4.3.2 对数的运算（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数运算性质与换底公式，通过复习指数运算公式和对数定义，以设问“指数有运算规则，对数作为逆运算是否有对应法则”引出新课，搭建从指数到对数的学习支架。 其亮点在于通过互动探究推导运算性质，结合易错辨析强调真数大于0，综合应用融入地震能量、蓝藻增长等实际问题，体现数学思维与数学语言。学生能提升运算能力和推理意识，教师可高效落实知识点。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算 4.3 对数 学 习 目 标 1 2 掌握对数三条基本运算性质，能熟练进行同底对数加减、数乘变形； 理解并熟记对数换底公式，会推导换底公式推论； 能利用运算性质、换底公式化简、求值对数式，解决简单对数计算。 感受指数、对数运算内在统一的数学对称美； 在公式推导、错题辨析中培养严谨运算习惯，增强自主探究数学公式的信心。 复习旧知 知识讲解 互动探究 新课引入 回顾对数定义 指数运算公式 设问 已知指数有完整的乘、除、乘方运算规则，对数作为指数的逆运算，是否存在对应的加减、数乘运算法则？ 举例思考：能否合并成一个对数？如何简化？ 不同底数对数如与之间存在什么关系？ 今天学习对数的运算性质与换底公式，解决对数化简、求值问题。 3 目标一：对数运算性质 积商的对数 知识讲解 互动探究 新课引入 设，转化为指数式： 1. 积的对数 原型：， 化为对数： 文字：同底对数相加，底数不变，真数相乘。 2. 商的对数 原型：， 化为对数： 文字：同底对数相减，底数不变，真数相除。 5 幂的对数 知识讲解 互动探究 新课引入 设，转化为指数式： 3. 幂的对数 原型：， 化为对数： 文字：真数乘方，对数乘以指数 补充易错辨析 6 性质归纳 知识讲解 互动探究 新课引入 如果 , 且 , , , ; ; . 基本性质 拓展性质 性质（1）可推广到若干个正因数的积： 7 公式辨析 判断正误. (正确的画“√”, 错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差. (2) (3) 典例分析 牛刀小试 解：√。根据对数运算法则：，所以积、商的对数可以化为对数的和、差。 ×。正确的是：，而不是相乘。 ×。因为 无意义，不能把指数 2 提到前面后仍然写 。正确应为： 公式简单应用 __________. 典例分析 牛刀小试 解析： 答案：1   ________. 解析： 答案：1   求下列各式的值: ； ．  解: (1) 公式简单应用 用表示. 典例分析 牛刀小试 解: 用 表示下列各式 解: (1) (2) (3） 目标二：换底公式 问题情境 知识讲解 互动探究 新课引入 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以 10 或 e 为底的对数，就能方便地求出这些对数． (1) 利用计算工具求 , 的近似值; (2) 根据对数的定义, 你能利用 , 的值求 的值吗? (3) 根据对数的定义, 你能用, 表示（，且；；，且）吗? 12 推导 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) . (2) 设, 则, 所以, 所以, 即. 尝试 溯源 设 ，则 ，于是 . 根据性质 得 ，即 且 . 我们把上式叫做对数换底公式. 13 换底公式解读 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明. (2) 换底公式在实际应用中究竟换成什么样的底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. 14 换底公式简单应用 1._________. 典例分析 牛刀小试 解析: 答案: 2 2. _________. 解析: 答案: 2 3、计算 解：原式 目标三：综合应用 代数式化简与计算 1 例1 2 第3步 求下列各式的值: (1)； (2)； (3)； (4). 典例分析 牛刀小试 第4步 代数式化简与计算 例2 化简下列各式： （1）； （2） 典例分析 牛刀小试 解析：（1）根据对数的运算性质，结合换底公式，展开化简可得 （2）根据对数的运算性质，化简可得 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 实际应用 例3 在 4.2.1 的问题 1 中, 求经过多少年 B 地景区的游客人次是 2001 年的2 倍 典例分析 牛刀小试 就是计算 的值. 由换底公式, 可得 .，利用计算工具, 可得 . 由此可得,大约经过 7年,B 地景区的游客人次就达到2001 年的 2 倍.类似地, 可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍, 4 倍, 所需要的年数. 实际应用 第一步 例5 第二步 第三步 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 ． 2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）？   典例分析 牛刀小试  解: 设里氏 9.0 级和 8.0 级地震的能量分别为和. 由, 可得, . 于是, . 利用计算工具可得, . 虽然里氏 9.0 级地震与里氏 8.0 级地震仅相差 1 级, 但前者释放出来的能量却是后者的约 32 倍. 实际应用 例5 在某个时期, 某湖泊中的蓝藻每天以 的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天,则增长为原来的2倍需要经过的天数约为( (参考数据: ) A.6 B.12 C.16 D.20 典例分析 牛刀小试 答案: B 解析: 若原来蓝藻数量为 , 则 , 可得 , 令经过 天后蓝藻增长为原来的 2 倍, 则 , 即 , 可得 天.故选: B 目标四：针对训练 举一反三 (2021·温州高一检测) A. B. C. D. 解析： 答案：A  2、已知，有下列四个等式： ①；②；③；④.其中正确的是______(填序号). 解析：①②式成立的前提条件是；④式成立的前提条件是. 只有③式成立答案：③ 举一反三 3．化简下列各式： (1) (2) 解：(1)原式 (2)原式 举一反三 4、已知且，则______. 答案: 64 解析: 由题, 整理得, 或, 又, 所以, 故, 故答案为:64. 举一反三 5、分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝( 答案: 64 [解] (1)由已知得(其中). (2)当 时, (分贝). 由已知条件知40分贝小于60分贝, 所以此地为噪音无害区,声音环境优良. 举一反三 6、已知，则用表示为__________. 解析：因为，所以，所以 答案： 目标五：小结 学海拾贝 1. 三大对数运算性质（同底积、商、幂的对数公式，注意真数大于 0）； 2. 换底公式核心：统一底数，实现不同底数对数互相转化； 3. 两个常用推论：倒数关系、底数真数同时乘方变形 4. 解题思路： 同底对数优先用加减、数乘性质拆分合并； 不同底数对数统一使用换底公式； 5. 易错提醒：不能拆分和差形式真数，运算前保证所有真数为正数。 学海拾贝 万能桥梁——换底公式： 它实现了对数底数的“自由转换”，是计算器求值、化简不同底对数问题的核心工具。 特别提醒： 对数运算极易出错，请牢记公式的逆用同样重要，且时刻注意真数大于零这一隐含定义域的限制。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $