1.5.1全称量词与存在量词讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理全称/特称量词的概念、符号表示、命题否定规则及常见否定形式，构建从具体量词到抽象符号、从命题表述到否定改写的递进式学习支架。 资料通过分层题型设计，涵盖命题判断、否定改写、参数求解及集合关联等，培养学生数学眼光（抽象符号表达）、数学思维（逻辑推理命题否定），课中例题辅助教师教学，课后练习助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

全称量词和存在量词 知识点一：全称量词与全称命题 内容 全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 知识点二：特称量词与特称命题 内容 特称量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点三：全称、特称命题的否定 定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． 命题P 命题的否定¬p 注：①如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． ②一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． ③全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知识点四：常见的命题的否定形式 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型一：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.(河北省石家庄二十四中高一上学期期中)下列命题中是存在量词命题且为假命题的是(　　) A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 【答案】C 【解析】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题； B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题； C：命题为存在量词命题，，，故为假命题； D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.故选C 例2. （江西高一期末）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　　） A．对任意的、，都有 B．菱形的两条对角线相等 C．， D．正方形是矩形 【答案】D 【解析】对于A选项，命题“对任意的、，都有”为全称量词命题， 但，该命题为假命题； 对于B选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称量词命题，该命题为假命题； 对于C选项，命题“，”为全称量词命题，当时，，该命题为假命题； 对于D选项，命题“正方形是矩形”为全称量词命题，该命题为真命题. 故选：D. 例3. （贵州南明贵阳一中高一期中）判断下列命题属于全称量词命题还是存在量词命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0． 【解析】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称量词命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个存在量词命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个存在量词命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称量词命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0． 题型二：全称、特称命题的否定 例4.(贵州省遵义市第四中学高一上学期期末质量监测)命题“”的否定是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】命题“”的否定是“”，故选B 例5.（浙江高一月考）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）∀x∈N，x3＞x2； （2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； （3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0； （4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 【解析】解：（1）全称量词命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：∃x∈N，x3≤x2 （2）全称量词命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0； （3）存在量词命题，x02﹣x0+1，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：∀x∈R，x2﹣x+1＞0． （4）存在量词命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直． 题型三：根据全称、特称命题求参 例6．若命题p：“，”是假命题，则实数a的取值集合为________． 【答案】 【分析】命题与命题的否定真假性相反，分类讨论即可. 【详解】由题知，命题：“，”是假命题 所以，是真命题， 当时，恒成立，满足题意， 当时，由题意知， 解得， 综上可得 例7.对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 例8.已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题 当时，集合，符合 当时，因为，所以， 得对于恒成立 所以，则 综上，实数的取值范围为. 例9.已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】【法一：参变分离】由题意得，又，此时，故. 【法二：判别式法】由题意得，0，则△=0+4（1+a）＞0，故 故选：A. 例10.（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到. 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以大于等于在上的最小值，即， 选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确. 例11.若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求实数a的取值范围. 【详解】由题可知，，则有， 因为，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 故选:C. 题型四：命题与集合 命题 集合 的真命题，则 （即集合A是集合B的子集） 的真命题，则 例12.已知集合，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）命题可转化为，又，列出不等式控制范围，即得解； （2）命题可转化为，先求解，且时，实数的范围，再求解对应范围的补集，即得解 【详解】（1）因为命题：“，”是真命题，所以，又， 所以，解得 （2）因为，所以，得． 又命题：“，”是真命题，所以， 若，且时，则或，且 即 故若，且时，有 故实数的取值范围为 例13.（万州区校级月考）已知， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（1）存在， 【解析】， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，即集合、存在公共元素， 假设、无公共元素，则或， 解得或， 则集合、存在公共元素时，实数m的取值范围. （2）存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件， 若 “x∈A”是“X∈B”必要不充分条件， 则，所以，解得， 所以m的取值范围为. 课后练习 1.命题“”的否定为________． 【答案】 【分析】利用全称命题的否定规则即可得到命题“”的否定. 【详解】命题“”的否定为 故答案为： 2.（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，所以，选项A是假命题； 对于B，时，，所以选项B是真命题； 对于C，由，得，所以选项C是真命题； 对于D，时，，所以选项D是假命题．故选：BC． 3.命题，，则命题的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】解：因为命题，是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即 ，， 故选：B 4.（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【解析】对A：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故A符合要求； 对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求； 对C：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故C符合要求； 对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题， 故D不符合要求. 故选：AC. 5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意命题“，”为真命题，则对恒成立，即可求出的取范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题， 即对恒成立， 所以， 因为， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 6.已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】∵命题，为假命题，∴命题，为真命题， 又，∴，即实数m的取值范围为. 7.命题“”为真命题，则取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为命题“”为真命题， 所以， 所以，即取值范围为. 故答案为：. 8.已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题可得，然后分类讨论根据集合的包含关系即得. 【详解】由于命题，是真命题， 所以, 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上，m的取值范围是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 全称量词和存在量词 知识点一：全称量词与全称命题 内容 全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 知识点二：特称量词与特称命题 内容 特称量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点三：全称、特称命题的否定 定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． 命题P 命题的否定¬p 注：①如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． ②一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． ③全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知识点四：常见的命题的否定形式 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型一：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.(河北省石家庄二十四中高一上学期期中)下列命题中是存在量词命题且为假命题的是(　　) A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 例2. （江西高一期末）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　　） A．对任意的、，都有 B．菱形的两条对角线相等 C．， D．正方形是矩形 例3. （贵州南明贵阳一中高一期中）判断下列命题属于全称量词命题还是存在量词命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0． 题型二：全称、特称命题的否定 例4.(贵州省遵义市第四中学高一上学期期末质量监测)命题“”的否定是(  ) A． B． C． D． 例5.（浙江高一月考）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）∀x∈N，x3＞x2； （2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； （3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0； （4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 题型三：根据全称、特称命题求参 例6．若命题p：“，”是假命题，则实数a的取值集合为________． 例7.对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 例8.已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围. 例9.已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10.（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例11.若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：命题与集合 命题 集合 的真命题，则 （即集合A是集合B的子集） 的真命题，则 例12.已知集合，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围。 例13.（万州区校级月考）已知， （1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 课后练习 1.命题“”的否定为________． 2.（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 3.命题，，则命题的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 4.（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6.已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________. 7.命题“”为真命题，则取值范围为 ． 8.已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为________． 1 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