵盖原点与任意点位似中心的坐标规律、位似性质及作图步骤。通过“画位似图形步骤”问题导入，结合三角形放大实例，衔接相似形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于设计合作探究（如给定坐标作位似图形）、分层练习（1星基础至2星中档）及总结口诀，培养学生推理能力与模型意识。例如用“平移法三步”解决任意点位似问题，帮助学生形成逻辑思维，教师可通过典型例题提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.4.2平面直角坐标系中图形的位似变换 2026年8月6日 22.4.2 平面直角坐标系中图形的位似变换 核心知识点总结 一、核心概念 在平面直角坐标系中，以某一点为位似中心，可将平面图形进行放大或缩小，得到与原图形位似的新图形，这一过程叫做坐标系中的位似变换。 核心特征：只改变图形大小，不改变图形形状；可改变图形象限位置。 本节分为两类必考题型：原点为位似中心（基础必考）、任意点为位似中心（拔高题型）。 二、原点为位似中心（万能坐标公式） 若位似中心为坐标原点，位似比为 $$k$$，原图形上任意一点坐标为 $$(x,\ y)$$，则位似变换后的对应点坐标： $$\boldsymbol{(kx,\ ky)}$$ （同向位似/同侧，图形与原图在同一象限） $$\boldsymbol{(-kx,\ -ky)}$$ （反向位似/异侧，图形与原图关于原点中心对称缩放） 大小变化规则： 1. $$|k| > 1$$：图形放大为原来的 $$|k|$$ 倍； 2. $$0 < |k| < 1$$：图形缩小为原来的$$|k|$$ 倍； 3. $$k$$ 的正负只改变图形位置、朝向，不改变大小。 三、位似变换的所有性质（坐标系通用） 1. 变换前后图形一定位似、一定相似； 2. 对应边平行或共线，对应角相等； 3. 对应线段比 = 位似比 k； 4. 周长比 = 位似比 k； 5. 面积比 = 位似比的平方 \(k^2\)（重中之重、高频易错）。 四、任意点为位似中心（拔高考点） 若位似中心不是原点，而是任意一点 $$(a,\ b)$$，不能直接套原点公式，必须用平移法三步解题： 1. 平移归零：将坐标整体平移，把位似中心 $$(a,b)$$ 移到原点， 原点点变为：$$(x-a,\ y-b)$$； 2. 位似缩放：按位似比 $$k$$ 缩放：$$\big(k(x-a),\ k(y-b)\big)$$； 3. 平移复位：移回原位置，最终坐标： $$\boldsymbol{\big(k(x-a)+a,\ \ k(y-b)+b\big)}$$ 反向位似同理，带入负 $$k$$ 即可。 五、坐标位似作图标准步骤 1. 定中心、定比例：看清位似中心是原点还是定点、确定位似比； 2. 求新坐标：根据公式求出所有顶点变换后的坐标； 3. 描点：在坐标系中标出所有新顶点； 4. 顺次连线：按原图顺序连接各点，得到位似图形。 六、位似比的双向判定 1. 由原图变新图：新/原 = 位似比 $$k$$； 2. 由新图变原图：原/新 = 位似比 $$\dfrac{1}{k}$$； 3. 坐标扩大倍数 = $$|k|$$，面积扩大倍数 = $$k^2$$。 七、高频易错点（考试重灾区） 1. 只记正向坐标 $$(kx,ky)$$，漏掉反向位似$$(-kx,-ky)$$，丢解； 2. 已知面积比求位似比，忘记开平方；已知位似比求面积，忘记平方； 3. 非原点位似中心，直接套用原点公式，坐标全部算错； 4. 混淆正负含义：$$k$$正负管方向，绝对值管大小； 5. 作图时点的顺序错乱，导致图形变形、对应边不平行。 八、本节总结口诀 原点位似坐标乘，正负分管方向行。 绝对值大图形放，绝对值小图形凝。 线段周长同比走，面积平方要记清。 定点位似先平移，缩放还原步骤明。 回顾 画位似图形的一般步骤什么？ (1)确定位似中心； (2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点； (3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点； (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 思考 请你试着把三角形ABC放大为原来的3倍. 如果把位似图形放到平面直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？ O A B C A′ B′ C′ 3 合作探究 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ A B C A′ B′ C′ ①顺次连接OA，OB，OC，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′，使 ②连接顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，那么△A'B'C'就是所求△ABC的位似图形. A'(3，3) B'(9，6) C'(12，3) 归纳总结 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似 中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么 同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0). 利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形 上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似 比为k(k>0)的同向位似图形. 如果这里的k＜0呢？ 1.[浙江中考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) 1星题 基础练 A 举一反三 2．[滁州期末]如图，已知△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，OC＝2OA.若点C的坐标为(－4，－2)，则点A的坐标为(　　) A．(4，2) B．(3，2) C．(2，3) D．(2，1) D 举一反三 合作探究 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为–3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ A B C A′ B′ C′ A'(–3，–3) B'(–9，–6) C'(–12，–3) x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 2 1 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0). O 8 归纳总结 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位 似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似 图形. 原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点 的坐标为(kx，ky)(k＜0). 正向位似变换和反向位似变换的结果有什么不同？ 典型例题 分析：根据前面的结论可知，一共有2个位似图形. 如：点 A 的对应点 A′ 的坐标为： ，即(3，6)，类似地， 可以确定其他顶点的坐标. 例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (2，4)，B (2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标. 2 4 6 2 2 4 x y A B O 典型例题 解：根据位似图形的性质可知，共有2个三角形. 利用位似中对应点坐标的变化规律，可得 A1 ： =(3，6) ， B1： =(3，0) ， O： =(0，0). 顺次连接点A′，B′，O，即为所求的三角形； 同理可得，另一个三角形的三个顶点坐标是： A2(3，6)， B2(3，0)，O (0，0). 例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (2，4)，B (2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标. 2 4 6 2 2 4 x y A B O 核心必知 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为____________或______________． (kx，ky) (－kx，－ky) 举一反三 3．△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(1，4)，C(3，3)．按如下方式对△ABC进行变换，变换后所得图形与原图形位似且在同一象限的是(　　) A．(x，y)→(－2x，－2y) B．(x，y)→(4y，4x) C 举一反三 4．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A ，C(3，2)，则△OAB与△OCD的面积的比是________． 1∶9 举一反三 5.【分类讨论思想】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是____________________． (－3，－1)或(3，1) 举一反三 6.[江门月考]如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)．以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′. (1)请在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′，并分别写出点A′，B′，C′的坐标； 解：如图，△A′B′C′即为所求． A′(2，4)，B′(6，2)，C′(4，6)． 举一反三 (2)求△A′B′C′的面积． 举一反三 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(4，1)，以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的 得到△OA1B1，当反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过A1B1的中点时，k的值为(　　) 2星题 中档练 B 举一反三 8．[六安期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为_______________．(结果用含a，b的式子表示) (6－2a，－2b) 举一反三 9. 【思维可视化】在平面直角坐标系中，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A(a，a＋1)的对应点为点A′(2a，2a＋1)，点B(3，0)的对应点为点B′(6，－1)，点C的对应点为点C′(6，5)，如何求点C的坐标？ 【思维过程】(1)分析问题：求点C的坐标→找到位似图形对应点之间的坐标变换规律． 举一反三 (2)分析坐标变换规律：点A，B的坐标如何变换，才得到其对应点的坐标？ (3)运用坐标变换规律求值：点C的坐标是________． (3，3) 举一反三 平面直角坐标系中图形的位似变换 同向位似图形： 反向位似图形： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0). 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似图形. 原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k＜0). 利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似比为k(k>0)的同向位似图形. 注：在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS C．(x，y)→ D．(x，y)→ 解：S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6. A．30 B． C．30或－30 D．或－ $