专题04 函数基本性质（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦函数基本性质，整合北京2022-2026年中考真题及2026年模拟题，以化学溶解度、工厂培训、水杯设计等真实跨学科情境为载体，分层考查函数表示与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|真题5道/模拟22道，每道5-6分|函数三种表示方法、图象绘制、数据读取、最值估算、跨学科应用|双载体（表格+坐标系）呈现变量关系，如2026年真题结合硝酸钾溶解度表与曲线考查描点作图及方案对比，2025年工厂培训题通过多组数据曲线考查函数增减性与最优方案|

专题04 函数基本性质 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01函数基本性质 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 2023北京卷 2022北京卷 均为独立多小问解答题型，分值稳定 5-6 分，属于中考固定实际应用压轴题型。命题全部采用真实生活化、跨学科情境化设计等现实素材逐年轮换；统一依托表格数据、平面网格坐标系图像双载体呈现变量对应关系，核心围绕函数三种表示方法（列表法、图象法、解析式法）展开考查，重点考查描点作图、读取图表数据、函数增减变化、最值估算四大模块，同时常设数据补全、数值估算、方案对比、大小比较类综合考题。整体难度梯度清晰，基础读图操作简单，最后一问综合分析区分度高；近五年命题持续贴合生活、科技、理化跨学科热点，侧重结合多组曲线、多方案对比进行定量估算与定性判断，图表信息提取、数形结合估算类设问占比逐年提升。 考点01 函数基本性质 1．（2026·北京·中考）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 2．（2025·北京·中考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 3．（2024·北京·中考）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 4．（2023·北京·中考）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 5．（2022·北京·中考）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 1．（2026·北京密云·一模）某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 (1)通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） (3)研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 2．（2026·北京门头沟·综合练）2026年2月3日发布的中央一号文件是新时代以来第14个聚焦“三农”的文件，该文件指出要促进“菜篮子”产业提质增效．某科研小组为研究甲肥、乙肥两种新型肥料对某种蔬菜中维生素C含量的影响，选取等面积的试验田，在相同种植条件下，当施肥量为（单位：亩，）时，分别记录了甲肥作用下蔬菜中维生素的含量为（单位：），乙肥作用下蔬菜中维生素的含量为（单位：），部分数据如下： 施肥量 0 5 10 15 20 25 30 35 30 50 80 100 90 70 40 20 30 45 60 70 75 80 65 50 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请补全与的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①如果要求蔬菜中维生素C的含量不低于80mg/100g，且施肥量尽可能低，那么应选择的肥料是 （填“甲肥”或“乙肥”）； ②当施肥量相同时，如果甲肥作用下蔬菜中维生素C的含量比乙肥作用下蔬菜中维生素C的含量至少多15mg/100g，那么施肥量x的取值范围是 （结果取整）； ③已知每使用亩的施肥量，甲肥的成本是0.4元，乙肥的成本是0.2元，而且蔬菜中维生素C的含量也影响蔬菜的品质和利润，当维生素C的含量低于时，每低则利润损失1元．如果施肥量为亩时，那么施用甲肥的额外成本 施用乙肥的额外成本（填“大于”“等于”或“小于”）．注：额外成本=肥料成本+利润损失 3．（2026·北京东城·一模）现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 (1)两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； (2)在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； (3)某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 4．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 5．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 6．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 7．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 8．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 9．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 10．（2026·北京西城·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 11．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 12．（2026·北京通州·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 13．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 14．(25-26九下·北京大兴区·二模)为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． (1)A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； (2)在给出的坐标系中，描出表示的点； (3)按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； (4)A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； (5)若随的增大而增大，则整数________． 15．(25-26九下·北京房山区·二模)某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 16．(25-26九下·北京平谷区·二模)某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 17．(25-26九·北京海淀区·期末)某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： (1)王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； (2)①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； (3)“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 18．(25-26九下·北京燕山区·二模)中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； (3)在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 19．(25-26九下·北京西城区·二模)某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． (1)当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； (2)写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； (3)按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 20．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 21．(25-26九下·北京昌平区·二模)某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 22．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 23．(25-26九下·北京朝阳区·二模)小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． (1)写出表中的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 26．(25-26九下·北京丰台区·二模)某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 27．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为 安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为 （保留整数）． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数基本性质 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01函数基本性质 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 2023北京卷 2022北京卷 均为独立多小问解答题型，分值稳定 5-6 分，属于中考固定实际应用压轴题型。命题全部采用真实生活化、跨学科情境化设计等现实素材逐年轮换；统一依托表格数据、平面网格坐标系图像双载体呈现变量对应关系，核心围绕函数三种表示方法（列表法、图象法、解析式法）展开考查，重点考查描点作图、读取图表数据、函数增减变化、最值估算四大模块，同时常设数据补全、数值估算、方案对比、大小比较类综合考题。整体难度梯度清晰，基础读图操作简单，最后一问综合分析区分度高；近五年命题持续贴合生活、科技、理化跨学科热点，侧重结合多组曲线、多方案对比进行定量估算与定性判断，图表信息提取、数形结合估算类设问占比逐年提升。 考点01 函数基本性质 1．（2026·北京·中考）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)（答案不唯一）；（答案不唯一） (3)①（答案不唯一）；②（答案不唯一） 【分析】（1）根据表格信息描点连线即可； （2）根据（1）中函数图象判断即可； （3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到的温度，取较大值即可； ②根据（1）中函数图象得到时甲、乙溶解度，进而求出溶解甲、乙需要的水的总质量，求出、的值，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：由函数图象可知，当温度约为（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同； 此时溶解度， 降温到，乙溶解度约为， 因此析出乙的质量为； （3）①解：要让溶质完全溶解在水中，溶解度需要至少达到． 由图可知，对甲来说，溶解度达到的温度约为，对乙来说，溶解度达到的温度约为， 因此的最小值为； ②解：时甲溶解度约为，设溶解甲需要的水的总质量为， 由 解得：， 因此需要加水， 即； 时乙溶解度约为，同理得溶解乙需要的水的总质量为， 因此需要加水， 即； 最终． 2．（2025·北京·中考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6 (2)； 画出时的曲线： (3)①7；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴； （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 3．（2024·北京·中考）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2) 如图所示，即为所画图像， (3)1.2，8.7 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）略 （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 4．（2023·北京·中考）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 （Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下；  4  ；    （1）11.3； （2）< 【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3， 即可节水约11.3个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)23.20 m； (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． （2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 1．（2026·北京密云·一模）某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 (1)通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） (3)研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)， 【分析】（1）根据表格中制剂的浓度与产量对应数据，在坐标系中描点，再依次连接各点即可； （2）先根据产量条件，分别找到制剂、对应的最低浓度，再用制剂的浓度减去制剂的浓度，得到节省的浓度差； 先根据分段数据，求出制剂在各区间的产量函数解析式，再根据题意列不等式，分别求解两个区间的不等式，最后取公共解并按要求取整，得到浓度范围； （3）先计算浓度为时两种制剂的实际产量，再分别计算它们的制剂成本和产量损失成本，求和得到总成本，最后比较两者总成本，确定更低的制剂和成本． 【详解】（1）解：如图为函数的图象． （2）解：若要制剂的浓度尽可能低，则单位面积产量为， 此时需要制剂，制剂， 故选择制剂比选择制剂可以节省制剂． 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 根据题意可得， 保留整数后解得． （3）解：当，，， 则制剂的成本为（元）， 则制剂的成本为（元）， 故总成本较低的是制剂，最低总成本为元． 2．（2026·北京门头沟·综合练）2026年2月3日发布的中央一号文件是新时代以来第14个聚焦“三农”的文件，该文件指出要促进“菜篮子”产业提质增效．某科研小组为研究甲肥、乙肥两种新型肥料对某种蔬菜中维生素C含量的影响，选取等面积的试验田，在相同种植条件下，当施肥量为（单位：亩，）时，分别记录了甲肥作用下蔬菜中维生素的含量为（单位：），乙肥作用下蔬菜中维生素的含量为（单位：），部分数据如下： 施肥量 0 5 10 15 20 25 30 35 30 50 80 100 90 70 40 20 30 45 60 70 75 80 65 50 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请补全与的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①如果要求蔬菜中维生素C的含量不低于80mg/100g，且施肥量尽可能低，那么应选择的肥料是 （填“甲肥”或“乙肥”）； ②当施肥量相同时，如果甲肥作用下蔬菜中维生素C的含量比乙肥作用下蔬菜中维生素C的含量至少多15mg/100g，那么施肥量x的取值范围是 （结果取整）； ③已知每使用亩的施肥量，甲肥的成本是0.4元，乙肥的成本是0.2元，而且蔬菜中维生素C的含量也影响蔬菜的品质和利润，当维生素C的含量低于时，每低则利润损失1元．如果施肥量为亩时，那么施用甲肥的额外成本 施用乙肥的额外成本（填“大于”“等于”或“小于”）．注：额外成本=肥料成本+利润损失 【答案】(1) (2)①甲肥；②；③小于 【分析】本题考查函数的图象，函数的实际应用，能够将实际问题转化成函数问题是解题的关键． （1）根据表中数据，描点连线即可； （2）①根据图象判断即可；②根据题意可得，当取值相同时，，根据图象和表中数据即可求解；③根据表中数据，可以计算甲肥和乙肥的额外成本，根据数量关系“额外成本=肥料成本+利润损失”，计算额外成本并比较即可． 【详解】（1）略 （2）①通过图象可知，当时，，，即当蔬菜中维生素C的含量不低于80mg/100g时，甲肥的施肥量尽可能低，故选择甲肥； ②当取值相同时，，则； ③当施肥量为亩时，甲肥的成本是，，则利润损失为，即甲肥的额外成本为； 乙肥的成本是，，则利润损失为，即乙肥的额外成本为； 由于，施用甲肥的额外成本小于施用乙肥的额外成本． 3．（2026·北京东城·一模）现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 (1)两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； (2)在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； (3)某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 【答案】(1) (2) 函数图象如图所示： (3)117；280 【分析】（1）观察表格数据即可得出结果； （2）根据表格数据画出图象即可； （3）结合题意题图象求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得，； （2）略 （3）根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡， ∴手环显示B种算法的能量消耗值为117千卡； ∵运动60分钟时，， ∴， ∴第一次计算平均数为：， ∵， ∴第二次计算平均数为：，且， ∴手环显示的能量消耗值是280千卡． 4．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 【答案】(1)6 (2) 解：如图，曲线即为所求； (3)①一；②9 【分析】（1）由图象可得，是关于x的一次函数，然后由待定系数法求解函数解析式，即可求解； （2）描点、连线即可作图； （3）①分别计算三个方案前4天的投资总回报，再比较即可； ②先求出第八天的三个方案的投资总回报，再求出第九天的三个方案的投资总回报，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； （2）略 （3）解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 5．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 【答案】(1) 与t之间关系的函数图象如图： (2)30 (3)6 (4)12.5 (5) 【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可； （2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值； （3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解； （4）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间； （5）先求解出圆的半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同， ∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置； （3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转， 由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点， ∴A点转动过的角度为， 即每相邻的两个座位之间的角度为， ∴旋转木马座位总数为个； （4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图， ∵， ∴， 即当点C到A，B的距离相等时，点A转过， ∴秒， ∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等； （5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图， 根据表格可知，当时，有最大值为， 此时点A位于点D的位置，则有， 记圆的半径为r，则有，解得， 在中，，， ∴， ∴当秒时，的值为． 6．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 【答案】(1)5.0 (2) 下图为所求； (3)①5；②，140 【分析】（1）代入计算即可； （2）根据表格数据，描点，连线即可； （3）①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过；②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，即可判断出答案． 【详解】（1）解：∵实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①结合表格与图象，可知，从第9天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过，故在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为（天）； ②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间， ∵从实验数据，时，该餐的降解失重率为， ∴判断上面实验所用餐具的防水剂用量为， ∵降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在， ∴当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是； 故答案为：，140． 7．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 结合表中数据，画出函数的图像，如下图所示， 结合数据，利用函数图像可以推断， 当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为51度； (3)①57度；②7.9，8.0，8.1 【分析】（1）根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即，结合求解即可； （2）结合表中数据，画出函数的图像，结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即，据此分析即可；②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，要使最大，对应图像的水平间距最大位置，结合数据和图像可知，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即， ∵， ∴，即； （2）略 （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即， 当时，， 当时，， 所以，的最小值约为57度； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值， 要使最大，对应图像的水平间距最大位置， 由数据和图像可知，当时，与差的最大，此时，，则，误差为0.1，故可能的值为7.9，8.0，8.1． 8．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】(1) 如图，与的函数图象即为所求； (2)50，9.7 (3)B 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； （3）解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 9．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51， 作图如下： (3)①；② 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图略 （3）解：①由图可知开机后至少 分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机后前5分钟， 的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟． ∴对应的周期分别为，，， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 10．（2026·北京西城·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 【答案】(1) (2) 绘图如下图所示： (3)①；②二； 【分析】（1）观察表格信息即可得出结论； （2）用描点法画图象即可； （3）①由表格可知：时 ；当时 ，列方程 即可得出结论； ②结合图象及表格信息即可得出结论. 【详解】（1）解：由图象可知：当时， ； 当时， ； ∴当整数的值为时，的值首次低于； （2）略 （3）解：①由表格可知：时 ； 当时 ， ∴ 即：； ②若先记忆资料一时， 当时，，当 时，， ∴； 若先记忆资料二时， 当时， ，当 时， ， ∴， ∵， ∴从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料二，此时记忆保持率和的最大值是. 11．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 与t，与t的函数图象如图所示： (3)①；② 【分析】（1）先求出与t的关系式为，再求出当时的值，即可得解； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①先求出与的关系式为，当时，，解得；当时，，解得，由此即可得出结果； ②先求出机器人B编织的总面积，再结合表格计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； （2）略 （3）解：①观察图象可得与满足二次函数关系，设， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（负值不符合题意，舍去）或， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 12．（2026·北京通州·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 【答案】(1)，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； （克）与时间（分钟）的函数图象略 （2）解：观察图象可知，在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ，解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ，解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 13．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2) 的图象如下； (3)② (4)5.5 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）略 （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学匀速跑步阶段速度为，且在时恰好跑了， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为5.5分． 14．(25-26九下·北京大兴区·二模)为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． (1)A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； (2)在给出的坐标系中，描出表示的点； (3)按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； (4)A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； (5)若随的增大而增大，则整数________． 【答案】(1)168页 (2) (3)四 (4)五 (5)19 【分析】（1）根据题意，将A家庭从星期一当天开始，连续10天每日阅读量相加即可； （2）根据“A家庭从星期一当天开始连续10天阅读总量”求得的值，然后描点即可； （3）比较一周积分数值，并结合尽早完成兑换，即可获得答案； （4）首先求得的值，然后比较一周积分数值大小，即可获得答案； （5）分别计算B家庭每日连续10天阅读总量，且随的增大而增大，即每日连续10天阅读总量随的增大而增大，据此建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 即A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为168页； （2）解：，描点略； （3）解：∵，， ∴连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期四当天开始阅读； （4）解：根据题意， ， ∵， ∴A家庭从星期五当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； （5）解：根据题意，B家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期二当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期三当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期四当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期五当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期六当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期日当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， ∵随的增大而增大， ∴，解得， ∵为整数， ∴． 15．(25-26九下·北京房山区·二模)某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 【答案】(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）先求出普通充电模式的函数关系式，问题即可求解； （2）分别求出两种模式下充电的电量，再相减即可求解； （3）①令，解方程即可求解；②先根据普通模式下的函数关系式求出的充电量；快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，再据此求出此范围内快速充电模式下的函数关系式，接着据此求出在快速模式下，达到此电量所需的时间，最后根据总时间即可求出充满电还需要的时间，问题得解． 【详解】（1）解：设普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， ∵普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ， ∴，解得， 即普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，解得， 即在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要； （2）函数图象作图略， 普通充电模式时，当时，， 快速充电模式时，当时，， 即二者相差为：； （3）①当时，解得， 当时，解得， ∴时间差为：， 即用普通充电模式给手机充电，则经过后，电量可以达到； ②根据①，可知普通充电模式时，达到的电量需要时间为：， 再在普通充电模式下，又充电， 能充的电量为：当时，， 根据函数图象、表格数据可知：快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，设此时充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 代入一组数据可得，即， 此时：充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，， ∵快速模式下，充满也需要， ∴快速模式下，在现有电量条件下充满电量所需时间为，取整数为． 16．(25-26九下·北京平谷区·二模)某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) (3)①9.5  ②4.4 【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量； 第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象； 第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求； 先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径． 【详解】（1）解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系， ∴设与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∴当时，， ∴甲组挤出头出料时的出料量为； （2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点： ，，，，， 再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线； （3）观察乙组数据， ，，，，， ∴与满足， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范． 17．(25-26九·北京海淀区·期末)某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： (1)王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； (2)①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； (3)“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 【答案】(1)7；6 (2)①见详解；②6 (3)8 【分析】（1）①②结合函数图象求解即可． （2）①根据数据画出图象即可；②结合函数图象求解即可； （3）根据累计成本利润率计算，再结合城市的行业评价标准求解即可． 【详解】（1）解：①第个月的其它支出费用为：（万元）； ②观察民宿营业收入累计额图可知第5个月到第6个月的累计额较大，故累计额单月营业收入最高的是第6个月． （2）解：①其它支出费用累计额关于经营时长的图象如下： ②结合函数图象可知，当第6个月的时候民宿营业收入累计额图位于支出费用累计额上面，此时民宿营业收入累计额万元，支出费用累计额为（万元）， ∵， ∴王先生的民宿自开始营业后第6个月开始盈利． （3）解：由（2）②可知第6个月开始盈利， 第6个月营业累计额大约为105万元，支出费用累计额为万元， ∴， 第7个月营业累计额大约为125万元，支出费用累计额为万元， ∴ 第8个月营业累计额为160万元，支出费用累计额为万元， ∴， ∵当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介． ∴王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第8个月． 18．(25-26九下·北京燕山区·二模)中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； (3)在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)，（答案不唯一） (3) 【分析】本题考考查了画函数图象，根据图象获取信息，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格中的数据描点画图即可； （2）根据绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳，结合表格数据解答即可； （3）观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低，即可求解． 【详解】（1）解：如下图，即为与x的函数图象； （2）解：由题意可知，绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳， 由表格可知，时，；时，， 当绿茶茶水的放置时间约为时，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为 （3）解：观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低， 即若，则， 故答案为： 19．(25-26九下·北京西城区·二模)某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． (1)当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； (2)写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； (3)按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 【答案】(1)4 (2)93，图见解析 (3)①10；②48 【分析】（1）直接根据表格中的数据进行作答即可； （2）根据从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，求出的值，描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，结合表格数据，求出两个方案最早开始生产合格批次的芯片的天数，比较大小即可；②分别求出两种方案所需天数，比较大小即可. 【详解】（1）解：由表格可知：当时，；当时，； 故当整数的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）解：∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变， ∴， ∴， 描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①按照方案一，由表格数据可知，当时，， 按照方案二，由表格数据可知，当时，， 又∵按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天， ∴按照方案一最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； 按照方案二，最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； ∵， 故该公司最早在第10天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②若选方案一：前4个批次不合格，共需要生产个批次，总用时天； 若选方案二：公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，此时，， 已经可以生产合格的批次，故总用时天； ∵， ∴最快经过天（整数）完成这个订单． 20．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 21．(25-26九下·北京昌平区·二模)某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 【答案】(1)作图见解析 (2)D (3)①Ｂ② 【分析】（1）根据题干中的数据，描点作图即可； （2）先根据数据求出相同温度的伸展长度差，再结合图象分析即可； （3）①在以上环境中，由，函数图象的变化趋势即可判断； ②在的温度区间，先求出不同温度的，再根据每内的变化始终不超过1.0微米，列不等式求解即可． 【详解】（1） 图象如下： （2）由题意，温度为（单位：）两种材料的伸展长度差为， 由表格中的数据， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据数据和图象可得，当时，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米． （3）①由函数图象可得，在以上环境中，材料的伸展长度随着温度升高的增加量比材料大，即材料的伸展性随着温度升高提升得更快， 所以应选择材料制作此精密部件． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米， 从到， 即，解得， 从到，， 解得， 从到，， 即，解得， 从到， 即，解得， 综上，当最小为时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 22．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6 (2)；画图见解析 (3)①7；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 23．(25-26九下·北京朝阳区·二模)小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可； （）根据函数图象进行求解即可； （）根据函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，连线， 画图象如图， （2）解：如图， 当时，对应号弦长为，号弦长为， ∴对应号弦长与号弦长的差为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理； 弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误； 弦长相同时，频率比，是定值，推断合理； 若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理； 故答案为：． 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． (1)写出表中的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 【答案】(1) (2)解：如图所示为所求： (3) 【分析】（1）根据表格数据结合题意解答即可； （1）由表格数据描点之后，用光滑的曲线连线即可； （3）根据表格数据结合题意解答即可． 【详解】（1）解：时，V随α增大而增大，且增大速度越来越快（即相邻的V增量逐渐变大）： 时，，时，，增量为； 因此的增量大于，得； 的增量大于的增量，得，即， ∴； （2）略 （3）解：① 观察数据，在时取得最小值，因此约度（均合理）时燃气量最小， ② 火力最大（）时，要求燃气量至少低， 即满足， 函数在时，随增大而减小， 因此时，，时，； 函数在时，随增大而增大，并且增大的速度越来越快， 因此结合函数图象时，，时； 因此的取值范围约为． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了用描点法画函数图像以及利用函数图像解决实际问题： （1）将表格中的数据标在平面直角坐标系中，再用平滑曲线连接即可； （2）①观察图像得到1号杯和2号杯在时的水温，相减即可； ②观察图像，先找到1号杯降温至时的时间，再找到对应时间里2号杯的温度即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：①由图可知，当时，1号杯的水温为，2号杯的水温为， 则水温相差为：； ②由图可知，1号杯茶水经过约后，温度降至，2号杯茶水此时的温度大约为， 即从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为． 26．(25-26九下·北京丰台区·二模)某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 【答案】(1) (2)①，；②；③B 【来源】2026年北京市丰台区中考二模考试数学 【分析】（1）根据列表，描点，然后用光滑的曲线连接即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②根据函数图象可得随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小，即可求解； ③比较函数值的范围，得出的高度差较大，即可求解． 【详解】（1）略 （2）（1）①根据函数图象可得当液体的密度为时，约为，约为； ②根据图象和图象，可知：随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小， ∴当时，，且； ③∵当时，，， ∴的高度差较大， ∴更容易读取数据的是密度计B 27．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为 安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为 （保留整数）． 【答案】(1)①；②画图见解析； (2)①；②，． 【来源】北京市中国人民大学附属中学分校2025-2026学年九年级数学下学期中考二模模拟考试试题 【分析】（1）①求出函数解析式，将代入计算即可；②根据表格数值描点连线画出图象即可； （2）①充电10分钟后，模式一电量，从初始电量到共增加了，根据电流规则计算即可； ②由电流规则得，，根据题意得到，根据（1）②中函数图象可知恒成立，即，分、两个时段，分别将近似看做一次函数，求解即可． 【详解】（1）解：①已知模式一是一次函数，设， 将、代入得 解得：， ∴， 当时，， 即； ②如图所示： （2）解：①（安培）； ②由电流规则得，， ∵两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4， ∴， 即， 根据（1）②中函数图象可知恒成立， ∴， 当时，可近似根据待定系数法得， 此时解得； 当时，可近似根据待定系数法得， 此时解得， ∵保留整数， ∴； ∴综上所述，． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数基本性质 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 均为独立多小问解答题型，分值稳定5-6分， 属于中考固定实际应用压轴题型。命题全部采 用真实生活化、跨学科情境化设计等现实素材 逐年轮换：统一依托表格数据、平面网格坐标 2026北京卷 系图像双载体呈现变量对应关系，核心围绕函 2025北京卷 数三种表示方法（列表法、图象法、解析式 考点01函数基本 2024北京卷 性质 法)展开考查，重点考查描点作图、读取图表 2023北京卷 数据、函数增减变化、最值估算四大模块，同 2022北京卷 时常设数据补全、数值估算、方案对比、大小 比较类综合考题。整体难度梯度清晰，基础读 图操作简单，最后一问综合分析区分度高：近 五年命题持续贴合生活、科技、理化跨学科热 1/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，侧重结合多组曲线、多方案对比进行定量 估算与定性判断，图表信息提取、数形结合估 算类设问占比逐年提升。 五年真题分类园 考点01函数基本性质 1. 【答案】①)如图，即为所求； 个溶解度/g 180 170 160 150 140 130 120 110 100 88 50 20 1 0102030405060708090100温度/℃ ②)70（答案不唯一）：58（答案不唯一） 6)①57（答案不唯一）；②403（答案不唯一） 2. 【答案】1)6 (2)m=46: T=3 画出时的曲线： 2/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5050305050 5 12345678910 3)07;②1 3. 【答案】1)1.0 (2) 如图所示，即为所画图像， h/cm 13 2 1 98 7 654321 100200300400.500VmL 3)1.2,8.7 4. 【答案】 (I)表格如下： X 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 3/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 x1+x2 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 0.98 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 9 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (Ⅱ)函数图象如下； 4 ● 3210987 654 2 1 012345678910111213x (1)11.3: (2)< 5. 【答案】1)23.20m: y=0.05(x-8)2+23.20 (2)< 一年模拟练测园 1. 4/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P(kg/m2) 10 9 B 87 6 【答案】1) 5 A 432 20406080100120140c(mg/L) ①40 ②20≤c≤93 (2) )A,23 2. 【答案】I) 120 100 80 60 40 20 0 0 5101520253035 (2)①甲肥，②8≤x≤20；③小于 3 【答案】)片=5x ②) 函数图象如图所示： 5/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 能量消耗值（千卡） 3751 50 325 0 10203040506070 时间x(分钟) (3)117;280 4. 【答案】1)6 2) 解：如图，曲线即为所求： 川元 r- 6408000 2 3 L- 456789x/天 3)①一：②9 5. 【答案】1) yc与t之间关系的函数图象如图： 6/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 6 V BC 4 可510152025303540455055607 (2)30 3)6 4)12.5 3 6 【答案】1)5.0 (2) 下图为所求： AW/ 5 10 8 7 5 4 3 2 01234567891011121314151617/天 3)①5；②10%，140 7. 【答案】(1)7.69 2) 结合表中数据，画出函数的图像，如下图所示， 7/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.6 8.5 ----r- 8.2 8.1 8.0 7.9 7.8 7.7 7.6 326 结合数据，利用函数图像可以推断， 当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为51度： 3)①57度：②7.9,8.0,81 8. 【答案】) 如图，片与的函数图象即为所求： 864 120 。 6 2 可20406080100120x (2)50,9.7 3)B 9 【答案】1)5 (2)32,51, 8/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作图如下： c: 050503030605 12345678910 3)①7；②b<a<c 10. 【答案】1)5 (2) 绘图如下图所示： 100 00000 44202010 0 12345678910117 6)①1：②=：131 11. 【答案】1)3.6 9/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2) S 与t, S与t的函数图象如图所示： S/dm2 3 9 --1----1--1----- 87 6 54 32 00.511.522.533.544.55tmin 3)①1.25：②137.3 12. 【答案】a)6,(克)与时间x (分钟)的函数图象如图所示； 08 4 2 10 6 4 O246810121416182022x ① ②A 2)C: 3)11.25 13. 【答案】(1)750 (2) 10117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的图象如下： 路程/m 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 20406080100120140160180200220240260280300时间/s 3)② (4)5.5 14 【答案】(1)168页 个yP) 40 35 30 1,3. 20 (2) 15 10 5 0 1 23456789x 3)四 (4)五 (6)19 15. 【答案】(1)16 11/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/ 100 90 70 60 2) 50 30 20 10 51015202530354045tmin32 3)①24，②34 16 【答案】1)10 本ts 44 40 36 32 28 (2)24 0 16 > 8 4 0123456789101112dmm 3)①9.5②4.4 17. 【答案】1)7：6 12/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 累计额（万元）4 260 240 208 1 60 -1 -- - 14 t (2)① 120 :②6 100 4020 23456789101112经营时长（月） 3)8 18. y个 100 90 y 80 0 60 【答案】(1) 50 40 3 20 10 o 1 234567891011x 2)5.5. 66.0 (答案不唯一) 3)> 19 【答案】1)4 13117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 100 000 (2)93, 50 0 30 20 10 O12345678910x批次 (3)①10：②48 20 1.1 1.05 1 - 0.95 0.9 0.85 【答案】(I) 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 -20-10 01020304050x (2)20 3)10或40 21. 7 6 5 4 【答案】(I) 2 0■ 02030405060708090x (2)D 8 3)①B②17 22 14117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)6 55 50 45 40 35 2) 30 2 10 5 m=46 12345678910x 3)①7：②1 23 个Hz 1300 1200 1100 1000 900 800 700 【答案】I) 600 500 400 300 200 100 102030405060708090100110120L/cm ②)13（答案不唯一）： ①③④ 3) 24 【答案】(1)m≈0.18 (②)解：如图所示为所求： 15117 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0.8 7 0.6 03 0. 0102030405060708090100a 50°≤a≤65° 3) 25. TIC 90 80 70 60 50 【答案】(1)40 30 20 10 10 20304050607080t/min 2)①12，②19；43 26 h/cm 14 12 10 8 【答案】(I) 6 4 2 00.20.40.60.81.01.21.41.6pgcm3 2)①6.9,5.0：②<；③B 27 16117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Y/% 1 Y 90 60 【答案】I)① ② 50 40 30 20 10 40 O51015202530tmin (2)①8.5：②4,26 17117