13.2.3 直角三角形的性质与判定 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）与判定方法，通过拼剪、折叠实践引导学生探究三角形内角和定理，再衔接直角三角形特性，构建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如多种辅助线证内角和培养推理能力，跨学科物理题和分类讨论题提升应用意识。学生通过分层练习巩固知识，教师可借助清晰结构高效教学，助力核心素养发展。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第13章 三角形中的边角关系、命题证明 13.2.3直角三角形的性质与判定 2026年8月6日 沪科版八年级上册13.2.3直角三角形的性质与判定同步练习题 本节重点学习直角三角形的核心性质与判定方法，是三角形几何计算与证明的重要基础。直角三角形核心性质：两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于斜边的一半。常用判定方法：有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形。本节题型聚焦角度计算、线段求值、几何证明、性质综合应用，是初中几何高频考点，为后续勾股定理学习铺垫基础。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在直角三角形中，两个锐角的关系是（ ） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 无法确定 2. 已知Rt△ABC中，斜边AB=10，则斜边上的中线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 在直角三角形中，若一个锐角为30°，斜边为12，则该锐角对的直角边长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列条件中，不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. 有一个内角为90° B. 两个内角和为90° C. 三个内角比为1:2:3 D. 三个内角相等 5. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 45° D. 75° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形的两个锐角________，可用于快速求解未知锐角的度数。 2. 直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 3. 在直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的一半。 4. 若三角形两个内角互余，则这个三角形是________三角形。 5. Rt△ABC中，斜边AB=16，则斜边上中线的长度为________。 三、解答题（共60分） 1.（18分）基础性质应用计算。在Rt△ABC中，∠C=90°。（1）若∠A=28°，求∠B的度数；（2）若斜边AB=18，求斜边上中线的长；（3）若∠A=30°，AB=14，求BC的长。 2.（20分）直角三角形判定与证明。（1）已知△ABC中，∠A=42°，∠B=48°，求证：△ABC是直角三角形；（2）已知一个三角形三内角之比为2:3:5，判断三角形形状并说明理由。 3.（22分）综合几何证明。已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。（1）求证：CD=AD=BD；（2）若∠A=30°，求证：BC=$$\frac{1}{2}$$AB；（3）简要说明该性质在几何解题中的作用。 参考答案及解析 一、选择题 1. A 解析：直角三角形内角和180°，除去直角90°，剩余两锐角和为90°，两锐角互余。 2. C 解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半，10÷2=5。 3. B 解析：直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半，12÷2=6。 4. D 解析：三个内角相等的三角形为等边三角形，内角均为60°，不是直角三角形。 5. A 解析：两锐角互余，∠B=90°-35°=55°。 二、填空题 1. 互余 2. 斜边 3. 直角边 4. 直角 5. 8 解析：16÷2=8 三、解答题 1. 解析：（1）∠B=90°-28°=62°；（2）斜边中线=18÷2=9；（3）30°对直角边BC=$$\frac{1}{2}$$AB=7。 2. 解析：（1）证明：∠A+∠B=42°+48°=90°，根据直角三角形判定，两角互余的三角形是直角三角形，故△ABC为直角三角形；（2）设内角为2x、3x、5x，2x+3x+5x=180°，解得x=18°，最大内角90°，该三角形为直角三角形。 3. 解析：（1）证明：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，CD=$$\frac{1}{2}$$AB，又AD=BD=$$\frac{1}{2}$$AB，故CD=AD=BD；（2）证明：Rt△中30°角所对直角边等于斜边一半，∠A=30°，对边为BC，故BC=$$\frac{1}{2}$$AB；（3）该性质可快速求解直角三角形边长、线段等量关系，是几何线段计算、三角形证明的常用核心依据。 知识点总结：本节核心掌握直角三角形两大模块：性质与判定。核心性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角对直角边为斜边一半；核心判定：直角定义判定、两角互余判定。解题关键是精准识别直角三角形模型，灵活运用性质进行角度、线段计算与几何证明，是后续几何综合题、勾股定理应用的必备基础。 请你试着证明“三角形的内角和等于180°” 已知：△ABC，如图. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. 分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？ 不管是折叠，还是拼剪，最终都是把三个角拼在一起得到180°. 你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？ B　 A　 C　 请你试着证明“三角形的内角和等于180°” 已知：△ABC，如图. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. 分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？ B　 A　 C　 B　 A　 C　 1　 2　 ∠1=∠C　 ∠2=∠B　 探究 通过转换，把三角形的3个角拼到一起，形成一个平角. 请你试着证明“三角形的内角和等于180°” 已知：△ABC，如图. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. B　 A　 C　 2　 1　 证明：如图，过点A作直线l平行于BC， 则∠1=∠C，∠2=∠B，(两直线平行，内错角相等) l　 且∠1+∠2+∠BAC=180°. ∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换) 你还有其它的证明方法吗？ 探究 请你试着证明“三角形的内角和等于180°” 已知：△ABC，如图. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. B　 A　 C　 2　 1　 证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B， 则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行) E　 ∴ ∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∵B、C、D在同一条直线上，(所作) D　 ∴∠1+∠2+∠ACB=180°. ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°. 为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 探究 (虚线) 1. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题： (1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(　　) A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 1星题 基础练 A 举一反三 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°. 解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°. 证明：∵CD∥AB， ∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD. 又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD， ∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°， 即三角形的内角和为180°. 举一反三 2. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．180° 向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(　　) A．36° B．54° C．56° D．64° C B 举一反三 向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°. 向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B＋30°，则∠B＝________°. 向“分类讨论思想”生长：在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶3，则m＝__________． 20 20 2或4 举一反三 思考 ★问题一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数. 由此你能得到什么结论？ 直角三角形的两个锐角的和是90°. 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°. 直角三角形的两锐角互余. 像这样，由基本 事实、定理直接得出的 真命题叫作推论. 推论 1： 思考 ★问题二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数. 由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°. 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中， (1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B= ； (2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= ； (3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，则∠B= ； (4)∠A+∠B=90°，则△ABC是 三角形. 做一做 60° 65° 75° 直角 全班作答 典型例题 例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可. 已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°； ②∠A＝30°； ③ ∠FCD＝80°. 典型例题 例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°. 在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. 在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 还可以在△BDE中求∠D的大小.试一试吧！ 例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 典型例题 分析：要计算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可. 已知：①∠BAC＝40°； ②∠B＝75°； ③由“AD是△ABC的角平分线”，易得∠CAD=∠BAD. 典型例题 例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=40 °， ∴∠BAD=∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B–∠BAD =180°–75°–20° =85°. 3．[知识初练]在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 举一反三 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是________角三角形． 直 举一反三 5.【跨学科·物理】[山西中考]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A．155° B．125° C．115° D．65° C 举一反三 6.【分类讨论思想】[淮北期末]在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，点D在边AB上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______________． 20°或70° 易错点睛：△ACD为直角三角形时，可能是∠ACD＝90°，也可能是∠ADC＝90°，此题易忽略分类讨论而致错． 举一反三 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理： 三角形内角和定理推论1： 三角形的内角和等于180°. 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和定理推论2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $