第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的核心知识，涵盖命题与证明、三角形边角关系、全等判定、中线与角平分线性质、折叠变换及新定义“开心三角形”等内容，通过典型例题串联概念性质与应用，构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于融入“伸缩壁灯”“三角板拼接”等现实情境，培养学生用数学眼光观察生活，采用“基础巩固-变式训练-新定义探究”分层设计，如折叠问题中用代数表示角度培养数学思维，新定义题提升数学语言表达能力，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·HK 第13章学业质量评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分 40分) 1. 下列语句中，是命题的是(　B　) A. 延长线段AB到点C B. 垂线段最短 C. 画∠AOB＝45° D. 等角的余角相等吗？ B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形 是(　A　) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. 在△ABC中，若∠A＝23°，∠B＝46°，则 △ABC的形状为(　C　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4. 如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝ 6，则AC＋BC的值不可能是(　D　) A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 第4题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5. 对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它是 假命题的反例是(　D　) A. a＝2，b＝1 B. a＝2，b＝－1 C. a＝1，b＝2 D. a＝1，b＝－2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6. 一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α 的度数为(　C　) A. 65° B. 67.5° C. 75° D. 80° 第6题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. 如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝8，BD是 AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD 的周长是(　B　) A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 第7题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. 新情境 伸缩壁灯　如图①是一盏可折叠的床头伸 缩壁灯，图②是其示意图.已知调整前、后的灯杆 AB∥CD，调整前臂杆之间的夹角∠OAB＝75°， 调整后臂杆之间的夹角∠OCD＝100°，则调整前 后同一臂杆变化的角度∠AOC＝(　C　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 第8题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9. 如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足 为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ (　A　) A. 58° B. 64° C. 62° D. 56° 第9题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D 在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则 ∠BCD的度数为(　D　) A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 把命题“第一象限内点的横坐标为正数”改写 成“如果……那么……”的形式是 ⁠ ⁠. 12. 若一个三角形的两边长分别为2，7，且第三边 的长为奇数，则这个三角形的周长为 ⁠. 如果一个点在 第一象限，那么它的横坐标为正数　 16　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. 如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中 线，EF⊥BC于点F. 若S△ABC＝24，BD＝4，则 EF的长为 ⁠. 第13题图 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. 如图，点D，E分别是△ABC的AC，AB边上 的点，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处. 第14题图 (1)若∠1＝80°，∠2＝20°，则∠A的度数 为 ⁠； (2)若D，E始终保持在AC，AB边上时(不与点A重 合)，∠A'DC＝m，∠A'EB＝n，且∠A为锐角， 当点A落在∠BAC内部时，∠A＝ .(用含 有m，n的代数式表示) 30°　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 写出下列命题的逆命题，并判断所写的逆命题 是真命题还是假命题. (1)如果a＞0，b＞0，那么ab＞0； 解：(1)逆命题：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；是 假命题.(4分) (2)如果一个数的平方是9，那么这个数是3. 解：(2)逆命题：如果一个数是3，那么这个数的平 方是9；是真命题.(8分) 解：(1)逆命题：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；是 假命题.(4分) 解：(2)逆命题：如果一个数是3，那么这个数的平 方是9；是真命题.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 在△ABC中，∠B＝∠A＋20°，∠C＝∠B＋ 41°，求∠A的度数. 解：∵∠B＝∠A＋20°，∠C＝∠B＋41°， ∴∠C＝∠A＋20°＋41°＝∠A＋61°. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋20°＋∠A＋61°＝180°， 解得∠A＝33°.(8分) 解：∵∠B＝∠A＋20°，∠C＝∠B＋41°， ∴∠C＝∠A＋20°＋41°＝∠A＋61°. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋20°＋∠A＋61°＝180°， 解得∠A＝33°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化 简：｜a－2｜－｜a－1｜＋｜a－6｜. 解：∵△ABC的三边长分别为1，4，a，∴4－1＜ a＜4＋1， 解得3＜a＜5.∴a－2＞0，a－1＞0，a－6＜0. ∴原式＝a－2－(a－1)＋6－a＝5－a.(8分) 解：∵△ABC的三边长分别为1，4，a， ∴4－1＜a＜4＋1， 解得3＜a＜5.∴a－2＞0，a－1＞0，a－6＜0. ∴原式＝a－2－(a－1)＋6－a＝5－a.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 如图，在△ABC中，∠A＝28°，∠ABC＝ 120°，CD是△ABC的角平分线. (1)线段CE是AB边上的高线，请在图中画出CE； 解：(1)画图略.(3分) 解：(1)画图略.(3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)在(1)的条件下，求∠DCE的度数. 解：(2)在△ABC中，∠A＝28°，∠ABC＝ 120°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝180°－28°－ 120°＝32°. ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝ ∠ACB＝ ×32°＝16°. 解：(2)在△ABC中，∠A＝28°，∠ABC＝120°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝180°－28°－ 120°＝32°. ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝ ×32°＝16°. ∵∠ABC是△BCE的外角， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴∠BCE＝∠ABC－∠BEC＝120°－90°＝ 30°. ∴∠DCE＝∠BCD＋∠BCE＝16°＋30°＝ 46°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 完成以下证明，并在括号内填写理由： 已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠3. 求证：AC∥DE. 证明：因为∠1＝∠2(已知)， 所以AB∥CE( ). 所以∠A＝∠ ( ⁠ ). 又因为∠A＝∠3(已知)， 所以∠3＝∠ ( ). 所以AC∥DE(内错角相等，两直线平行). 内错角相等，两直线平行　 4　 两直线平行，内错角相等 4　 等量代换　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. 阅读下面材料： 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反 例)，它符合命题的题设，但不满足命题的结论就可 以了. 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命 题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们 不是对顶角. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分 别平行，那么这两个角相等”是假命题(要求：画出 相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反 例)，并改正该命题的结论，使之成为真命题. 解：如图，∠1与∠2的两边分别平行， 但∠1≠∠2，而是∠1＋∠2＝180°.(6分) 将其改成真命题如下：如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 六、(本题满分12分) 21. 新课标 数学眼光　生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°)拼接图形. (1)如图①，点D在BC上，求∠CDE的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：(1)∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－45°＝45°. 在△EDC中，∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°， ∴∠CDE＝180°－∠E－∠ECD＝180°－60°－ 45°＝75°.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)如图②，点B与点D重合，AC交BF于点M，若 ∠AMB＝75°，判断并证明BC与EF的位置关系. 解：(2)EF∥BC，证明如下： 由(1)可知∠ACB＝45°， ∵∠AMB＝∠ACB＋∠MBC， ∴∠MBC＝∠AMB－∠ACB＝75°－45°＝30°. 在Rt△EDF中，∠F＝90°－∠E＝30°， ∴∠MBC＝∠F. ∴EF∥BC. (12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 七、(本题满分12分) 22. 已知一个周长为20的等腰三角形. (1)若腰长为8，求底边长； 解：(1)因为腰长为8，所以底边长为20－8×2＝ 4.(3分) (2)若一边长为5，求底边长； 解：(2)当腰长为5时，底边长为20－5×2＝10.因为 5＋5＝10，构不成三角形，故排除； 所以5只能作为底边长，即底边长为5.(7分) 解：(1)因为腰长为8，所以底边长为20－8×2＝ 4.(3分) 解：(2)当腰长为5时，底边长为20－5×2＝10. 因为5＋5＝10，构不成三角形，故排除； 所以5只能作为底边长，即底边长为5.(7分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)设腰长为x，底边长为y，直接写出y关于x的函 数关系式，并求出自变量x的取值范围. 解：(3)y＝20－2x，由题意可知x－x＜20－2x＜ x＋x，解得5＜x＜10.(12分) 解：(3)y＝20－2x，由题意可知x－x＜20－2x＜ x＋x，解得5＜x＜10.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 八、(本题满分14分) 23. 新考向 定义新概念　[定义]在一个三角形中，如 果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为 “开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”.例 如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则 ∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角 形”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [理解] (1)若△ABC为开心三角形，∠A＝132°，则这个 三角形中最小内角的度数为 ；(2分) (2)若△ABC为开心三角形，∠A＝60°，则这个三 角形中最小内角的度数为 ；(4分) 16°　 (2分) 30°或40°　 (4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)已知∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且 是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并 说明理由； 解：[理解](3)0°＜∠A≤45°，理由如下： ∵∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且是其 中的一个开心角， ∴另一个开心角的大小是2∠A. ∴第三个内角的大小是180°－3∠A. ∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°－3∠A. ∴0°＜∠A≤45°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [应用]如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC 于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和 DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠B是开心三角 形ABE中的一个开心角，设∠B＝α，求α的大小. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：[应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平 分△ABC的外角∠BCF， ∴∠CAD＝ ∠CAB，∠FCD＝ ∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB，∴ ∠FCB＝ ∠B＋ ∠CAB， 即∠FCD＝ ∠B＋∠CAD. ∵∠FCD＝∠D＋ ∠CAD， 解：[应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC， CD平分△ABC的外角∠BCF， ∴∠CAD＝ ∠CAB，∠FCD＝ ∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB， ∴ ∠FCB＝ ∠B＋ ∠CAB， 即∠FCD＝ ∠B＋∠CAD. ∵∠FCD＝∠D＋∠CAD， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴∠D＝ ∠B＝ α. ∵∠P＝30°，∠DAB＝ α＋30°， ∴∠AEB＝180°－α－(α＋30°)＝150°－ α； ①当∠B与∠AEB互为开心角时， 2∠B＝∠AEB或2∠AEB＝∠B， ∴2α＝150°－ α或2(150°－ α)＝α， 解得α＝()°或α＝75°； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ②当∠B与∠EAB互为开心角， 2∠B＝∠EAB或2∠EAB＝∠B， ∴2α＝ α＋30°或α＝2(α＋30°)，解得α＝20°. 综上所述，α的大小为()°或75°或20°.(14分) ②当∠B与∠EAB互为开心角， 2∠B＝∠EAB或2∠EAB＝∠B， ∴2α＝ α＋30°或α＝2(α＋30°)，解得α＝20°. 综上所述，α的大小为()°或75°或20°.(14分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $