第7章 7.2 球的切、接问题（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦球的切接问题，通过构造直角三角形、补形法等建立空间关系，系统训练几何体与球的位置关系判定及半径计算，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |柱体与球|2题|轴截面勾股定理|圆柱/正方体与球的半径关系推导| |锥体与球|4题|补形法/方程思想|三棱锥、正四棱锥外接球模型构建| |台体与球|1题|分类讨论球心位置|正四棱台上、下底面外接圆与球心距关系| |综合应用|3题|二面角转化/数据建模|空间几何体性质与球的切接综合应用|

课时冲关40　球的切、接问题 一、单选题 1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A．π　　 B. C.　　　 D. 解析：C　[设圆柱的底面半径为r，则r2＋2＝12，解得r＝或r＝－(舍去)，所以圆柱的体积V＝πr2h＝π×2×1＝.] 2．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(　　) A．100 π B．68 π C．52 π D．50 π 解析：A　[设球的半径为r，则r2＝(8－r)2＋42，解得r＝5，所以球的表面积为4πr2＝100π.] 3．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆， ∵正方体棱长为1， ∴AC＝CD1＝AD1＝. ∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝×＝. ∴S＝πr2＝π×＝.] 4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝4，点P为B1C1的中点，则四面体PABC的外接球的体积为(　　) A.π B.π C.π D．41π 解析：A　[如图，分别取AC，A1C1，BC的中点M，N，Q， 连接MN，PQ，MQ，NP，则MN∥CC1∥PQ，因为CC1⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，PQ⊥平面ABC，因为AB⊥BC，所以M即为△ABC外接圆的圆心，所以四面体PABC的外接球的球心O在MN上，设OM＝x，四面体PABC的外接球的半径为R，则OA＝OP＝R，AM＝AC＝2，MQ＝NP＝AB＝2，则R2＝8＋x2＝(4－x)2＋4，解得x＝，所以R＝＝，所以四面体PABC的外接球的体积为πR3＝π.] 5．已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　) A.π B．6π C．24π D．8π 解析：A　[设PA＝PB＝PC＝2x，E，F分别为PA，AB中点，∴EF∥PB，且EF＝PB＝x，∵△ABC为边长为2的等边三角形，∴CF＝，又∠CEF＝90°，∴CE＝，AE＝PA＝x，在△AEC中，由余弦定理cos ∠EAC＝，作PD⊥AC于D，∵PA＝PC，∴D为AC中点， 又cos∠EAC＝＝，∴＝，解得x＝，∴PA＝PB＝PC＝，又AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC两两垂直，即三棱锥P­ABC是以PA，PB，PC为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R＝＝，解得R＝，则球O的体积V＝πR3＝π×＝π.] 6．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，且三棱锥P­ABC的体积为，若三棱锥P­ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．4π B. C．8π D．16π 解析：D　[∵三棱锥P­ABC的体积为， ∴××(2)2×PA＝， ∴PA＝，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，即， ∵△ABC是边长为2的正三角形， ∴△ABC外接圆的半径r＝， ∴球O的半径为 R＝＝＝2， ∴球O的表面积为4π×22＝16π.] 二、多选题 7．正四棱锥P­ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为20π，则正四棱锥P­ABCD的高可能是(　　) A.＋1 B.－1 C.＋ D.－ 解析：CD　[依题意外接球的球心可能在圆锥内，也可能在圆锥外，如果在锥内如图： 其中O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心， ∵P­ABCD是正四棱锥，∴PO1⊥平面ABCD，BO1＝， 设外接球的半径为R，则BO＝PO＝R,4πR2＝20π，R＝， 在Rt△BOO1中，OO1＝＝，PO1＝PO＋OO1＝＋； 如果在锥外，如图： PO1＝PO－OO1＝－.] 8．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　) A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为π C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 解析：ABC　[设正方体的棱长为a， 则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a； 内切球的半径为棱长的一半，即a. ∵M，N分别为外接球和内切球上的动点， ∴MNmin＝a－a＝a＝－1， 解得a＝2，即正方体的棱长为2，外接球的半径R＝，内接球半径r＝1， ∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为π×13＝π，故A，B，C正确；线段MN的最大值为＋1，故D错误．] 三、填空题 9．在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为3，4，该正四棱台的外接球的表面积为100 π，则该正四棱台的高为__________． 解析：设正四棱台的外接球的半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5， 连接AC、BD相交于点E，连接A1C1，B1D1相交于点F，连接EF，则球心O在直线EF上，连接OB，OB1，如图1，当球心O在线段EF上时， 图1 则OB＝OB1＝R＝5，因为上、下底面边长分别为3，4，所以BE＝4，B1F＝3， 由勾股定理得OF＝＝4，OE＝＝3，此时该正四棱台的高为3＋4＝7，如图2，当球心O在FE的延长线上时， 图2 同理可得OF＝＝4，OE＝＝3， 此时该正四棱台的高为4－3＝1. 答案：1或7 10．已知四棱锥S ­ABCD，SA⊥平面ABCD，AD⊥DC，SA＝3，BC＝4，二面角S ­BC­A的大小为.若点S，A，B，C，D均在球O的表面上，则该球O的表面积为________． 解析：因为AD⊥DC，所以∠ADC＝90°， 因为点S，A，B，C，D均在球O的表面上， 所以四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB， SB⊂平面SAB，所以BC⊥SB，又AB⊥BC， 所以二面角S ­BC­A的平面角为∠SBA，所以∠SBA＝， 在Rt△ABS中，因为SA＝3，所以AB＝＝＝3， 由余弦定理可得：cos 60°＝＝＝， 即SB2－3SB－18＝0，即SB＝6或SB＝－3(舍去)， 所以SB＝6，所以Rt△ABC外接圆的直径为：AC＝＝5， 即四边形ABCD外接圆的直径为5， 因为SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S ­ACD外接球的半径为： R＝＝＝ 所以四面体S ­ABCD外接球的表面积为S＝4π()2＝52π. 答案：52π 学科网（北京）股份有限公司 $