21.2.2.3 二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的图象和性质，通过画具体函数（如\(y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1\)）的列表、描点、连线操作，衔接\(y=ax^2\)的平移知识，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以“画一画”“试一试”活动培养几何直观，结合喷水池实际问题发展应用意识，用表格归纳性质及“左加右减，上加下减”简记规律培养模型意识。学生能巩固知识提升推理能力，教师可借助梯度练习和系统总结提高教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质同步练习题 本次练习聚焦二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的全部核心考点，综合考查抛物线上下、左右平移规律、图象开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性与最值，整合前两节平移知识，是二次函数图象性质的综合提升内容。题型梯度合理、重难点突出，贴合课本教学要求，适用于课后同步巩固、单元基础检测与知识点复盘。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数\(y=2(x-1)^2+3\)的图象顶点坐标是（ ） A. \((1,3)\) B. \((-1,3)\) C. \((1,-3)\) D. \((-1,-3)\) 2. 抛物线\(y=-3(x+2)^2-1\)是由抛物线\(y=-3x^2\)经过怎样的平移得到的（ ） A. 左移2个单位、上移1个单位 B. 左移2个单位、下移1个单位 C. 右移2个单位、上移1个单位 D. 右移2个单位、下移1个单位 3. 关于二次函数\(y=4(x-3)^2+2\)，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线\(x=-3\) B. 开口向下 C. 最小值为2 D. 最大值为2 4. 已知抛物线\(y=(m-1)(x+2)^2+5\)开口向下，则\(m\)的取值范围是（ ） A. \(m>1\) B. \(m<1\) C. \(m\geq1\) D. \(m\leq1\) 5. 对于抛物线\(y=-(x-4)^2+5\)，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线\(x=4\) B. 最高点坐标为\((4,5)\) C. 当\(x>4\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小 D. 最小值为5 6. 已知点\(A(2,y_1)\)、\(B(5,y_2)\)在抛物线\(y=2(x-3)^2+1\)上，则\(y_1\)、\(y_2\)的大小关系是（ ） A. \(y_1>y_2\) B. \(y_1<y_2\) C. \(y_1=y_2\) D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的对称轴为__________，顶点坐标为__________。 8. 抛物线\(y=5(x-3)^2+2\)可由抛物线\(y=5x^2\)向____平移3个单位，再向____平移2个单位得到。 9. 二次函数\(y=-2(x+1)^2+4\)，开口__________，函数最__________值为__________。 10. 已知抛物线\(y=a(x-2)^2+1\)经过点\((3,5)\)，则\(a=\)__________。 11. 对于二次函数\(y=\frac{1}{2}(x+4)^2-3\)，当\(x\)__________时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。 12. 若抛物线\(y=(m+4)(x-1)^2-2\)开口向上，则\(m\)的取值范围是__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）已知二次函数\(y=-3(x+1)^2+4\)，解答下列问题：（1）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）分析函数的增减性；（3）求出函数的最值；（4）说明该抛物线与\(y=-3x^2\)的平移关系。 14.（18分）已知抛物线\(y=a(x+h)^2+k\)经过点\((0,3)\)、\((1,2)\)，且顶点为\((-1,1)\)。（1）求该抛物线的函数解析式；（2）判断点\((-2,2)\)是否在该抛物线上；（3）简述函数的图象性质与变化规律。 15.（18分）已知二次函数\(y=(m^2-9)(x+2)^2+5\)，其图象开口向上。（1）求\(m\)的取值范围；（2）写出函数的对称轴、顶点坐标和最值；（3）结合自变量取值分析函数增减性。 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点坐标为\((h,k)\)，该函数顶点为\((1,3)\)。 2.B 解析：遵循“左加右减、上加下减”，\(x+2\)左移2个单位，常数\(-1\)下移1个单位。 3.C 解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴\(x=3\)，顶点处取得最小值2，无最大值。 4.B 解析：开口向下则二次项系数小于0，\(m-1<0\)，解得\(m<1\)。 5.D 解析：\(a<0\)开口向下，抛物线有最高点，函数最大值为5，无最小值。 6.C 解析：抛物线对称轴为\(x=3\)，A、B两点关于对称轴对称，函数值相等，即\(y_1=y_2\)。 二、填空题 7. 直线\(x=-h\)；\((-h,k)\) 8. 右；上 解析：\(x-3\)右移3个单位，常数\(+2\)上移2个单位。 9. 向下；大；4 解析：\(a=-2<0\)，开口向下，顶点处取得最大值4。 10. 4 解析：将\((3,5)\)代入解析式，\(a\times(3-2)^2+1=5\)，解得\(a=4\)。 11. \( <-4 \) 解析：\(a>0\)开口向上，对称轴左侧\(y\)随\(x\)增大而减小。 12. \(m>-4\) 解析：开口向上则\(m+4>0\)，解得\(m>-4\)。 三、解答题 13. 解：（1）开口向下，对称轴为直线\(x=-1\)，顶点坐标\((-1,4)\)；（2）当\(x<-1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x>-1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；（3）函数最大值为4，无最小值；（4）由\(y=-3x^2\)向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到。 14. 解：（1）由顶点\((-1,1)\)得\(y=a(x+1)^2+1\)，代入\((0,3)\)得\(a=2\)，解析式为\(y=2(x+1)^2+1\)；（2）\(x=-2\)时\(y=3 eq2\)，点不在抛物线上；（3）开口向上，对称轴\(x=-1\)，顶点\((-1,1)\)，最小值1，左减右增。 15. 解：（1）开口向上则\(m^2-9>0\)，解得\(m>3\)或\(m<-3\)；（2）对称轴为直线\(x=-2\)，顶点\((-2,5)\)，最小值为5；（3）\(x<-2\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(x>-2\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 （字数：1212） 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 1 问题：怎样画出函数 y = (x - 2)2 + 1 的图象？ x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 解：先列表： 并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 再描点、连线. x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 开口向上； 对称轴是直线 x = 2； 顶点坐标是 (2，1). 解： 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口方向向下， 对称轴是直线 x = -1， 顶点坐标是 (-1，-1) 【试一试】 画出二次函数 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二次函数 y = a(x + h)2 + k (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 归纳总结 向上 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最小值=k 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 向下 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最大值=k 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大 顶点式 例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上，得 a＞0；根据－c 是二次函数顶点的纵坐标，得 c＞0．故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 1.【知识初练】指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 1星题 基础练 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝4(x＋3)2＋5       y＝3(x＋1)2－2       y＝－(x－5)2＋7       y＝－2(x－2)2－6       向上 直线x＝－3 (－3，5) 向上 直线x＝－1 (－1，－2) 向下 直线x＝5 (5，7) 向下 直线x＝2 (2，－6) 举一反三 2.函数y＝(x－1)2－1的大致图象是(　　) A 举一反三 3．[福州月考]对于二次函数y＝2(x－4)2＋3，下列说法正确的是(　　) A．图象开口向下 B．当x≥－4时，y随x的增大而减小 C．图象的对称轴是直线x＝－4 D．y有最小值，是3 D 举一反三 例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0). (1) 求 a 的值； (2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系. (1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4， (2) 方法一： 根据题意，得 y1＝(m－1)2－4vy2＝(m＋n－1)2－4. ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2， ∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称. ∴ m＋n－1＝1－m. 化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值. 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? 13 C(3，0) B(1，3) A 1 x O y 2 3 1 2 3 解：建立如图所示的直角坐标系. 点 (1，3) 是这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线表达式为 ∵ 这段抛物线经过点 (3，0)， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. 3 4 a =－ . y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 － 14 4．若抛物线y＝－3(x＋k)2－k的顶点在直线y＝3x－4上，则k的值为________． －2 举一反三 5．已知二次函数y＝－ (x－1)2＋4，当x＝_______时，函数y有最大值，是_______；当x________时，y随x的增大而增大． 1 4 <1 举一反三 6．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； 解：把(1，－2)代入y＝a(x－3)2＋2，得－2＝a(1－3)2＋2，解得a＝－1. 举一反三 (2)若点A(1，y1)，B(2，y2)都在该抛物线上，比较y1与y2的大小． 解：由(1)得抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－3)2＋2. 所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3， 所以离对称轴越远函数值越小，所以y1<y2. 举一反三 二次函数 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 的图象关系 2 画一画，填出下表： 图象的开 口方向 图象的对称轴 图象的顶 点坐标 函数 向上 x = 0 (0, 0) 向上 x = 0 (0, 1) 向上 x = 2 (2, 0) 向上 x = 2 (2, 1) 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 2 个单位 平移方法1 1 个单位 向上平移 平移方法2 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 1 个单位 2 个单位 向上平移 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向左平移 1 个单位 平移方法1 1 个单位 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 + k 的图象关系 二者形状、开口都相同，可看作互相平移得到. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x + h)2 y = a(x + h)2 + k 上下平移 左右平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移时， 常数项上加下减； 左右平移时， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 归纳总结 1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特征： (1)当a>0时，开口________，当a<0时，开口________； (2)对称轴是直线__________，顶点坐标是___________． 核心必知 向上 向下 x＝h (h，k) 举一反三 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质： (1)若a>0，则当x>h时，y随x的增大而____；当x<h时，y随x的增大而________；当x＝h时，y取最______值，为______． (2)若a<0，则当x>h时，y随x的增大而______；当x<h时，y随x的增大而_______；当x＝h时，y取最______值，为______． 增大 减小 小 k 减小 增大 大 k 举一反三 3. 【思维模型】二次函数图象的平移规律 |h| |k| 上(下) |k| 右(左) |h| 举一反三 7.[北京期中]将抛物线y＝x2先向______平移_____个单位长度，再向______平移______个单位长度后，得到抛物线y＝(x＋4)2－1. 左 4 下 1 或下；1；左；4) 举一反三 8．[西安月考]把抛物线y＝－2x2先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(　　) A．y＝－2(x＋3)2＋5 B．y＝－2(x－3)2＋5 C．y＝－2(x＋5)2－3 D．y＝－2(x－5)2＋3 D 举一反三 9．[六安期中]若直线y＝x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x＋m)2－1的顶点必在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 2星题 中档练 举一反三 10. 【思维生长】已知点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)都在二次函数y＝－2(x－3)2＋a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y2>y1 C 举一反三 向“整体思想”生长：已知关于x的二次函数y＝(x＋3)2－4的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，且x1＋8＝－x2，则y1与y2的大小关系是(　　) A．y1<y2 B．y1>y2 C．y1＝y2 D．y1＋8＝－y2 B 举一反三 一般地，抛物线 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 形状和开口相同，位置不同. 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 图象特征 a＞0 时开口向上， a＜0 时开口向下； 对称轴是 x = -h； 顶点坐标是 (-h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $