第4章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦三角函数高考核心考点，涵盖任意角、弧度制及三角函数概念，按“概念理解-公式应用-性质探究”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确考试要求，方法指导归纳解题规律，真题训练巩固重难点，助力学生系统构建知识网络。 资料突出数学思想方法渗透，如用单位圆与三角函数线培养数学眼光，通过诱导公式推导训练数学思维。设计判断正误、选择填空及解答题分层练习，结合典例精讲突破终边相同角判断、扇形面积计算等考点，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

1．全面系统复习，深刻理解知识本质 (1)重视三角函数的概念的理解，熟练应用同角三角函数基本关系和诱导公式． (2)重视对三角函数图象和性质的研究： ①三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象和性质是考查知识的常见载体，是三角函数的基础； ②五点法画正弦型函数图象是三角函数图象变换的根本保证； ③复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理． (3)以两角差的余弦公式为基础，用代换法、诱导公式和同角三角函数的关系推出三角恒等变换的公式，明确公式的来龙去脉． 2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)象限角、三角函数值的符号判断． (2)弧度制与角度制的互化方法，弧度制下扇形的弧长和面积公式． (3)用诱导公式将任意的三角函数化为锐角三角函数的流程． (4)三角函数性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性)的确定与应用问题． (5)A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响及函数图象平移、伸缩变换的方法． (6)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求解析式． (7)化简，求值及三角恒等变换的方法与技巧． (8)三角形中边、角的求值． 3．重视数学思想方法的应用 (1)数形结合思想：在三角函数中数形结合思想有着广泛的应用，复习时要充分重视，如三角函数定义中的三角函数线，三角函数图象和性质，与三角函数有关的函数零点问题，三角函数的图象平移、伸缩、对称变换等． (2)函数与方程思想： ①在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数关系转化为未知数的表达式，列出方程，就把问题转化为含未知数的方程来解决； ②在含有参数的问题中，经常把参数和变量分离开，参数就变成变量的函数，通过求函数的值域来求参数范围； ③解三角形时，利用余弦定理建立方程求参数的值． (3)分类讨论思想： 三角函数的题目解答中，常常要用到分类讨论，比如： ①利用三角函数的定义求值时，要讨论角的终边位置． ②利用同角三角函数平方关系需要开平方时，要讨论正、负号的选取． ③当已知三角函数值求角时，要讨论角的范围． §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 ★[考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的　端点　旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为　－α　. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长为l，半径为r) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝　°　 弧长公式 l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　lr　＝　|α|r2　 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝　y　，cos α＝　x　，tan α＝　　(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 1．象限角 2．轴线角 3．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 4．若角α∈，则sin α<α<tan α. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(×) (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.(×) (3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) (4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．(×) 2．[多选]下列与角的终边相同的角是(　　) A. B．2kπ－(k∈Z) C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z) 解析：AC　[与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.] 3．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0　　　　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：A　[因为sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.] 4．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________. 解析：因为θ∈，所以cos θ＜0， 所以r＝＝＝－5cos θ， 所以sin α＝＝－，tan α＝＝－. 答案：－　－ 　　　角及其表示 [例1]　(1)设集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N　　　　　　　 B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ [解析]　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. [答案]　B (2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， ∴的终边落在第二、四象限，又＝ －cos ，∴cos ＜0，∴是第二象限角． [答案]　B 1．表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和角β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定nθ，(n∈N*)的终边位置的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． [注意]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角θ的终边逆时针旋转180°可得角θ＋180°的终边． 1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝x上，则角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为直线y＝x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝x上的角的取值集合为.] 2．[多选]若角α是第二象限角，则 可能是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：AC　[∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ< <＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时， 是第一象限角； 当k为奇数时， 是第三象限角．] 　　　弧度制及其应用 [例2]　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解]　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm. S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝(cm2)． (3)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10，α＝2. 弧长和扇形面积的计算方法 1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度． 2．从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． 3．记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积． 1．[多选]已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的是(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 解析：ABC　[设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得圆心角的弧度数是4或1.] 2．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算．如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆AA1和BB1，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角α和β(α和β的单位为弧度)，由此可计算地球的半径为________． 解析：如图所示，过点B作太阳光的平行线，与OA的延长线交于点C， 则∠B1BC＝β，∠BCO＝α，所以∠AOB＝β－α， 设地球半径为R，则根据弧长公式得R(β－a)＝L，所以R＝. 答案： 　　　三角函数的概念 ►[角度1]　利用三角函数的定义求值　 [例3－1]　(1)已知角α的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________. [解析]　设P(x，y)．由题意知x＝－，y＝m，所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为坐标原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝.所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，cos α＝－，tan α＝－，当m＝－时，cos α＝－，tan α＝. [答案]　－　± (2)[多选]角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值可取(　　) A. B．－　 C. D．－ [解析]　∵P(a,2a)为角α的终边上一点，且a≠0， ∴当a＞0时，sin α＝＝＝， cos α＝＝，∴2sin α－cos α＝； 当a＜0时，sin α＝－，cos α＝－， ∴2sin α－cos α＝－. 综上可知，2sin α－cos α＝±. [答案]　CD ►[角度2]　判断三角函数值的符号　 [例3－2]　(1) [多选]下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°<0 B．cos(－305°)>0 C．tan>0 D．sin 10>0 [解析]　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan<0，因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin 10<0. [答案]　AB (2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案]　C 三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(如例3－1)． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于(　　) A．－ B. C. D. 解析：D　[因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝－＋＝.] 2．[多选]若角α＝3 rad(rad为弧度制单位)，则下列说法正确的是(　　) A．sin α>cos α B．α是第三象限角 C．sin α>0 D．tan α>0 解析：AC　[因为1 rad≈57.3°，所以α＝3 rad≈171.9°为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，tan α<0，即B，D都错，A，C正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $