山东省菏泽市2026-2027学年九年级上学期开学模拟练习卷

**基本信息** 以航天成就、劳动实践等真实情境为载体，整合几何代数综合应用，梯度设计培养抽象能力、数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|中心对称图形、统计方差、一次函数性质|第1题结合航天图标考图形性质，第8题用身高数据考趋势分析| |填空题|5/15|代数式化简、加权平均、函数图像交点|第13题通过函数图像辨析结论，考查数形结合| |解答题|8/75|几何证明、统计分析、函数应用、折叠探究|第19题对比智能与传统种植草莓甜度，第22题折纸操作探究几何关系，第23题矩形垂直线段关系综合应用|

山东省菏泽市2026-2027学年九年级上学期开学模拟练习卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．2023年2月，“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”在国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 5．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 6．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象过点 B．图象经过一、二、三象限 C．若点，在该函数图象上，且，则 D．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 7．在校园“手工数学”社团活动中，小红用一张长方形彩纸制作平行四边形书签．她按照设计图，沿两条斜线，折叠后，剪下多余部分，得到了．若量得，则书签边缘的度数是（     ） A． B． C． D． 8．某个男孩的年龄与身高的统计数据和趋势图如图所示，则当该男孩7岁时身高很可能为（     ） 年龄（岁） 1 2 3 4 5 6 身高（） 78 87 98 108 115 120 A． B． C． D． 9．如图，绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与的交点．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11．若，则代数式的值为__________． 12．某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占，统一测试占．小宇的上述两项成绩依次是80分、90分，则小宇期末体育成绩为______分． 13．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论：；；当时，；当时，．其中正确的是__________．（填序号） 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 15．如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 三、解答题（8题，16题至22题，每题9分，第23题12分，共 75 分） 16．计算： (1) (2) 17．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 18．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， 平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (3)在平面直角坐标系中有一点． ①可以表示到点和点___________的距离和； ②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值． 19．在学校举办的．劳动与科技．实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用．智能水肥一体化．技术种植，乙组地块采用．传统土壤．方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两块地中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 1.2 乙 13 13 b 3.4 图：甲组数据的箱线图        （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】 (1)填空：请直接写出表格中a和b的值：_______，_______； (2)绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）； 【作出决策】 (3)决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P； (1)求直线的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求出点E的坐标． 21．某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达80万元．为增加该产品销量，公司计划于5月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额x（万元）与月份a（月）之间的函数关系图象如图1中的点状图所示（7月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本y（万元）与销售额x（万元）之间函数关系图象如图2中线段所示（）． (1)求产品销售成本y（万元）与销售额x（万元）之间的函数关系式； (2)分别求该公司原线下销售每月的销售利润以及5月、6月的利润； (3)把5月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元？ 22．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【问题解决】 (1)如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时得到线段，把纸片展平，与交于点． ①__________； ②求证：． 【拓展探究】 (2)操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． ①如图2，当点落在折痕上时，延长交于点，判断与的数量关系并证明； ②爱国同学在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为6时，（如图3），过点作于点，请求出的长． ③如图4爱思考的爱国同学又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮爱国同学进行证明． 23．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 试卷第8页，共9页 试卷第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省菏泽市2026-2027学年九年级上学期开学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A A D A C B D 1．C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．B 【详解】解：∵乙、丙的平均数为，高于甲的和丁的， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴乙成绩好且状态稳定， 故应选择乙小组． 3．C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 4．A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 5．A 【分析】已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 6．D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数图象的平移规律，根据相关知识点逐一判断每个选项即可． 【详解】解：对于一次函数， 选项A：当时，，图象不过点，A错误； 选项B：， 图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，B错误； 选项C：，随的增大而减小，若，则，C错误； 选项D：根据一次函数平移规则，的图象向上平移3个单位长度得到的图象，D正确． 7．A 【分析】根据平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 8．C 【详解】解：先分析表格里的身高增长规律： 1岁，2岁，3岁，4岁，5岁，6岁， 整体呈逐年增长、增幅放缓的趋势。 6岁时身高，按照前面每年增长左右的规律： 增长幅度不会太小(不会停在)，也不会暴涨到， 合理增长大概在，即7岁身高大概率在区间附近， 观察四个选项，选项C符合题意． 9．B 【分析】由旋转得，，，，故，又，故，在中，． 【详解】解：由旋转得，，，， ， ， ， 在中，． 10．D 【分析】连接，先证明，得到，再证明，利用对应边成比例，求出，则，再代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 矩形，矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 反比例函数的图象经过边与的交点， ． 11．4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 12．86 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将过程性评价成绩和统一测试成绩分别乘以对应的权重，然后求和即可． 【详解】解：（分）． 故答案为：86． 13． 【分析】根据图象经过的象限、图象的增减性即可判断；再由两函数的交点情况即可判断． 【详解】解：由图象可知，，故正确； 由的图象可知，，故不正确； 观察图象可知，当时，的图象位于的图象上方，即，故正确； 由图象可知，当时，，故正确． 14． 【分析】根据数轴上点的位置确定a，b的取值范围，判断a，b及的符号，利用二次根式的性质将原式化简，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】由数轴可知： ，，且 ， ， 原式 ． 15． 【分析】延长到E使，连结，先根据证明，则可得 ，在中根据勾股定理可得，进而可得，再在中根据勾股定理求得，进而可得． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵是的中线， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 18．(1) (2)最小值为5， (3)①；② 【分析】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，一次函数的图像与性质，掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式计算即可求解； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，求出的最小值为，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解； （3）①根据两点间距离公式即可求解；②原式表示到点和点的距离和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：点，， ， 故答案为：； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ， 的最小值为， 设直线的解析式为，把，代入得： 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ； （3）①可以表示到点和点的距离和， 故答案为：； ②表示到点和点的距离和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小， 的最小值为． 19．(1)13；13 (2)乙组数据的箱线图如图所示： (3)推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，理由如下： 因为两组数据的平均数、众数、中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差，根据方差越小，数据的波动越小，则甜度越稳定、品质越均匀，符合超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）分别求出乙组的最大值、最小值、下四分位数、上四分位数，即可画出箱线图； （3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义即可判断． 【详解】（1）解：（1）甲组中出现次数最多的是13，共4次， 众数； 将乙组中数据从小到大排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16， 第5位和第6位分别是13和13， 中位数； （2）解：乙组数据从小到大排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16， 最大值为16，最小值为10， 方法一：， 下四分位数为第3个数据，即12； ， 上四分位数为第8个数据，即14； 由（1）得，乙组的中位数为13； 方法二：由（1）得，乙组的中位数为13， 下四分位数为前5个数据的中位数，即12， 上四分位数为后5个数据的中位数，即14； 箱线图略． （3）略． 20．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到答案； （3）求出的面积，则可得到的面积，再求出点D的坐标，得到的长，根据三角形的面积公式求出点E的横坐标，进而可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：联立得，解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由（2）得点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的4倍， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点E的坐标为或． 21．(1) (2)30万元；42万元；60万元 (3)最早到第5个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是从图象获取信息． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）通过求函数的值即可求解； （3）根据最早到第a个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元，然后列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设，由图2，得 ， 解得， 所以产品销售成本y（万元）与销售额x（万元）之间的函数关系式为； （2）解：（万元） 所以原线下销售方式每月利润为30万元； 因为时，（万元）， 所以5月份利润为（万元）， 因为时，（万元）， 所以6月份的利润为（万元）． （3）解：由题意可知，7月份以后的每月销售额为160万元， 当时，（万元）， 所以7月份以后每月利润为（万元）， 设最早到第个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元， 由题意可知，， 解得， 所以最早到第5个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元． 22．(1)解：①； ②证明：连接， 由①可知，，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由折叠可得； (2)解：①，理由如下： 如图连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； ②； ③证明：如图，连接， 由折叠可知，，则， 又∵， ∴， ∴，， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】（1）①折叠的性质推出是等边三角形，即可得出结果；②连接，证明为的中位线，得到，即可得出结论； （2）①连接，证明，即可证明结论； ②连接，设，则，根据勾股定理计算即可． ③连接，证明得出，，进而证明四边形是平行四边形，得出，根据为的中垂线，得出，进而证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：①连接， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ②略； （2）解：①略 ②解：如图，连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． ③略 23．(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 答案第2页，共20页 答案第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $