专题3.2 代数式的值 考点变式培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦代数式的值这一核心知识点，系统梳理其定义、三步求法（代入、抄写、计算）及易错提醒（如负数、分数代入需加括号等），并进阶至整体代入求值（核心思想、适用题型、凑整体方法），构建从基础到拔高考点的学习支架。 资料以5类典型题型（含例题及变式）为框架，突出整体代入这一重难点，通过程序流程图、图形规律探索等实例，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生举一反三，强化知识薄弱点。

专题3.2 代数式的值（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 4 6 9 11 知识点一：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 1. 核心思想 不单独求字母的值，把整个代数式看成一个整体代入计算，是七年级上册高频拔高考点。 2. 适用题型 题目条件无法求出单个字母、或不用求字母，只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 3. 解题方法 ① 观察所求代数式，变形、拆分、提公因式； ② 凑出题目已知的整体结构； ③ 整体替换、直接计算结果。 4. 经典结论模板 已知，则 、。 5. 易错提醒 整体代入不需要解方程、不需要求未知数；凑整体时注意倍数关系、符号变化；切忌强行解未知数造成计算复杂、出错。 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 【例1】已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【变式1-1】已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】2个正方形，用2块地砖可拼得5个正方形，用3块地砖可拼得8个正方形，……，按照这样的规律，则用10块地砖可以拼得的正方形的个数是（     ） A．25 B．27 C．29 D．33 【变式1-3】如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 【例2】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【变式2-1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【变式2-2】当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【变式2-3】生活中常用地砖按规律铺设人行道的地面，如图，某段地面用“8字砖”铺设，1块地砖有若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型3 程序流程图与代数式求值】 【例3】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3-2】按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【变式3-3】如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【题型4 数字类规律探索】 【例4】如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【变式4-1】位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【变式4-2】按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】将2020年2月2日记成20200202，这个数字从左往右、从右往左读都一样，我们称这样的数为“世纪吉祥数”．从2000年到2099年这样的“世纪吉祥数”有（    ）个． A．15 B．12 C．9 D．3 【题型5 图形类规律探索】 【例5】下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【变式5-1】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【变式5-3】用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 代数式的值（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 4 6 9 11 知识点一：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 1. 核心思想 不单独求字母的值，把整个代数式看成一个整体代入计算，是七年级上册高频拔高考点。 2. 适用题型 题目条件无法求出单个字母、或不用求字母，只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 3. 解题方法 ① 观察所求代数式，变形、拆分、提公因式； ② 凑出题目已知的整体结构； ③ 整体替换、直接计算结果。 4. 经典结论模板 已知，则 、。 5. 易错提醒 整体代入不需要解方程、不需要求未知数；凑整体时注意倍数关系、符号变化；切忌强行解未知数造成计算复杂、出错。 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 【例1】已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 【变式1-1】已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 【变式1-2】2个正方形，用2块地砖可拼得5个正方形，用3块地砖可拼得8个正方形，……，按照这样的规律，则用10块地砖可以拼得的正方形的个数是（     ） A．25 B．27 C．29 D．33 【答案】C 【分析】观察图形，归纳出用块地砖可以拼得的正方形的个数规律，再代入即可求解． 【详解】解：用1块地砖得到的正方形的个数为， 用2块地砖可以拼得的正方形的个数为， 用3块地砖可以拼得的正方形的个数为， …… 依此类推，用块地砖可以拼得的正方形的个数是， 当时，， ∴用10块地砖可以拼得的正方形的个数是29． 【变式1-3】如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【分析】先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 【例2】已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用已知得出，，，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 【变式2-1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先根据相关定义确定各未知量对应的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数， ∴，，，， ∴，， 因此，且， ∴． 【变式2-2】当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题运用整体代入法求解，先根据时代数式的值求出的值，再利用奇次幂的符号性质，将代入后代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴把代入得 ， 整理得：， 当时，代入代数式得： ， 即当时，这个代数式的值是． 【变式2-3】生活中常用地砖按规律铺设人行道的地面，如图，某段地面用“8字砖”铺设，1块地砖有若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【题型3 程序流程图与代数式求值】 【例3】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 【变式3-1】如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意找出规律，进而解题． 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 【变式3-2】按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 【变式3-3】如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 【题型4 数字类规律探索】 【例4】如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，，易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 【变式4-1】位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 【变式4-2】按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律． 【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3． ∴第个数的分母为． 即第个数为． 当时，． 【变式4-3】将2020年2月2日记成20200202，这个数字从左往右、从右往左读都一样，我们称这样的数为“世纪吉祥数”．从2000年到2099年这样的“世纪吉祥数”有（    ）个． A．15 B．12 C．9 D．3 【答案】B 【分析】先确定该范围内八位数日期的结构，根据回文数的性质推导各位置数字关系，仅需统计合法月份的数量即可得到结果. 【详解】解：∵ 2000年到2099年的日期写为八位数形式是，且 ，又∵ “世纪吉祥数”是回文数，满足， ∴ ，即日期恒为日，所有合法月份都存在日，只需统计合法月份的个数，合法月份满足，为的整数： 当时，，共9种合法月份； 当时，，得，共3种合法月份； ∴ 总个数为. 【题型5 图形类规律探索】 【例5】下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 【变式5-1】勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 【变式5-2】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】C 【分析】观察图形及数据，根据发现的规律求解即可． 【详解】由图可得：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， 第个图中有个圆点， 第⑦个图中圆点的个数是． 【变式5-3】用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $