培优专题01 方程、解一元一次方程（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以14类题型构建“概念-解法-应用”三阶体系，通过典例变式结合，系统培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列方程|典例1+变式3|直接/间接设元，找等量关系|从实际问题抽象为方程模型| |参数求解|典例2-3+变式6|代入法、定义条件分析|方程解与参数的逻辑关联| |等式性质|典例4-6+变式9|变形规则、等量代换|性质应用到大小比较、天平衡量| |解方程|典例7+变式5|常规步骤、换元法、绝对值分段|解法从基础到复杂情境迁移| |综合应用|典例8-14+变式16|新定义转化、整数解讨论、错解逆向思维|知识从单一到综合问题解决|

培优专题01 方程、解一元一次方程 （题型突破·举一反三） 题型01 列方程 题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 题型03 根据一元一次方程的定义求参数 题型04 由等式的性质判断变形正误 题型05 由等式的性质比较大小 题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 题型07 解一元一次方程 题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型09 一元一次方程的整数解问题 题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 题型11 由一元一次方程解的情况求解 题型12 错看或错解一元一次方程的解 题型13 换元法解一元一次方程 题型14 解含绝对值的方程 ▌题型01 列方程 1）设未知数：设未知数可以直接设(求什么设什么)，也可以间接设，所设未知数要带单位. 2）分析题意：找出题中的数量关系及等量关系，用含有未知数的代数式表示出相应的数量关系。 3）列方程：根据等量关系列出方程. 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进价、标价、售价之间的数量关系，建立方程． 【详解】解：已知一副耳机的进价为元， ∵按进价提高后标价， ∴标价为元； ∵再优惠元销售， ∴售价为元； 根据题意，得． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的工程应用问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数，列出方程即可． 【详解】解：∵若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 又∵原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）根据图中的信息有两个圆柱量筒，可列出的方程是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形量筒中水的体积为右边一个圆柱形量筒中水的体积为，然后再根据两个量筒里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒中水的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． ▌题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 【典例2】（25-26七年级上·广西河池·期末）已知是方程的解，则a的值为_______． 【答案】 【分析】把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得， 解得. 【变式1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义及代数式的化简求值，先把方程的解代入方程得到，再将所求代数式变形为含的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入，得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入，得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）在方程中，处被盖住了一个数字，如果已知方程的解是，那么★处的数字是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了方程解的定义，方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入方程，得到关于★的方程，即可解出★的值． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得， 故答案为：1 ▌题型03 根据一元一次方程的定义求参数 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 【典例3】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 当时，，满足条件． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若是关于的一元一次方程，则的值___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，因此令指数部分等于1求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为零，确定的值，再代入方程求解，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 当时，，满足条件， 此时方程为， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程．则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，正确求出m的值．根据一元一次方程的定义，令且，即可解答． 【详解】解：根据题意：且， 解得且， ∴． 故答案为：． ▌题型04 由等式的性质判断变形正误 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 【典例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．等式两边同时乘，得，不是，故A错误； B．若，根据等式性质1，等式两边同时减，得，不是，故B错误； C．中（分数分母不为0），根据等式性质2，等式两边同时乘，得，故C正确； D．当时，恒成立，但与不一定相等，故D错误． 【变式1】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】依据等式的基本性质判断各选项变形的正误即可． 【详解】解：利用等式基本性质逐一判断： 对于A．由，移项得，变形正确，不符合题意； 对于B．由，等式两边同时除以，得，变形正确，不符合题意； 对于C．由，等式两边同时除以，得，题中变形得到，因此变形错误，符合题意； 对于D．由，移项得，变形正确，不符合题意； ∴错误的变形是选项C． 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）根据等式性质，下列结论正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的基本性质，逐一判断各选项的等式变形是否正确即可． 【详解】等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立．等式的性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立． 对于选项A：由，等式两边同时乘6（2和3的最小公倍数），得，即，而非，选项A错误． 对于选项B：由，根据等式性质2，两边同时除以，得，而非，选项B错误． 对于选项C：由，等式两边同时乘6得，即，选项C正确． 对于选项D：由，根据乘法分配律展开得，而非，选项D错误． 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． ▌题型05 由等式的性质比较大小 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 【详解】解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质即可求解． 【详解】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级上·广东惠州·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）去括号，得． 等式两边都加上，得． 等式两边都减去，得． 等式两边都除以，得． 即． ▌题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 【典例6】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据图1得到一个正方形的质量等于一个圆的质量，根据图2得到一个正方形的质量等于两个三角形的质量，进而得到一个圆的质量等于两个三角形的质量，进行求出图3右盘中三角形的个数即可． 【详解】解：由图1可知：一个正方形的质量等于一个圆的质量； 由图2可知：一个正方形的质量等于两个三角形的质量， 故一个圆的质量等于两个三角形的质量， 图3左盘中有3个圆，故需要在右盘放置6个三角形，才能使天平保持平衡； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是2个， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c．现用天平称了两次，情况如图①所示（天平均平衡），并由此得到如图②的结论． 这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，解题关键是熟练掌握等式的基本性质．先观察图①可知：，，然后根据等式的传递性得到即可． 【详解】解：观察图①可知：，， ∴， ∴图②的结论用含字母a，b，c的式子可表示为：若，，那么． 故选：A． ▌题型07 解一元一次方程 【典例7】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）解方程： 【答案】 【分析】按照一元一次方程的一般解法进行求解即可． 【详解】解： 解得． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 【变式2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，先通过去分母将方程化为整式方程，再通过去括号、移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式，最后将系数化为1求解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握好一元一次方程的解法是关键． （1）先去分母，再去括号，移项并合并同类项后，将系数化为“1”即可； （2）先去分母，再去括号，移项并合并同类项即可． 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式5】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解答即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． ▌题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 【典例8】（25-26七年级上·江苏南京·期末）定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得； 故答案为：2． 【变式1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当______时，． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算与一元一次方程的结合，关键是理解二阶行列式的运算规则，并据此将等式两边的行列式展开，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：根据定义， ， ， 所以方程为：，解得． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·广东茂名·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．8 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，正确理解题意是解题的关键． 此题直接利用关联数的定义分析列出方程，解答即可． 【详解】与是关于4的关联数， ， 解得． 故选：A 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）新定义：对有理数，，定义，计算方式为：当时，；当时，． (1)计算：的值； (2)若，那么_____； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用. （1）直接根据新定义运算法则计算即可. （2）根据非负数的性质先求解，，再结合新定义运算法则计算即可. （3）根据新定义运算法则把方程化为，再进一步解方程即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴. （2）解：∵， ∴且， 解得：且， ∵， ∴. （3）解：∵，且， ∴， ∴， 解得：. 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）将方程变形为，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程，解此方程即可得到答案； （3）根据差解方程的定义求出，整理得到即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是，且， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）解： ， 解得， ∵方程是“差解方程”，即是“差解方程”， ∴ ∴， 解得； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴． ▌题型09 一元一次方程的整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 【典例9】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则______． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 【变式4】（20-21七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． ▌题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 【典例10】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程解的关系，解一元一次方程． 根据两个方程的解互为相反数，设第一个方程的解为a，则第二个方程的解为，分别代入方程得到，，将代入求解即可． 【详解】解：设方程的解为，则方程的解为， ∴，， 由第二个方程得：， 将代入得， 化简得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，则的值为___． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于m的方程求解即可． 先解方程 得到解 ，由于两方程解互为倒数，故第一个方程的解为 ，代入第一个方程求出 ，再计算代数式 的值． 【详解】解方程 ， 两边同乘2得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 由于两方程解互为倒数，所以第一个方程 的解为 ． 将 代入 ， 得 ， 两边同乘6得 ， 即 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ． 则 ． 【变式3】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 故答案为：． ▌题型11 由一元一次方程解的情况求解 【典例11】（2025学年第一学期期末检测七年级数学）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【答案】 【分析】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．将代入方程，化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ， 两边同时乘以 6 得 ，， 化简得 ， 移项得 ，即 ， 由于无论 k 为何值方程都成立， 所以 且 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果关于的方程无解，那么满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出关于的方程是解题关键． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则_____ 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一个关于、的一元一次方程是解此题的关键．先整理方程得出，根据已知得出，，求出、的值即可． 【详解】解：， ， ， 关于的方程，为常数）有无数个解， ，， 解得：，， ， 故答案为：1． 【变式3】（2025六年级上·全国·专题练习）如果，那么关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键，根据，又，两边同时除以即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． ▌题型12 错看或错解一元一次方程的解 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 【典例12】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将 代入错误方程，求出参数 的值，再代入原方程正确求解． 【详解】解：小明去分母时，方程右边的 忘记乘 12，错误方程为 ，即 ， 将 代入错误方程：左边 ，右边 ， 得 ，解得 ， 原方程为 ， 正确去分母：两边乘 12，得 ， 即 ， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段检测）小红在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，解题的关键是理解题意；根据错误方程的解得出a的值，然后再进行求解方程即可 【详解】解：小红去分母时漏乘了，将代入， 可得，即． 所以原方程为， 去分母得， 移项得， 解得； 故答案为． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1： 解方程 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得第④步 系数化为1，得第⑤步 习题2： 解方程： 解：去括号，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化为1，得：第④步 (1)习题1的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (2)习题2的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (3)从中任选一题，写出它的正确解答过程． 【答案】(1)①，去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12 (2)②，移项时未变号 (3)选习题1时，；选习题2时， 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）去分母漏乘； （2）移项时，部分数据未变号； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：习题1的解题过程从第①步开始出现错误，理由：去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12， 故答案为：①，去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12 （2）解：习题2的解题过程从第②步开始出现错误，理由：移项时未变号， 故答案为：②，移项时未变号； （3）解：选习题1： 解得； 选习题2： ， 解得 【变式3】（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4】（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：，……第一步 去括号得：，……第二步 _______得：，……第三步 合并同类项得：，……第四步 系数化为1得：……第五步 (1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________； (2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________； (3)请直接写出该方程正确的解________； (4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议． 【答案】(1)移项，等式的基本性质1 (2)一，去分母时，1漏乘12 (3) (4)去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据解一元一次方程的步骤，结合等式的基本性质进行解答即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质1； （2）解：根据解方程的步骤，小马从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，1没有乘12； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：建议：去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号． ▌题型13 换元法解一元一次方程 【典例13】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的一元一次方程解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式3】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键． ▌题型14 解含绝对值的方程 解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 【典例14】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行求解即可； （2）先得出方程的解，然后再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 【变式3】（24-25七年级上·北京房山·期末）小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据把绝对值的意义，把看作一个整体，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解； （2）根据把绝对值的意义，，进而解，即可求解． 【详解】（1）解： 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． （2）∵， ∴ 选择填入①中 ， 则 根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或（舍去）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题01方程、解一元一次方程 (题型突破举一反三) 题型01列方程 E 典例精析 【典例1】D 举一反目 【变式1】B 【变式2】 【答案】 (x+5) 【变式3】 【答案】1.5x+x+y=30 题型O2根据方程的解求参数或代数式的值 典例精析 【典例2】 【答案】-2.4 举一反三 【变式1】 【答案】11 【变式2】 【答案】20.5 【变式3】 【答案】1 题型03根据一元一次方程的定义求参数 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例3】 【答案】4 举一反三 【变式1】 【答案】2 【变式2】 【答案】 2 【变式3】 【答案】 3 题型04由等式的性质判断变形正误 三 典例精析 【典例4】C E 举一反王 【变式1】C 【变式2】C 【变式3】C 题型05由等式的性质比较大小 E 典例精析 【典例5】 【答案】m>n 举一反三 【变式1】 【答案】a<b 【变式2 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)5m2-4m+2>4m2-4m-7 (2)a=b (3)m>n 【变式3】 【答案】(1)y>x:(2)见解析 题型06」 由等式的性质解决天平等量代换问题 典例精析 【典例6】C 举一反三 【变式1】B 【变式2】A 题型07解一元一次方程 典例精析 【典例7】 11 【答案】x= 12 举一反三 【变式1】 【答案】x= 7 【变式2】 7 【答案】x= 4 【变式3】 6 【答案】(1)x= 13 (2)x=1 【变式4】 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 【答案】(1)x= (2)x=5.9 【变式5】 【答案】x=21 题型08与解一元一次方程有送的新定义问题 三 典例精析 【典例8】 【答案】2 举一反目 【变式1】 【答案】2 【变式2】 【答案】A 【变式3】 【答案】(1)-14 (2)2 (3)2 【变式4】 2 【答案】(1)是；(2)m= 3:(3)16 题型09一元一次方程的整数解问题 典例精析 【典例9】 【答案】C E 举一反三 【变式1】A 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】A 【变式3】 【答案】3或5或11 【变式4】 【答案】(1)x= 3: (2)1或4 题型10根据两个一元一次方程解的送系求解 E 典例精析 【典例10】 【答案】1 E 举一反三 【变式1】 【答案】 50.2 【变式2】 【答案】9 【变式3】 51 【答案】20 【题型11由一元一次方程解的情况求解 三典例精析 【典例11】 【答案】 2 -2 举一反至 【变式1】 【答案】2 【变式2】 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】1 【变式3】 【答案】a+b 题型12错看或错解一元一次方程的解 三 典例精析 【典例12】 17 【答案】x= 5 举一反王 【变式1】 15 【答案】x= 4 【变式2】 【答案】(1)①，去分母时常数项-1未乘分母的最小公倍数12 (2)②，移项时-3未变号 9 3选习题1时，x=7:选习题2时，x= 5 【变式3】 【答案】三，去括号时没有20改变符号：正确的解题过程见解答 【变式4】 【答案】(1)移项，等式的基本性质1 (2)一，去分母时，1漏乘12 )xs10 11 (4)去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号 题型13换元法解一元一次方程 典例精析 【典例13】 【答案】y=6 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 13 【答案】x= 4 【变式2】 【答案】y=1 【变式3】 3 【答案】4 题型14解含绝对值的方程 三 典例精析 【典例14】 【答案】(1)x=3或x=-1 (2)x=0或x=2 三 举一反三 【变式1】 【答案】(1)x=6或x=-1 (2m的值是-1或-3 【变式2】 【答案】1)x=2或x= 3 (2)x=1或x=-5 【变式3】 【答案】(1)x=1或x=-4 (2)x=5 7/7 培优专题01 方程、解一元一次方程 （题型突破·举一反三） 题型01 列方程 题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 题型03 根据一元一次方程的定义求参数 题型04 由等式的性质判断变形正误 题型05 由等式的性质比较大小 题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 题型07 解一元一次方程 题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型09 一元一次方程的整数解问题 题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 题型11 由一元一次方程解的情况求解 题型12 错看或错解一元一次方程的解 题型13 换元法解一元一次方程 题型14 解含绝对值的方程 ▌题型01 列方程 1）设未知数：设未知数可以直接设(求什么设什么)，也可以间接设，所设未知数要带单位. 2）分析题意：找出题中的数量关系及等量关系，用含有未知数的代数式表示出相应的数量关系。 3）列方程：根据等量关系列出方程. 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）根据图中的信息有两个圆柱量筒，可列出的方程是__________． 【变式3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____． ▌题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 【典例2】（25-26七年级上·广西河池·期末）已知是方程的解，则a的值为_______． 【变式1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【变式2】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为__________． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）在方程中，处被盖住了一个数字，如果已知方程的解是，那么★处的数字是___________． ▌题型03 根据一元一次方程的定义求参数 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 【典例3】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【变式1】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若是关于的一元一次方程，则的值___________． 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程．则______． ▌题型04 由等式的性质判断变形正误 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 【典例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）根据等式性质，下列结论正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式3】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌题型05 由等式的性质比较大小 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【变式2】（22-23七年级上·广东惠州·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． ▌题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 【典例6】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c．现用天平称了两次，情况如图①所示（天平均平衡），并由此得到如图②的结论． 这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌题型07 解一元一次方程 【典例7】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）解方程： 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解方程：． 【变式2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）解方程：． 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）解方程： (1) (2) 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式5】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：． ▌题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 【典例8】（25-26七年级上·江苏南京·期末）定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【变式1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当______时，． 【变式2】（23-24七年级上·广东茂名·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．8 D．2 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）新定义：对有理数，，定义，计算方式为：当时，；当时，． (1)计算：的值； (2)若，那么_____； (3)若，且，求的值． 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． ▌题型09 一元一次方程的整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 【典例9】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则______． 【变式4】（20-21七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． ▌题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 【典例10】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，则的值为___． 【变式3】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为______． ▌题型11 由一元一次方程解的情况求解 【典例11】（2025学年第一学期期末检测七年级数学）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果关于的方程无解，那么满足的条件是_____． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x的方程，为常数）有无数个解，则_____ 【变式3】（2025六年级上·全国·专题练习）如果，那么关于的方程的解为________． ▌题型12 错看或错解一元一次方程的解 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 【典例12】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段检测）小红在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为___________． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1： 解方程 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得第④步 系数化为1，得第⑤步 习题2： 解方程： 解：去括号，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化为1，得：第④步 (1)习题1的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (2)习题2的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (3)从中任选一题，写出它的正确解答过程． 【变式3】（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【变式4】（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：，……第一步 去括号得：，……第二步 _______得：，……第三步 合并同类项得：，……第四步 系数化为1得：……第五步 (1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________； (2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________； (3)请直接写出该方程正确的解________； (4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议． ▌题型13 换元法解一元一次方程 【典例13】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的一元一次方程解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式2】（26-27七年级上·全国·课后作业）用整体思想解方程． 【变式3】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： ▌题型14 解含绝对值的方程 解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 【典例14】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【变式3】（24-25七年级上·北京房山·期末）小山同学通过阅读课本92页探究学习资料，自主学习解含有绝对值的方程的方法，并提出了以下问题，请你结合课本中所给资料（如下所示），帮助小山解决问题． 含有绝对值的方程 绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，，…都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探究解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义，得或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体．解：根据绝对值的意义，得 或． 分别解这两个方程，得 或． (1)解方程； (2)已知：①_______，请你从，中选择一个填入①中，组成含有绝对值的方程，并求出该方程的解． 1 / 2 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