16.3.2 第1课时 完全平方公式-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦完全平方公式，课堂导入先回顾多项式乘法及平方差公式，再通过计算多项式乘积发现规律推导公式，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用多项式乘法法则与几何图形（面积法）双重证明公式，体现推理意识与几何直观，以“首平方，尾平方，积的2倍放中间”简记培养抽象能力。包含例题、分层训练及公式变形应用，小结系统整理常用结论，助力学生理解本质提升应用能力，为教师提供完整教学资源。

第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 难点 重点 完全平方公式的推导及应用. 灵活应用完全平方公式进行计算. 学习重难点 3 回顾旧知 1. 多项式与多项式相乘 (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 2. 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 4 新课讲授 知识点 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 5 (1) 用多项式乘法法则证明 (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 公式证明 6 (2) 借助几何图形证明 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 . 7 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 所以(a-b)2=a2-2ab+b2. (2) 借助几何图形证明 (a-b)2 (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 a2 8 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 9 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2) (x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 练一练 10 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a +b)2= a2 + 2 ab + b2 (4m)2 +2•(4m) •n +n2 +8mn +n2； 例题解读 11 (a - b)2= a2 - 2 ab + b2 y2 (2) (y- )2. =y2 -y + 解： (y- )2= + ( )2 -2•y• 12 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； 针对训练 13 (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10 404. (2) 992. 992 = (100 –1)2 =1002-2×100×1+12 =9 801. 例2 运用完全平方公式计算： 利用完全平方公式时注意： (1)先选择公式； (2)准确代入公式； (3)化简． 总结 14 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20252－2025×4048＋20242. ＝(2025－2024)2＝1. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20252－2×2025×2024＋20242 针对训练 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36－16＝20； 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 熟练掌握完全平方公式的变形： 总结 17 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么? (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，（a-b)2=a2-b2. 18 完全平方公式 法则 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 常用 结论 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2 小结 19 (1) (6a+5b)2； (2) (4x-3y)2 ； (3) (2m-1)2 ； (4)(-2m-1)2 . 1. 运用完全平方公式计算: 随堂小测 解：原式=36a2+60ab+25b2； 解：原式=16x2-24xy+9y2； 解：原式=4m2-4m+1； 解：原式=4m2+4m+1. 20 2. 已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 . 分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值. 解：因为m+n=8，mn=6， 所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52， m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值. 21 3. 已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 22 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 23 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $