第10章 10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦计数原理中的相互独立事件、条件概率、全概率公式等核心考点，依据高考评价体系梳理“了解条件概率计算、独立性关系、乘法公式及全概率公式应用”的考查要求，通过近五年真题分析明确条件概率与全概率公式占比达60%的高频考点，归纳相互独立事件判断、条件概率求解、全概率公式应用三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养落地”，如以2023新课标Ⅰ卷信号传输题为例，用定义法与基本事件法突破条件概率计算，通过全概率公式“分解事件-求概率-代入公式”三步法培养数学思维与数据观念，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习教学。

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 §10.4　事件的相互独立性与条件概率、 全概率公式 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 　 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学 ★[考试要求] 1．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.2.了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率． 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝　P(A)P(B)　，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与　B　，eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))也都相互独立． 2．条件概率 (1)条件概率的计算公式： 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件　A　发生的条件下，事件　B　发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 　A　发生的条件下 　B　发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)； ②公式法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA) (2)条件概率的性质：设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝　1　； ②任何事件的条件概率都在　0和1　之间，即　0≤P(B|A)≤1　； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝　P(B|A)＋P(C|A)　； ④设eq \o(B,\s\up16(－))和B是互斥事件，则P(eq \o(B,\s\up16(－))|A)＝　1－P(B|A)　. (3)概率的乘法公式 由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝　P(A)P(B|A)　，我们称该式为概率的乘法公式． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝　，我们称上面的公式为全概率公式． 1．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × ) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ ) (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．( √ ) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．( √ ) 2．若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(AB)的值是(　　) A.eq \f(1,27)　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9)　　 D.eq \f(1,4) 解析：A　[由P(AB)＝P(B)P(A|B)， 可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).] 3．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为(　　) A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17 解析：C　[设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率是0.68.] 4．下列事件A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数” D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时” 解析：A　[对于A，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A，B是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．] 　相互独立事件的概率 [例1]　(1)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立　　 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 [解析]　事件甲发生的概率P(甲)＝eq \f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq \f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq \f(5,6×6)＝eq \f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． [答案]　B (2)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． [解析]　甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6； 若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6. ∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18. [答案]　0.18 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． [多选](2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解析：ABD　[对于AB，由相互独立的积事件的概率乘法公式可知AB正确；对于C，三次传输译码为1，则可能是三次全部译为1，或者有两次译为1，则概率为Ceq \o\al(2,3)β(1－β)2＋(1－β)3，故C错误；对于D，可以采用特值法或者作差法计算．三次传输方案译为0的概率为Ceq \o\al(2,3)α(1－α)2＋(1－α)3，单次传输译为0的概率为1－α，而Ceq \o\al(2,3)α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝(1－α)α(1－2α)＞0，所以D正确．] 　条件概率 [例2]　(1)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　　) A．0.8　　 B．0.4 C．0.2　　 D．0.1 [解析]　根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P(A)＝eq \f(50,70)＝eq \f(5,7)， 由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50＋60－70＝40人，则P(AB)＝eq \f(40,70)＝eq \f(4,7)，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8. [答案]　A (2)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　　) A.eq \f(1,4)　　 B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,9)　　 D.eq \f(5,9) [解析]　由题设，得P(B)＝eq \f(33,44)＝eq \f(27,256)，P(AB)＝eq \f(A\o\al(3,3),44)＝eq \f(3,128)，故P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(2,9). [答案]　C 条件概率的两种求解方法 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.75 D．0.8 解析：D　[设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.6,0.75)＝0.8.] 2．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为(　　) A.eq \f(3,13) B.eq \f(4,13) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5) 解析：A　[设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B为“学生丙第一个出场”，则P(A)＝eq \f(A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq \f(78,120)＝eq \f(13,20)，P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq \f(18,120)＝eq \f(3,20)，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(3,13).] 全概率公式的应用 [例3]　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． [解]　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)． 为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}， i＝1,2,3，且H1，H2，H3相互独立， 则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 故P(A1)＝P(H1eq \o(H,\s\up16(－))2eq \o(H,\s\up16(－))3＋eq \o(H,\s\up16(－))1H2eq \o(H,\s\up16(－))3＋eq \o(H,\s\up16(－))1eq \o(H,\s\up16(－))2H3) ＝P(H1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(H2)·P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H2eq \o(H,\s\up16(－))3＋H1eq \o(H,\s\up16(－))2H3＋eq \o(H,\s\up16(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(H1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(H3)＋P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41， P(A3)＝P(H1H2H3) ＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14. 于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458. 利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算． 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3,0.4和0.5. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率． 解：(1)设事件Ai＝“小明与i(i＝1,2,3)类棋手相遇”，根据题意P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.25，P(A3)＝0.25，记事件B＝“小明获胜”，则有P(B|A1)＝0.3，P(B|A2)＝0.4，P(B|A3)＝0.5，由全概率公式得，小明在比赛中获胜的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.3＋0.25×0.4＋0.25×0.5＝0.375， 所以小明获胜的概率为0.375. (2)小明获胜时，与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为P(A1|B)＝eq \f(PA1B,PB)＝eq \f(PA1PB|A1,PB)＝eq \f(0.5×0.3,0.375)＝0.4. $