2026年第三届“玄符杯”线上全国邀请赛——苏州分赛数学试题

2026届第三届“玄符杯”线上全国邀请赛 苏州分赛 数 学 本试卷共27小题，满分130分，考试时间150分钟： 注意事项： 1.答题前，考生务必在微信小程序“班级小管家”中加入群内所发的班级链接，并在班级内设 定自已的姓名与微信昵称一致； 2.答题前的15分钟，群内会发布“试卷”、“答题卡”等重要考试文件，考生根据自己的需求 进行打印或在线上作答：考试结束前的30分钟，群内会发布提交答卷的链接，考生根据作答 情况拍照上传答卷内容，要求：照片清晰、拍摄视角端正.将根据各考生作答情况在考试后的 几分钟内关闭提交系统： 3.在提交答卷时，选择题仅需在对应的电子答题卡上点击所作答的选项即可： 4.在提交答卷时，非选择题请按照上述要求拍照上传，注意每一道题有对应的答题区域，每一道 题可以上传多张照片 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.选择题的答案请在电子答题卡相应位置上手动选择. 1.数据1、2、3、…、500（即1到500内的所有自然数)的中位数是 A.250 B.250.5 C.251 D.500 2.已知锐角a、B满足2sia=2cosB=1,则tan(+)= 2 4. 3 B.1 c D.l+5 4 3.若口ABCD的其中一条高h=5,一组邻边长分别为4和7，则口ABCD的面积为 A.20 B.28 C.35 D.25 4.一个周长为60的正多边形，边长为6，则其一个内角度数为 A.144° B.150 C.128° D.135° 5.非零实数a满足号+号2，则代数式了+a的值为 A.8 B.12 C.16 D.20 6.不透明袋子中装有x个红球，3个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋中摸出2颗 球，2颗球均为红色的概率为，则x的值为 6 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知有理数x、y、z均不为0，（π-x)(元-y)(元-z)=π3-xπ2+y元-2，则x2+y2+z2的值为 A.3 B.9 C.35 D.6 4 数学试卷第1页（共6页) 8.如图，己知梯形ABCD的面积为20，高为6，点E是线段CD的中点，平面内有一直线1， 分别交直线AB、BE、AD、DC于F、G、M、N四点，若FG:GM:MN=1:3:2,则△BFG 的面积为 5 B.10 13 C. 27 D.9 50 B G M D (第8题图) 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 9.一个圆锥的高为h,其底面半径长为r,满足h=√3r,则其沿一条母线的展开图的圆心角度 数为▲ 10.因式分解：x2y+2xy2+y3=▲ 11.方程x+bx+c=0的解为x=2、x=3,则b的值为▲ 12.平面直角坐标系x0中，直线1：y=在+b交y=2 于A(3,m)、B(%T),则k的值为▲ 13.如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB=3,己知点E是线段BC下方的一个动点，并且满足 ∠BAE+∠AED+∠EDC=I20°，则△AED面积的最大值为▲· B B D (第13题图) (第15题图) 14.均不为0的样本数据A:x、x、x、、x,B:2、x、x、、x的平均数分别为xA=5, x=60,则样本数据A的方差s为▲一 15.如图，⊙P和⊙Q相交，一交点为A,点B、C分别在⊙P、⊙Q上，点D是线段BC中点， DP⊥DQ,∠APB+∠AQC=180°，若DP.DQ=20,则凸五边形APBCO的面积S为▲ 数学试卷第2页（共6页) 16.在菱形ABCD中，cosA= 号作BE1AD于点E,点P在线段BC 上，将菱形ABCD沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为G、 H,若点D在线段GH上. （1)D-▲： HG (2)设线段CD交线段FH于点M,则CM G MD= (第16题图) 三、解答题：本大题共11小题，共90分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出 必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔 17.（本题满分6分) 如图，已知△ABC∽△DEF,相似比为1：3，∠F=45°，∠A=75°，BC=8,求DF的长. D E (第17题图) 18.(本题满分6分) 在温老师的带领下，三名毕业生A、B、C从下列四句名言中选择一句作为毕业纪念语（每 人选择一句，三人选择不可重复)： a. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 (1)按照A、B、C的顺序依次进行选择， 海内存知己，天涯若比邻 直接写出B选到名言a的概率： 桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情 (2)求三人选到a、c、d三句名言的概率 d 以梦为桨，不负韶华 19.(本题满分6分) 实践活动调查 小氢进行社会实践活动，在全校1200名 活动目的：调查中考后学生情绪特征； 学生中抽取200名学生进行调查，记载 样本容量：m; 数据频数频率统计表（不完整）： 实践记录表如右： 情绪 频数 频率 (1)直接写出m、n的值； 焦虑 20 (2)根据题干信息，估计全校的情绪 期待 0.3 “不舍”的人数 喜悦 n 不舍 70 提出建议：有较多人出现焦虑情绪，应适当调整，做好 中高衔接。 数学试卷第3页（共6页） 20.（本题满分7分) 设A= +V5 +V5 B=3+m45-cos45°，比较二者的大小 21.(本题满分7分) 在边长为8的正方形ABCD中作一条射线BE,点E在线段CD上（不与C、D重合），过 点A、C、D作射线BE的三条垂线，垂足分别为F、G、H. (1)求证：BF=CG; (2)求证：DE2=EH2+FG2: (3)求L=AF+CG+DH的取值范围. G G H E B 图① 备用图 (第21题图) 22.(本题满分7分) 在平面直角坐标系O中二次函数C:y=x-1,有两条正比例函数4：y=r、人：y=-二x m 分别交二次函数C于A、B、P、Q四点，且横坐标满足xp<x4<0<x。<x (1)当m=1时，探究线段AB和PQ的数量和位置关系，并证明： (2)已知>0，设线段AB、PQ的中点分别为M、N,求证：直线N恒过一定点. 23.(本题满分7分) 定义：若一元二次方程x2+bx+c=0的两根之比为N(N为大于1的正整数)，则称该一 元二次方程为N倍根方程。 (1)对任意满足ab=1的非零实数a、b,判断方程2'+3x+b=0是否属于二倍根方程； (2)求证：一元二次方程a+bx+c=0为N倍根方程，则代数式b 一定不是整数. ac 数学试卷第4页（共6页) 24.（本题满分10分) 小祈将两把含30°的直角三角板按如图方式摆放，两顶点重合在点C,△CDE绕点C旋转， 连接AE,取线段AE中点F (1)求证：△BFD为等边三角形： (2)当△BD面积的最大值是165时，若2+C=6,求△4BC面积S的值。 DE CE E 图① 备用图 (第24题图) 25.（本题满分10分) 在四边形隧道ABCD中，顶面AB水平，CD是水平面，坡面AD、BC的坡度分别为iAD=6:1、 ic=3:1. (1)求0的值： BC (2)若CD=30,AD=2√37，三名游客E、F、G并排而行，EF=FG=2,三名游客向 上跳望，视角满足∠AEB≥∠AGB≥∠AFB,直接写出线段DE长度的取值范围. (温馨提醒：坡度指坡面与水平面锐角夹角的正切值) B X◆X EFG EFG 图① 备用图 (第25题图) 数学试卷第5页（共6页） 26.(本题满分12分) 如图，玩家P、Q、R进行“跑灯”游戏，游戏规则如下： 规则一：游戏场地为正六边形ABCDEF,其外接圆为⊙O,A、B、C、D、E、F依次 按照逆时针排列，每点处都有一盏灯；玩家P、Q、R分别从C、B、F三点出发，以@、 心，、@的角速度顺时针在⊙O上运动，重新回到起点处即停止： 规则二：当玩家到达一顶点处时，点亮此处的灯，此后灯持续亮T秒：起点处刚刚出发时不 点亮，到达起点停止前会点亮：持续亮期间被玩家经过，则重置亮灯时间回T秒： 规则三：玩家Q先出发，玩家P、R相继在玩家Q出发t、t,秒后出发：记六盏灯被全部点 亮的时长为k秒，玩家获得k点积分；若出现六盏灯刚刚被点亮时，若干盏灯即刻熄灭的情 况，则仍记作k>0.【提示：角速度指单位时间(s)内转过的圆心角度数，单位为°s】 (1)当1=5=0，==@时，若k>0,则T的最小值为▲一； (2)若4仙，：@，=1：2：5，T=180,为获得最多积分k,求1和k的值. (两问答案均用含@的代数式表示) A 一玩家R出发点 E "o 玩家Q出发点 D 玩家P出发点 (第26题图) 27.(本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中有直线1：y=+b(k>0,b<0),平面内有四个圆，满足同时 与x轴，y轴和直线1相切，圆心分别为A、B、C、D四点，其中点A、B分别在第一和 第三象限，点C、D在第四象限，且横坐标满足x。>xD,则： (1)求证：AB⊥CD; (2)设直线1交坐标轴于点M、N,设点O到MN的距离为d,N=L,若L=d+4,求 △ABC外接圆周长C的取值范围.（结果中π保留) 数学试卷第6页（共6页)2026届第四届“玄符杯”线上全国邀请赛 苏州分赛 数学参考答案及评分标准 第一部分客观题部分 一、选择题 题号 1 2 3 4 6 8 答案 B B A A A D A B 填空题 题号 9 10 11 12 答案 180° y(x+y)2 -5 3 题号 13 14 15 16 答案 5 35 20 8-2W万.V7 9； 4 注意： 16题每空1分！ 第二部分主观题部分 三、解答题 17.(6分)（注意：列方程求出未知数值及其他等效方法同样给分） 由△ABC∽△DEF及相似比1：3可得，∠D=∠A=75°且EF=3BC=24, 故∠E=180°-∠D-∠F=60°，(2分)作DH⊥EF,(辅助线1分) 设EH=m即可得DH=FH=√3m,DF=6m,EF=(1+V3),（1分) 故DF、V6 F1+3' 解得DF=36√2-126.（答案2分） 18.(6分) ()子：3分) (2)原命题等价于从四句名言中去除一句名言b的概率，(1分) 共有四种等可能情形，故概率P=}.(2分) 19.(6分)（注意：第一问写单位扣1分，答句未写不扣分） (1)m=200(2分)，n=0.25(2分)： (2)1200×70 200 =420(人)(2分)：答：估计全校的情绪“不舍”的人数为420人. 数学参考答案及评分标准第1页（共4页） 20.（7分)（注意：计算错误，有计算过程扣1分，比较大小用平方法等同样给分) 计算得4=+②v5-》-V6+3-2- (2分)，B=3,(2分) 1+√3)(3-1) 2 4 纺想4>8，该命题等价十65>5+了由 <2<9可得2<<3， 36 4 6 故易得(N6+V3)2=9+6√2>16，即√6+√3>4，(1分) 同时5+2+4，(1分)则6+5>4>万+写，即命题得证，A>B.1分) 22+2 21.(7分)（注意：用全等同样给分，第三问取等扣1分) （1)由己知可得∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠GBC=9心，故∠BAF=∠CBG,（1分) 且AFB=∠BGC=90P,故AABF-△BCG,则B迟=4B=1(1分)，即命题得证： CG BC (2)由∠DHE=90°可知DH+HE=DE,从而原命题等价于DH=FG,（1分) 作DM⊥AF,类似（1)可证得△DAM~△ABF~aBCG,相似比1：1：1，(1分) 同时四边形DMFH为矩形，可知DH=MF=AF-AM=BG-BF=FG,(1分)即命题得证； (3)由(1)(2)可知，L=AF+AM+MF=2AF,（1分) 且∠AFB=90°可知点F在以AB为直径的圆上， 同时点E在线段CD上，设正方形ABCD中心为点O,则点F在BO上， 可知4√2<AF<8,极值分别在端点处取得，从而8W2<L<16.(1分) 22.(7分)（注意：未写出线段长度相等为根号10的扣1分，证明垂直用斜率积为-1同样给分） （1)当=1时，将y=x与y=-x同二次函数联立， 解得A -51,,f+51+,1,51g-151+5 2,2 2,2 2,2 92,2 由两点间距离公式，可知AB=PQ=√10，(2分) 同时y=x,y=-x与坐标轴的锐角夹角均为45°，从而AB L PO（1分) (2)将y=m与y=-Lx同二次函数联立，可得x-m-1=0及x2+Lx-1=0, m m 由韦达定理可知，x4+x。=m,,+2=-1,(1分) 11 (1分) （2m2m2 数学参考答案及评分标准第2页（共4页） 则a=k如-m,则M,NT共线，即直线N过定点T0, (2分) 23.(7分)（注意：第一问用求根公式表示出两根同样给分，第二问算错扣1分） ①用求根公式-b瓜，要证方程2ax+3x+方=0园于二倍根方程，即正·-有-2， 2a -b+√公 该命题等价于3V△=b=3,由△=b2-4ac=9-8ab=1,故3V△=3，命题得证；(3分) (2)不妨设方程ar2+bx+c=0的两根为x=x,x=x,且x>x,则有x=N, b 由韦达定理，x+x=-b，解得x= b bN ad+N'=- (1+W 同时书，故 b bN c a a1+W0 =，整理得b-1+ a(1+N a ac 化简得-1+2W+N1 ac N +2+N,(2分) 若乃为整数，需为整数，这显然不成立，故原命题得证.(2分) ac 24.(10分)（注意：第一问有其他证法在出题群内讨论) (①取线段M中点M,可知M为三角形4CE中位线，则MC2,同时CD-C, 故1-C=CD,(1分)由BM1CE,则∠Ar=∠AcE, 且由已知得aCMB为等边三角形，故CB=BM,∠CMB=∠MBC=60°， 则180°-∠FMB-∠BMC=60°+∠ACD, 且∠ACD=60°-∠DCB,化简得∠FMB=∠DCB,故ACBD=△MBF(SAS),(2分) 可得∠FBM=∠DBC,从而∠MBC=∠FBD=6O°且BF=BD,(1分)则原命题得证： (2)当△BDF面积最大时，BD长度最大且等于 165x4-8,1分) 3 BD长度最大当且仅当点D在BC延长线上，此时BC+CD=BD=8, 由题意，△4BC-aEDC,AB=4C-CB=x6=3,(1分)解得BC=6,CD=2, DE CE CD 2 从而4B=5BC=6√5，则S=x63x6=185.(1分) 数学参考答案及评分标准第3页（共4页） 25.(10分)（注意：第一问算错扣1分，证明矩形从而验证长度相等给分） (1)由题意AB/1CD,作AM⊥CD,BN⊥CD,(1分)则AM=BN(2分)， √37 同时M=6N-3,故4D-S,BC20,4D 6 V370 DMCN AM6’BN3 BC= (2分)： W1020 (2)11≤DE≤12.(5分，上界下界各2分，全部答对额外1分) 26.（12分) (1)120° (4分) @ (2)略，详情见“张某某”的b站账号“一温迪”讲解视频.(8分) 27.（12分) (1)本题需证明： ()点A,O,B和C,O,D分别三点共线，(1分) (i)∠AOC=90°；(1分) （结论1分) (2)本题需证明： ()点B,M,C和A,N,C分别三点共线，(1分) (i)A,B,M,N四点共圆(2分)，CA=√2CM（1分)，AB=√2R,其中C=2πR(1分)， 从面近明1-w-号-R,分) 此外，取线段MN中点T,(1分)作OK⊥MN,可知二≤L-4,L≤8，(1分) 同时由d>0,L=d+4>4,故4<L≤8，从而8π<C≤16π.(1分) 阅卷须知： 26,27两题由@张某某完成，其他题目未整合，对批改有异议请向出题组汇报！ 2分步骤未写完整给1分，有歧义或不清晰的字体不给分。 数学参考答案及评分标准第4页（共4页）