专题03 赵爽弦图模型与勾股树模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义通过分类框架系统构建赵爽弦图与勾股树模型的知识体系，以框架图呈现弦图的内、外、组合及半弦图类型及全等证明、面积公式等核心结论，用思维导图梳理勾股树的面积传递规律和递推公式，清晰展现数形结合、整体代换等思想的内在联系。 讲义亮点在于“模型提炼-典例解析-分层训练”三阶设计，如通过大正方形面积49、小正方形面积4求直角三角形边长（培养几何直观），多层勾股树面积求和题训练推理意识，配套易错点口诀和解题步骤，A组基础题、B组提升题、C组压轴题满足分层需求，助力学生自主复习和教师精准教学。

专题03 赵爽弦图模型与勾股树模型 赵爽弦图是勾股定理的几何本源，衔接代数完全平方公式与几何面积割补，是初中数形结合最经典模型。主要考向：给面积求边长、给边长求内外正方形面积、勾股定理证明、K字型全等证明等。 勾股树是规律探究压轴专属模型，训练学生整体代换、递推思维。主要考向：多层面积求和、阴影面积替换、规律归纳填空压轴。 两个模型常结合正方形性质、翻折、全等三角形、完全平方公式、阴影面积、图形规律、多层递推探究。掌握弦图结构与面积推导、熟记二级结论，理解勾股树面积传递原理，熟练解决边长计算、面积求值、多层规律探究问题。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 9 易错点与方法总结 15 模型运用 16 A组（基础题） 16 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 27 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。内弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 1）勾股定理：； 2）正方形面积公式、直角三角形面积公式； 3）完全平方公式变形：； 4）全等三角形性质（弦图四三角形全等）； 5）数形结合、整体代换思想。 模型1.弦图模型 【模型提炼与证明】 （1）内弦图模型（赵爽弦图）： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型（毕达哥拉斯弦图）： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得，根据题意得，， 即，∴，，且，∴，， ∵，∴，综上，正确选项为②③④． 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，∵的面积等于的面积， ∴，∴，根据题意得，， ∴，∴大正方形与小正方形的边长之比为：． 【典例3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：∵正方形，， ∵正方形，， ∵是的中点，， 在和中，， ， ，由题意可知， ，， ，， ，，①正确；，②正确； 设，则，在中，， ，解得：，∴，，③正确； ∴，∴在中，， ∴，④错误；综上，①②③正确． 【典例4】（25-26八年级下·北京·期中）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为，∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，，∴，故①正确； ∵，∴，，∴，故②正确； 当时，则有，∴，即，∴，故③正确； 当点是的中点时，，即，∴，即， ∴，∴，故④错误；综上所述，正确结论的个数是3个． 【典例5】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，，∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________，∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，．①求证：；②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①证明：∵，∴， ，∴， 又∵，，∴ ． ②证明：∵，∴，， ∴， ， 故，化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为，∴，设，则， 在中，，∴， 将，代入可得，，解得，∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：，故答案为：． 【典例6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：             (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） (3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析(2)米(3) 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴； （2）过A作，过B作，如图： 同理可证，∴，，由题意知，，∴， ∵，即，∴，∴， ∴（米）． （3）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵，∴，， ∴，而，∴， ∴，，∴，∴，∵，∴． 模型2.勾股树模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究． (1)观察猜想：①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______； ②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______； (2)探究论证：如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)拓展应用：如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②；(2)还成立，理由见解析(3)8 【详解】（1）解：①，理由如下：由网格可知：， ∴之间的关系是，故答案为：； ②，理由如下：∵， ∴；故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ∵，，，， ∴；∴； （3）解：∵图中阴影部分的面积，，∴． 【典例2】（24-25·九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 为等腰直角三角形， ，， ， ，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ， 面积标记为的正方形的边长为， ， 面积标记为的正方形边长为， ， 面积标记为的正方形的边长为， ， 根据同样的规律，依次类推， ， ．故答案为：． 【典例3】（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形，第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形，第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形，…… 第2026个图形中共有个正方形． 【典例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是，… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 【典例5】（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证：；②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16，同理可得， ，正方形G的边长为5．故答案为：16，5． (2)①证明：∵正方形和正方形， ，，， 在和中，，． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ．由①可知：． 模型常见易错点 1）弦图小正方形边长记反 错误：小正方形边长 正确：小正方形边长 2）勾股树面积关系颠倒 永远记住：斜边面积 = 两直角边面积之和，不可写反。 3）弦图面积计算漏乘 4 四个三角形总面积必须是 ，不可只写 4）多层勾股树逐个硬算 不用逐层计算，直接整体代换，底层总和 = 顶层面积 5）内外弦图结构混淆 内弦图：大正方在外、小正方在内；外弦图：大正方在内、三角在外 解题方法总结 1.赵爽弦图解题步骤 1）设直角边 ，斜边 ；写出大、小正方形面积公式 2）利用 、 列等式 3）整体代换求出 、边长、面积；检验边长为正，作答 2.勾股树解题步骤 1）找到顶层原始直角三角形 2）写出：斜边正方形面积 = 两直角边面积和 3）多层题目直接使用：下层总面积 = 顶层面积 4）求阴影、求和、规律直接秒杀 万能口诀 弦图割补得平方，大小正方公式装；勾股树形层层换，上等于下不用算。 1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【详解】解：由勾股定理，得， ∵，∴，∴，∴， ∴每个直角三角形的面积为． 4．（24-25广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2 【答案】C 【详解】解：正方形⑤的面积是，各三角形都是等腰直角三角形， 正方形④的面积为，同理，正方形③的面积是， 正方形②的面积是，正方形①的面积是．故选：C． 5．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形得出规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有个， 第二代勾股树中正方形有个， 第三代勾股树中正方形有个， ∴第四代勾股树中正方形有个． 6．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 【答案】14 【详解】解：∵正方形的边长为5，∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积，故答案为：． 7．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【详解】解：如图，连接，由题意可知：，，，． 在直角和中，，即， ，．故答案为：12 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．(1)求证：(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长． 【答案】(1)见解析(2)7 【详解】（1）证明：∵AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°∴∠DCE=∠A． ∴在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE (AAS)． （2）∵△ABC≌△CDE，DE＝5，AC＝13∴BC＝DE＝5，CE＝13 ∴在中，∴． 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 【答案】B 【详解】解：如图②，设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，并且是直角三角形的斜边， 正方形的面积为．由勾股定理得：， 正方形的面积正方形的面积，图①中所有正方形的面积和， 同理：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积，图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 同理可得次操作后增加的个小正方形的面积和也是， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和，故选：B． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）“出入相补”原理是由中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的．如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形，，均为正方形．若，则正方形的周长为（     ） A．13 B．25 C．48 D．52 【答案】D 【详解】解：∵四边形，，均为正方形， ∴，，， ∴，∴，∴， ∴，即，∴， ∴正方形的周长为． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，图2与图1的面积差为（   ） A．50 B．54 C．60 D．62.5 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 图1的面积； 对于图2，四边形、均为正方形，，，，， 四边形为矩形，，四边形为矩形， ，， 延长交于点，则， ，， 又，， 在和中， ，， ，， 四边形为矩形，， 延长交于点，则，同理可得， 矩形的长， 宽， 图2的面积，图2与图1的面积差为． 4．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，，， ，，解得． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，，， 所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为， ，，中等正方形的边长为， 同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为， 图③中所有正方形的面积和为，故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴，故答案为：． 7．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究](1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用](2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即，∴． （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，，∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴，∴． 8．（24-25四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）． （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ）． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ），请说明理由． （3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（ ），请说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析 ． 【详解】解：（1）由题意可得：，，，， ，故答案为：； （2）由题意得：，，，， 故答案为：； （3）过D作，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故， 又∵BC=2AD，∴， ， ∴，∵，，，， ∴，故答案为：． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成，∴，， ∴，∴， ∴，，∴， ∴中，． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）公元世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，连接．若，则下列结论不正确的是（     ） A． B．四边形为平行四边形 C． D． 【答案】C 【详解】解：由“弦图”可知，四边形和四边形是正方形，，且，，， 设个直角三角形短直角边为，则长直角边为． 选项A：是直角三角形，，，， ，故A正确． 选项B：四边形是正方形，， 在上，在上，．四边形是正方形，， 在上，在上，．，， 四边形为平行四边形，故B正确． 选项C：是直角三角形，，，， ， 在中，若，则需满足，但，故C错误． 选项D：，， ，．故D正确． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，，， ∴，，， ∴，∴，， ∴，∴． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点Q，∵，，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，设， ∵大正方形的面积为26，∴，， ∵四边形为正方形，∴，∴， ∴，为等腰直角三角形，即， 解得：（负值舍去），∴，∵，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∴． 5．（24-25八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，，，，， ，，即正方形的面积为12， 正方形的边长为，故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题． 【答案】(1)6(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：设，则，∵，∴， ∵，∴在中，，即，解得（负值舍去）， ∴，，∴． （2）证明：∵，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ，∵平分，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴．∴． 7．（25-26山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理； S大正方形=_____ ，还可以表示为_____ ，所以可得到_______ =______ ， 化简后最终得到____ ． (2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． (3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②；；；；；(2)(3)7.5 【详解】（1）解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ②图2：大正方形的面积为， 还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 所以可得到，化简后最终得到：； 故答案为：；；；；； （2）解：设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为， 由圆的面积公式得：，，， 由勾股定理得：，则，即，故答案为：； （3）解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，由（2）可知，， 则阴影部分的面积为，故答案为：． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 赵爽弦图模型与勾股树模型 赵爽弦图是勾股定理的几何本源，衔接代数完全平方公式与几何面积割补，是初中数形结合最经典模型。主要考向：给面积求边长、给边长求内外正方形面积、勾股定理证明、K字型全等证明等。 勾股树是规律探究压轴专属模型，训练学生整体代换、递推思维。主要考向：多层面积求和、阴影面积替换、规律归纳填空压轴。 两个模型常结合正方形性质、翻折、全等三角形、完全平方公式、阴影面积、图形规律、多层递推探究。掌握弦图结构与面积推导、熟记二级结论，理解勾股树面积传递原理，熟练解决边长计算、面积求值、多层规律探究问题。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 9 易错点与方法总结 15 模型运用 16 A组（基础题） 16 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 27 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。内弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 1）勾股定理：； 2）正方形面积公式、直角三角形面积公式； 3）完全平方公式变形：； 4）全等三角形性质（弦图四三角形全等）； 5）数形结合、整体代换思想。 模型1.弦图模型 【模型提炼与证明】 （1）内弦图模型（赵爽弦图）： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型（毕达哥拉斯弦图）： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【典例4】（25-26八年级下·北京·期中）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例5】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，，∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________，∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，．①求证：；②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【典例6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：             (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） (3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 模型2.勾股树模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究． (1)观察猜想：①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______； ②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______； (2)探究论证：如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)拓展应用：如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积． 【典例2】（24-25·九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ． 【典例3】（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【典例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【典例5】（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证：；②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 模型常见易错点 1）弦图小正方形边长记反 错误：小正方形边长 正确：小正方形边长 2）勾股树面积关系颠倒 永远记住：斜边面积 = 两直角边面积之和，不可写反。 3）弦图面积计算漏乘 4 四个三角形总面积必须是 ，不可只写 4）多层勾股树逐个硬算 不用逐层计算，直接整体代换，底层总和 = 顶层面积 5）内外弦图结构混淆 内弦图：大正方在外、小正方在内；外弦图：大正方在内、三角在外 解题方法总结 1.赵爽弦图解题步骤 1）设直角边 ，斜边 ；写出大、小正方形面积公式 2）利用 、 列等式 3）整体代换求出 、边长、面积；检验边长为正，作答 2.勾股树解题步骤 1）找到顶层原始直角三角形 2）写出：斜边正方形面积 = 两直角边面积和 3）多层题目直接使用：下层总面积 = 顶层面积 4）求阴影、求和、规律直接秒杀 万能口诀 弦图割补得平方，大小正方公式装；勾股树形层层换，上等于下不用算。 1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 2．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 4．（24-25广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2 5．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 7．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．(1)求证：(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长． 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）“出入相补”原理是由中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的．如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形，，均为正方形．若，则正方形的周长为（     ） A．13 B．25 C．48 D．52 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，图2与图1的面积差为（   ） A．50 B．54 C．60 D．62.5 4．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示） 7．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究](1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用](2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 8．（24-25四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）． （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ）． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（      ），请说明理由． （3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（ ），请说明理由． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）公元世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，连接．若，则下列结论不正确的是（     ） A． B．四边形为平行四边形 C． D． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．以为斜边在上方作，使．若中，，大正方形的面积为26，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 5．（24-25八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题． 7．（25-26山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理； S大正方形=_____ ，还可以表示为_____ ，所以可得到_______ =______ ， 化简后最终得到____ ． (2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． (3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $