21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)的图象与性质，课堂导入通过回顾一次函数图象及“列表、描点、连线”画法，引出二次函数图象形状的探究，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过绘制不同\(a\)值的函数图象培养几何直观，对比\(a>0\)与\(a<0\)的性质发展推理意识，用表格归纳性质强化模型意识。分层练习和典型例题助力学生巩固，教师可高效教学，提升学生数学思维与应用能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.2.1二次函数y=ax²的图象和性质同步练习题 本次练习聚焦二次函数\(y=ax^2\)的核心知识点，涵盖函数图象的绘制方法、图象形状、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等重点内容，题型包含选择、填空、解答，难度由浅入深，贴合教材考点，可用于课后巩固、知识点复盘和基础检测。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数\(y=3x^2\)的图象顶点坐标是（ ） A. \((0,3)\) B. \((3,0)\) C. \((0,0)\) D. \((1,3)\) 2. 下列二次函数中，图象开口向下的是（ ） A. \(y=5x^2\) B. \(y=\frac{1}{2}x^2\) C. \(y=-4x^2\) D. \(y=2x^2+1\) 3. 关于二次函数\(y=-2x^2\)的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线\(x=2\) B. 经过点\((1,2)\) C. 当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小 D. 图象有最低点 4. 已知二次函数\(y=(m-1)x^2\)的图象开口向上，则\(m\)的取值范围是（ ） A. \(m>1\) B. \(m<1\) C. \(m\geq1\) D. \(m\leq1\) 5. 对于函数\(y=4x^2\)，当\(x_1=-2\)，\(x_2=1\)时，对应的函数值\(y_1\)、\(y_2\)的大小关系是（ ） A. \(y_1>y_2\) B. \(y_1<y_2\) C. \(y_1=y_2\) D. 无法判断 6. 二次函数\(y=ax^2\)与一次函数\(y=ax+a\)（\(a eq0\)）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. 抛物线开口向上，直线过一、二、三象限 B. 抛物线开口向上，直线过一、三、四象限 C. 抛物线开口向下，直线过二、三、四象限 D. 抛物线开口向下，直线过一、二、四象限 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 二次函数\(y=ax^2\)的图象是__________，对称轴是__________，顶点是__________。 8. 当\(a>0\)时，抛物线\(y=ax^2\)开口__________，图象有最__________点，当\(x=\)__________时，\(y\)取得最小值__________。 9. 已知点\(A(2,n)\)在抛物线\(y=-x^2\)上，则\(n=\)__________。 10. 对于二次函数\(y=\frac{1}{3}x^2\)，当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而__________；当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而__________。 11. 若抛物线\(y=(k+3)x^2\)开口向下，则\(k\)的取值范围是__________。 12. 已知抛物线\(y=ax^2\)经过点\((-1,2)\)，则该函数的解析式为__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）已知二次函数\(y=-3x^2\)，完成下列问题：（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）判断当\(x=3\)和\(x=-3\)时的函数值关系；（3）求当\(x=-2\)时的函数值；（4）分析函数的增减性。 14.（18分）已知抛物线\(y=ax^2\)经过点\((2,-8)\)。（1）求该抛物线的函数解析式；（2）判断点\((-1,-2)\)是否在该抛物线上；（3）说出该抛物线的开口方向、最值及增减性。 15.（18分）已知二次函数\(y=(m^2-2)x^2\)，当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。（1）求\(m\)的取值范围；（2）写出满足条件的一个\(m\)的值，并求出此时函数的最值。 参考答案及解析 一、选择题 1.C 解析：所有\(y=ax^2\)形式的二次函数，顶点均为坐标原点\((0,0)\)。 2.C 解析：二次函数\(y=ax^2\)中，\(a<0\)时开口向下，仅有C选项\(a=-4<0\)。 3.C 解析：\(y=-2x^2\)对称轴为\(y\)轴，代入\(x=1\)得\(y=-2\)，图象开口向下有最高点，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。 4.A 解析：开口向上则二次项系数\(m-1>0\)，解得\(m>1\)。 5.A 解析：代入得\(y_1=4\times(-2)^2=16\)，\(y_2=4\times1^2=4\)，故\(y_1>y_2\)。 6.A 解析：\(a>0\)时抛物线开口向上，一次函数截距\(a>0\)，直线过一、二、三象限；\(a<0\)时无对应正确选项。 二、填空题 7. 抛物线；\(y\)轴（直线\(x=0\)）；坐标原点\((0,0)\) 8. 向上；低；\(0\)；\(0\) 解析：\(a>0\)时抛物线开口向上，顶点为最低点，原点处取最小值0。 9. \(-4\) 解析：将\(x=2\)代入解析式，\(n=-2^2=-4\)。 10. 增大；减小 解析：\(a=\frac{1}{3}>0\)，对称轴左侧递减、右侧递增。 11. \(k<-3\) 解析：开口向下则\(k+3<0\)，解得\(k<-3\)。 12. \(y=2x^2\) 解析：代入\((-1,2)\)得\(a=2\)，解析式为\(y=2x^2\)。 三、解答题 13. 解：（1）开口向下，对称轴为\(y\)轴（直线\(x=0\)），顶点坐标\((0,0)\)；（2）抛物线关于\(y\)轴对称，\(x=3\)和\(x=-3\)函数值相等；（3）\(x=-2\)时，\(y=-3\times4=-12\)；（4）\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。 14. 解：（1）将\((2,-8)\)代入得\(4a=-8\)，\(a=-2\)，解析式为\(y=-2x^2\)；（2）\(x=-1\)时，\(y=-2\)，故点\((-1,-2)\)在抛物线上；（3）开口向下，顶点为最高点，最大值为0；\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。 15. 解：（1）\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，说明开口向上，即\(m^2-2>0\)，解得\(m>\sqrt{2}\)或\(m<-\sqrt{2}\)；（2）取\(m=2\)，解析式为\(y=2x^2\)，函数最小值为0，无最大值。 （字数：1212） 回顾思考 问题1. 我们学过的一次函数的图象是什么形状？ 一条直线 问题2. 如何画一个函数的图象呢？ 列表、描点、连线 二次函数的图象是什么形状的呢？ 下面我们一起探究这个问题！ 观察 思考 画出二次函数 y=x² 的图象. x … –3 –2 –1 0 1 2 3 … y=x² … 9 4 1 0 1 4 9 … (1)列表； (2)描点； (3)连线. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 相邻两点能用线段连接吗？ 用平滑曲线顺次连接各点 一条曲线 y=x² 4 观察二次函数 y=x² 的图象.你能发现什么？说一说. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 观察 图象是轴对称图形吗？ 是轴对称图形，对称轴是y轴. 图象有最低点吗？ 有最低点，坐标是(0，0). 当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？ 对称轴 最低点 当x＜0时，随着x的增大，函数y减小. x＞0呢？ 当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大. y=x² 5 归纳 x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 对称轴 最低点 函数y=x² 的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线. y=x² 函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x². 开口方向 抛物线y=x²开口向上； 抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)； 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，坐标是(0，0). 相关概念 6 1.【知识初练】二次函数y＝－2x2的图象开口向______，对称轴是________________，顶点的坐标是________． 1星题 基础练 下 y轴(或直线x＝0) (0，0) 举一反三 2．已知二次函数y＝(k－2)x2的图象开口向上，则k的取值范围为________． k＞2 举一反三 3．二次函数y＝5x2的图象经过(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 A 举一反三 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²、y=2x²的图象. 探究 解：列表. x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … y=x² … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x² … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 描点、连线，即得这两个函数的图象. 10 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²、y=2x²的图象. 探究 描点、连线，即得这两个函数的图象. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² 解：列表. y=2x² 11 1.观察二次函数y=x²和y=2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ 探究 x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² y=2x² 开口向上 对称轴是y轴 顶点坐标(0，0) 开口方向 对称轴 有最低点 下降 上升 12 2.你能根据函数y=x²、y=x²和y=2x²的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax²(a＞0)的性质吗？ 探究 x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² y=2x² y=x² 取值范围； 图象的形状； 增减性； 最值问题…… 13 归纳 二次函数y=ax²(a＞0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 1. 向x轴左右方向无限延伸 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点.开口向上，图象向上无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和–x可得到相同的函数y 当x＜0时，随着x的增大，函数y减小； 当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大 当x=0时，函数取得最小值，y最小值=0，且y没有最大值，即y≥0. x y O y=ax²(a＞0) 14 4. 【新题型】点点用软件绘制抛物线y＝4x2时，将“4”按成了“－4”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 A 举一反三 5．已知二次函数y＝x2，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)； (2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上，并说明理由． 解：如图所示． 解：不在．理由如下：当x＝－2时，y＝ ×(－2)2＝2，所以点(－2，－4)不在这个函数图象上． 举一反三 6．【知识初练】已知二次函数y＝－ x2. (1)当x>0时，y随x的增大而________； (2)当x<0时，y随x的增大而________； (3)当x＝____时，y取得最____值，是______． 减小 增大 0 大 0 举一反三 3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x²、y=– x²、y=–2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ (1)列表； (2)描点； (3)连线. x y –5 –6 –7 –8 –9 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 –3 –4 1 –1 4 –4 y=–x² y= –2x² y=–x² 开口向下 对称轴是y轴 顶点坐标(0，0) 开口方向 对称轴 有最高点 上升 下降 18 4.根据函数y=–x²、y=–x²和y=–2x²的图象特点，仿照上面的表格，总结出二次函数y=ax²(a＜0)的性质. 取值范围； 图象的形状； 增减性； 最值问题…… x y –5 –6 –7 –8 –9 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 –3 –4 1 –1 4 –4 y=–x² y= –2x² y=–x² 19 归纳 二次函数y=ax²(a＜0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 1. 向x轴左右方向无限延伸 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最高点.开口向下，图象向下无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和–x可得到相同的函数y 当x＞0时，随着x的增大，函数y减小； 当x＜0时，随着x的增大，函数y也增大 当x=0时，函数取得最大值，y最大值=0，且y没有最小值，即y≤0. x y O y=ax²(a＜0) 20 5.分别比较函数y=x²与y=–x²、y=x²与y=–x²、y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. 函数 y=x²、y=x²、y=2x² y=–x²、y= – x²、y=–2x² 相同点 不同点 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大. 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 (1)都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2)顶点坐标都是(0，0). 21 思考 当a＞0时，函数y=ax²的图象与a＜0时有什么不同？ 开口方向； 顶点坐标； 对称性； 增减性； 最值…… 22 归纳 y=ax²(a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大. 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 y轴 顶点是(0，0) 顶点是(0，0) y轴 |a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响？ |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 23 典型例题 例1 已知下列二次函数： ①y= –x²；②y=x²；③y=15x²；④y= –4 x²；⑤ y=4x². (1)其中开口向上的是 (填序号)； (2)其中开口向下且开口最大的是 (填序号)； (3)有最高点的是 (填序号). a＞0 ②③⑤ a＜0 |a|越小，开口越大 ① 开口向下 a＜0 ①④ 核心必知 y＝ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|相同，抛物线的开口大小________； |a|越大，抛物线的开口________ 对称轴 是轴对称图形，对称轴是_____________ 相同 越小 y轴(或直线x＝0) 举一反三 y＝ax2 a>0 a<0 顶点坐标 抛物线最低点(0，0) 抛物线最高点(0，0) 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 最值 当x＝0时，y取最_____值，为0 当x＝0时，y取最_____值，为0 减小 增大 增大 减小 小 大 举一反三 7．已知抛物线y＝－3x2经过点A(1，y1)和B(2，y2)，则y1____y2(填“>”“<”或“＝”)． > 举一反三 8．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，8)． (1)求这个二次函数的表达式； 解：因为二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，8)， 所以4a＝8，所以a＝2， 所以二次函数的表达式为y＝2x2. 举一反三 8．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，8)． (2)当x取何值时，y随x的增大而增大． 解：因为抛物线y＝2x2中，2>0，所以抛物线开口向上． 因为抛物线y＝2x2的对称轴为y轴， 所以当x>0时，y随x的增大而增大． 举一反三 9．关于抛物线y＝2x2，y＝－ x2，y＝3x2，y＝－x2的共同特点，下列说法正确的是(　　) A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是y轴 D．y随x的增大而增大 C 2星题 中档练 举一反三 10．四个二次函数的图象对应的函数表达式分别是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为(　　) A．a>b>c>d B．a>b>d>c C．b>a>c>d D．b>a>d>c A 举一反三 11．[安庆模拟]二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b(a>0，b>0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是(　　) C 举一反三 12. 【思维生长】若点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)都在抛物线y＝(a2＋1)x2上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y3<y1<y2 B．y3<y2<y1 C．y1<y2<y3 D．y2<y1<y3 D 举一反三 向“逆向推理”生长：二次函数y＝5x2图象上有三个动点(m，y1)、(m＋1，y2)、(m＋2，y3)，下列说法错误的是(　　) A．若y1<y2<y3，则m>0 B．若y1＝y3，则y2＝0 C．若m＝－ ，则y2<y1<y3 D．无论m取何值，都有y3－y2>y2－y1 A 举一反三 二次函数y= ax2的图象和性质 相关概念： 二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质： 函数y=x² 的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线；函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x²；抛物线y=x²开口向上；抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)；与抛物线的交点是抛物线的顶点，坐标是(0，0). 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $