26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数新授课同步练，分层设计梯度清晰，知识覆盖从概念理解到综合应用，通过基础巩固、技能强化与实际问题解决，培养运算能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|顶点坐标、开口方向、对称轴等基本概念|选择题为主，直接考查核心概念辨析，夯实基础| |★★☆|配方转化、图像平移、顶点式表达等技能|填空题，强化配方运算与图像变换技能，衔接基础与综合| |★★★|函数表达式求解、实际利润问题、阅读材料应用等综合能力|解答题，结合生活情境（如销售利润）与材料阅读，培养模型意识与推理能力|

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像和性质 难度：★☆☆ 1. 二次函数 y = x² - 2x + 1 的顶点坐标是（ ） A. (1, 0) B. (-1, 2) C. (2, 1) D. (0, 1) 2. 二次函数 y = -x² + 4x - 3 的图像开口方向和对称轴分别是（ ） A. 向上，x = 2 B. 向下，x = 2 C. 向上，x = -2 D. 向下，x = -2 3. 将二次函数 y = x² - 4x + 3 化成 y = a(x - h)² + k 的形式，正确的是（ ） A. y = (x - 2)² - 1 B. y = (x - 2)² + 1 C. y = (x + 2)² - 1 D. y = (x + 2)² + 1 4. 二次函数 y = 2x² + 4x + 1 的图像与 y 轴交点的坐标是（ ） A. (0, 1) B. (1, 0) C. (-1, 0) D. (0, -1) 5. 抛物线 y = -x² + 6x - 5 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A. (3, 4)，x = 3 B. (-3, 4)，x = -3 C. (3, -4)，x = 3 D. (-3, -4)，x = -3 6. 二次函数 y = x² - 2x - 3 的图像与 x 轴交点的个数是（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 7. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像顶点为 (-1, 2)，且过点 (0, 1)，则 a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8. 二次函数 y = -2x² + 8x - 6 的最大值是（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 9. 抛物线 y = x² - 4x + 3 可由抛物线 y = x²（ ） A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 10. 如图，抛物线顶点为P(1,3)，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ） A.x>3 B.x<3 C.x>1 D.x<1 11. 抛物线y=x2-6x+5 与 x 轴的交点坐标为（） A.(1,0),(5,0) B. (-1,0),(-5,0) C. (1,0),(-5,0) D. (-1,0),(5,0) 12. 若二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示（开口向下，与 y 轴交于正半轴），则下列结论正确的是（ ） A. a > 0，c > 0 B. a < 0，c > 0 C. a > 0，c < 0 D. a < 0，c < 0 难度：★★☆ 13. 已知二次函数 y = x² - 4x + 5，用配方法化为 y = a(x - h)² + k 的形式是 y = ______。 14. 二次函数 y = -x² + 2x + 3 的图像顶点坐标是______，对称轴是______。 15. 将二次函数 y = x² - 2x + 3 配成顶点式为 ______，顶点纵坐标为______。 16. 二次函数 y = 2x² - 8x + 6 的图像可由抛物线 y = 2x² 先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到。 17. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像过点 (0, -3)、(1, -4)、(-1, 0)，则这个二次函数的表达式为______。 18. 二次函数 y = x² - 4x 的顶点坐标为_____，将该顶点代入直线y =x-3，函数值为______。 难度：★★★ 19. 已知二次函数 y = x² - 4x + 3。 (1) 用配方法求该函数的顶点坐标和对称轴；。 (2) 求该函数图像与 x 轴、y 轴的交点坐标； 20. 已知二次函数 y = -x² + bx + c 的图像过点 A(0, 3) 和 B(2, -1)。 (1) 求该二次函数的表达式； (2) 求该函数图像的顶点坐标和对称轴； (3) 判断点 C(1, 4) 是否在该函数图像上，并说明理由。 21. 某商店销售一种商品，每件成本 20 元，经市场调查发现：当售价为 30 元时，每天可卖出 200 件；售价每上涨 1 元，每天少卖出 10 件。设每件涨价 x 元（x 为正整数），每天的销售利润为 y 元。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 当每件涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3) 若每件涨价3元，求当天的销售利润。 22. 已知二次函数 y = x² -2x -3。 (1) 求抛物线的对称轴； (2) 设点 P(0, y₁)、Q(2, y₂) 在该抛物线上，直接比较 y₁ 、 y₂的大小； (3)若 0 ≤ x ≤ 3，直接写出函数的最小值。 23. 抛物线 y = -x² + 2x + 3 。 (1) 求抛物线与x轴、 y轴交点坐标； (2) 当x=2时，求对应的函数值； (3) 直接写出抛物线的开口方向与顶点坐标。 24. 阅读材料： 对于二次函数 y = ax² + bx + c，其顶点坐标为 ( , )。若设 h = ，k = ，则二次函数可表示为 y = a(x - h)² + k。 利用这一性质，可以快速求出二次函数的顶点和对称轴。 请根据上述材料，解答下列问题： (1) 若二次函数 y = x² - 6x + 5，求其顶点坐标； (2) 若二次函数 y = 2x² + 4x - 1，求其对称轴和最小值； (3) 已知二次函数 y = ax² + 2x + 3 的顶点在 x 轴上，求 a 的值。 25.如图，过G(0,2)的直线与抛物线y=x2+1交于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，分别交x轴于E、F，求OE·OF的值。 参考答案 1. A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C 7. B 8. B 9. B 10. C 11. A 12. B 13. y = (x - 2)² + 1 14. (1, 4)，x = 1 15. y = (x-1)² + 2 2 16. 右，2，下，2 17. y = x² - 2x - 3 18.(2, 4) -1 19. (1) y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1，顶点 (2, -1)，对称轴 x = 2 (2) 令 y = 0：x² - 4x + 3 = 0 → (x - 1)(x - 3) = 0 → 与 x 轴交点 (1, 0) 和 (3, 0) 令 x = 0：y = 3 → 与 y 轴交点 (0, 3) 20. (1) 将 (0, 3) 代入：c = 3；将 (2, -1) 代入：-4 + 2b + 3 = -1 → b = 0 所以 y = -x² + 3 (2) y = -x² + 3 = -(x - 0)² + 3，顶点 (0, 3)，对称轴 x = 0（y 轴） (3) 将 x = 1 代入 y = -x² + 3，得 y = -1 + 3 = 2 ≠ 4 所以点 C(1, 4) 不在该函数图像上 21. (1) 涨价 x 元后，售价为 (30 + x) 元，销量为 (200 - 10x) 件 y = (30 + x - 20)(200 - 10x) = (10 + x)(200 - 10x) = -10x² + 100x + 2000 (2) y = -10x² + 100x + 2000 = -10(x - 5)² + 2250 当 x = 5 时，y 最大 = 2250 元 即每件涨价 5 元时，利润最大，为 2250 元 (3) 当x=3时，y=2210。 22. (1) 对称轴直线x=1 (2) 代入得y1=-3，y2=-3，y1=y2 (3) 最小值为-4 23. (1)x轴：A (-1, 0)、B (3,0)；y轴：C (0, 3) (2)x=2,y=3 (3)开口向下，顶点(1,4) 24. (1) y = x² - 6x + 5，a = 1，b = -6，c = 5 h = = = 3 k = = = -4 顶点坐标 (3, -4) (2) y = 2x² + 4x - 1，a = 2，b = 4 对称轴 x = = - = -1 最小值：x = -1 时，y = 2×1 - 4 - 1 = -3 (3) 顶点在 x 轴上，即 = 0 b = 2，所以 = 0 → 12a = 4 → a = 25. 设AB的解析式为y=kx+2， ∴-1=0 x1x2=-4∴OE·OF=-x1x2=4。 学科网（北京）股份有限公司 $