第五章二元一次方程组复习讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学二元一次方程组复习讲义通过知识框架图系统构建知识体系，梳理二元一次方程及方程组的概念、解法（代入消元法、加减消元法）、三元一次方程组转化思想、实际应用步骤（审设列解验答）及与一次函数的关系，呈现清晰的知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与思想方法指导，课堂狙击夯实基础、课后反击提升能力、直击中考对接真题，结合一次函数交点与方程组解的转化题培养数形结合思维，通过商场购进方案等实际应用题发展模型意识，助力不同层次学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第05讲-二元一次方程组 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 掌握二元一次方程组的相关概念； 2 掌握二元一次方程组及三元一次方程组的解法； 3 能利用二元一次方程组解决实际问题； 4 掌握二元一次方程组与一次函数的关系。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 1、 知识梳理 1、二元一次方程 （1）定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 （2）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）一个二元一次方程有无数组解。 2、 二元一次方程组 （1）定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。 （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 3、二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程组中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解法称为代入消元法，简称代入法。 （2）加减消元法：通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。 4、 三元一次方程组 （1）三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。 （2）三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 （3）三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。 （4）解法：通过代入法、加减法，把三元化为二元，使解三元一次方程组化为二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 5、 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。 6、 常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 7、二元一次方程与一次函数 （1）一个二元一次方程可化为一次函数； （2）用二元一次方程组确定一次函数的表达式； （3）两个一次函数的交点问题与二元一次方程组的解的问题的转化。 考点一：二元一次方程的概念 例1、已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C． D． 【解析】∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，∴，解得：，故选A 　 例2、小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】∵方程组的解为，∴将x=5代入2x﹣y=12，得y=﹣2， 将x=5，y=﹣2代入2x+y得，2x+y=2×5+（﹣2）=8，∴●=8，★=﹣2，故选D． 例3、解方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则a+b+c的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 【解析】∵方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是， ∴把与代入ax+by=2中得：，①+②得：a=4，把a=4代入①得：b=5， 把代入cx﹣7y=8中得：3c+14=8，解得：c=﹣2，则a+b+c=4+5﹣2=7；故选C． 考点二：二元一次方程组的解法 例1、若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】由题意得：x=y，∴4x+3x=14，∴x=2，y=2， 把它代入方程kx+（k﹣1）y=6得2k+2（k﹣1）=6，解得k=2．故选C． 　　 例2、已知，则=　　． 【解析】，①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，解得：x=y， ①×2+②×3得：11x﹣33z=0解得：x=3z，∵x=y，x=3z，∴y=2z， ∴===．故答案为：． 例3、解方程组 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1），把①代入②，得：8﹣y+5y=16，解得y=2， 把y=2代入①，得：3x=8﹣2=6，解得y=2，则原方程组的解是：； （2），由①+②，得2x﹣y=4 ④，由②+③，得3x﹣3y=3即x﹣y=1 ⑤， 由④⑤联立，得方程组，解之得，把x=3，y=2代入①，得z=﹣4， 所以原方程组的解是：． （3），①×2得，6x﹣2y=﹣8③，③﹣②得，5x=﹣5，解得x=﹣1， 把x=﹣1代入②得y=1，∴方程组的解为； （4），①+②得3x+3y=15④，①+③，4x+6y=24⑤，由⑤得2x+3y=12⑥， ④﹣⑥得，x=3，把x=3代入⑥，得y=2，把x=3，y=2代入①得，z=1，∴方程组的解为 考点三：二元一次方程与一次函数 例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（　　） A．M B．N C．E D．F 【解析】两直线都过定点E， 所以点E表示关于x、y的二元一次方程组的解，故选C 　 例2、如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值，判断直线l3：y=﹣nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 【解析】（1）∵（﹣2，a）在直线y=3x+1上， ∴当x=﹣2时，a=﹣5直线y=﹣nx﹣2m也经过点P， ∵点P（﹣2，﹣5）在直线y=mx+n上，∴﹣2m+n=﹣5， ∴将P点横坐标﹣2代入y=﹣nx﹣2m， 得y=﹣n×（﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l3也经过点P． （2）解为． （3）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，∴直线l2过点（3，0）， 又直线l2过点P（﹣2，﹣5），∴，解得∴直线l2的函数解析式为y=x﹣3． 　 例3、在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA， （1）求a+b的值． （2）求k的值． （3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若 DE=2EF，求D点坐标． 【解析】（1）根据题意得：，解方程组得：，∴a+b=﹣+2=，即a+b=； （2）设P（x，y），则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上， 由（1）得：一次函数y=ax+b的解析式是y=﹣+2，又∵PO=PA，∴， 解方程组得：，∴k的值是； （3）设点D（x，﹣+2），则E（x，），F（x，0），∵DE=2EF，∴=2×， 解得：x=1，则﹣+2=×1+2=，∴D（1，）． 考点四：二元一次方程组的实际应用 例1、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，可列方程组　　． 【解析】设男生有x人，女生有y人，根据题意可得：，故答案为： 例2、有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是　24　． 【解析】设原来两位数的十位为x，个位为y，由题意得，，解得：， 即原来的两位数为24．故答案为：24． 　 例3、【方法阅读】 一般地，二元一次方程的解有无数个，但是有些二元一次方程的正整数解却只有有限个，如二元一次方程2x+3y=15的正整数解只有和两个． 那么，我们如何寻找二元一次方程的正整数解呢？ 不妨以方程2x+3y=15为例，首先过程方程各项的特征，发现2x和15分别是偶数和奇数，可以确定3y必然是奇数，即y是奇数，再运用特值法代入尝试，即将y=1，3，5，…等奇数代入原方程一次求出相应的x的值，从而获得2x+3y=15的正整数解． 同学们还可以尝试运用列表法来探索二元一次方程的正整数解． 【理解运用】 （1）盒子里有若干个大小相同的红球和白球，规定从中摸出一个红球的3分，摸到一个白球的4分，假设小华摸到x个红球和y个白球，共得34分，请你列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【灵活运用】 （2）已知△ABC的三边m，n，p都是正整数，m，n，p，且△ABC的周长为15，则符合条件的三角形共有　7　个． 【解析】（1）依题意得：3x+4y=34，有三个正整数解为，，； （2）设m≥n≥p，则由m+n+p=15，得m≥5． 用试值法或者枚举法可得：，，，，，，． 所以符合条件的三角形共有7个．故答案是：7． 例4、某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表： 甲型 乙型 丙型 价格（元/台） 900 700 400 销售获利（元/台） 200 160 90 （1）购买丙型设备　60﹣x﹣y　台（用含x，y的代数式表示）； （2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了50000元，则商场有哪几种购进方案？ （3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这个最大值． 【解析】（1）购买丙型设备的台数为60﹣x﹣y．故答案为60﹣x﹣y． （2）由题意得，900x+700y+400（60﹣x﹣y）=50000 化简整理得：5x+3y=260 ∴x=52﹣y， 当y=5时，x=49，60﹣x﹣y=6；当y=10时，x=46，60﹣x﹣y=4；当y=15时，x=43，60﹣x﹣y=2． ∴购进方案有三种，分别为： 方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台； 方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台； 方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台． （3）方案一的利润为49×200+160×5+6×90=11140元， 方案二的利润46×200+160×10+4×90=11160元 方案三的利润43×200+160×15+2×90=11180元 所以方案三获利最大，为11180元，即甲型43台，乙型15台，丙型2台． P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 · 课堂狙击 1、若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=3是二元一次方程，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a=2 C．a=﹣2 D．a＜﹣2 【解析】根据二元一次方程的定义，得|a|﹣1=1且a﹣2≠0，解得a=﹣2．故选C． 2、小明解方程组的解为，不小心滴了两滴墨水，遮住两个数●和★，这两数为（　　） A．26和8 B．﹣26和8 C．8和﹣26 D．﹣26和5 【解析】当x=6时，3×6﹣y=10，∴18﹣y=10，解得y=8．∵x=6，y=8，∴●=3×6+8=18+8=26， ∴●等于26，★等于8．故选：A． 3、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【解析】（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，∴y=﹣，代入（1）得：x=2a， 把y=﹣，x=2a代入方程3x+2y=10，得：6a﹣a=10，即a=2．故选B． 　 4、已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解析】把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2）， 则方程组的解为．故选D． 5、直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】因为直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1）， 方程组的解是，故选A 6、若方程组的解满足方程x+y+a=0，则a的值为　5　 【解析】，①代入②，得：2（y+5）﹣y=5，解得y=﹣5，将y=﹣5代入①得，x=0； 故x+y=﹣5，代入方程x+y+a=0中，得：﹣5+a=0，即a=5．故a的值为5． 　 7、如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是　　． 【解析】由图可知，方程组的解是．故答案为：． 　 8、一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是　12，24，36，48　． 【解析】设个位数字为x，十位数字为y，由题意得：， 当x=2时，y=1，当x=4时，y=2，当x=6时，y=3，当x=8时，y=4，故答案为：12，24，36，48．　 9、解方程组：（1）； （2）． 【解析】（1），①×2﹣②得﹣2y+5y=﹣8+23，解得y=5， 把y=5代入①得2x﹣5=﹣4，解得x=，所以方程组的解为； （2），①+②得4x+y=16④，①﹣③得2x﹣2y=﹣2，即x﹣y=﹣1⑤，④+⑤得5x=15，解得x=3，把x=3代入⑤得3﹣y=﹣1，解得y=4，把x=3，y=4代入③得3+4+z=12，解得z=5，所以方程组的解为． 10、如图，L1，L2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中△APB的面积． 【解析】（1）设直线L1的解析式是y=kx+b，已知L1经过点（0，3），（1，0）， 可得：，解得，则函数的解析式是y=﹣3x+3；同理可得L2的解析式是：y=x﹣2． （2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解． （3）易知：A（0，3），B（0，﹣2），P（，﹣）；∴S△APB=AB•|xP|=×5×=． 11、阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y=12，得：y=，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解　　． （2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　B　个． A.5 B.6 C.7 D.8 （3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 【解析】（1）由3x﹣y=6，得y=3x﹣6（x、y为正整数）．∵，即x＞2，∴当x=3时，y=3； 即方程的正整数解是，故答案为：； （2）同样，若为自然数，则有：0＜x﹣3≤12，即3＜x≤15． 当x=4时，=12；当x=5时，=6；当x=6时，=4；当x=7时，=3， 当x=9时，=2，当x=15时，=1．即满足条件x的值有6个，故选B． （3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支． 则根据题意得：3m+5n=48，其中m、n均为自然数．于是有：n=，则有：， 解得：0＜m＜16．由于n=为正整数，则48﹣3m为正整数，且为5的倍数． ∴当m=1时，n=9；当m=6时，n=6，当m=11时，n=3． 答：有三种购买方案：即购买单价为3元的笔记本1本，单价为5元的钢笔9支； 或购买单价为3元的笔记本6本，单价为5元的钢笔6支； 或购买单价为3元的笔记本11本，单价为5元的钢笔3支． 课后反击 1、已知mx﹣2y=x+5是二元一次方程，则m的取值范围为（　　） A．m≠O B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠2 【解析】由mx﹣2y=x+5，得（m﹣1）x﹣2y﹣5=0，∵mx﹣2y=x+5是二元一次方程，∴m﹣1≠0， 解得m≠1．故选：C． 2、方程■x﹣2y=x+5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，请你推断■的值属于下列情况中的（　　） A．不可能是﹣1 B．不可能是﹣2 C．不可能是1 D．不可能是2 【解析】方程可化为（■﹣1）x﹣2y=5，根据题意，得■﹣1≠0，则■的值一定不可能是1．故选C． 　 3、有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（　　） A．50 B．100 C．150 D．200 【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．根据题意，得， 两方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元． 4、已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解析】∵直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2）， ∴方程组的解为，故选：A． 　 5、已知关于x，y的方程组的解满足2x﹣3y=9，则m=　　． 【解析】由题意得，解得，代入方程2x﹣3y=9，解得m=．故答案为：． 6、已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）． 【解析】∵方程组的解为，∴y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象交点为（1，0）答案：（1，0）． 7、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为　12　人． 【解析】设男生有x人，女生有y人，根据题意得：，解得：，故答案为：12． 8、一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，则这个两位数是　41　． 【解析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由题意，得， 解得：，∴这个两位数为41．故答案是：41． 9、解方程组：（1）； （2）． 【解析】（1），由①，得y=3x﹣5，将y=3x﹣5代入②，得5x+6x﹣10=23 解得，x=3将x=3代入y=3x﹣5，得y=4故原方程组的解是； （2）由③，得2x﹣y﹣z=0④①+④，得3x﹣2y=7⑤，②×2+⑤，得5x=5 解得，x=1将x=1代入⑤，得y=﹣2将x=1，y=﹣2代入①，得z=4， 故原方程组的解是． 10、如图所示的是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象， （1）方程 的解是　　； （2）y1中变量y1随x的增大而　减小　； （3）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的关系式． 【解析】（1）∵从图象可以得出两函数y1=kx+b与y2=mx+n的交点坐标是（3，4）， ∴方程 的解是； （2）从图象可以看出：y1中变量y1随x的增大而减小， 故答案为：减小； （3）设正比例函数的解析式为y=kx， ∵将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上， ∴平移后对应的点的坐标是（3，3），把（3，3）代入y=kx得：k=1， ∴正比例函数的解析式为y=x． 故答案为：． 11、某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【解析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱； 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱；一次性订房18间更合算． 直击中考 1、【济宁】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【解析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车， 根据题意得，解之得． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车； （2）设调熟练工m人，由题意得，12（4m+2n）=240，整理得，n=10﹣2m， ∵0＜n＜10，∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2， 即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人． S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、二元一次方程组的解法： （1）代入消元法；（2）加减消元法。 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答。 名师点拨 1、 学会转化思想； 2、 学会数形结合思想； 3、 掌握分类讨论思想。 学霸经验 · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第05讲-二元一次方程组 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 掌握二元一次方程组的相关概念； 2 掌握二元一次方程组及三元一次方程组的解法； 3 能利用二元一次方程组解决实际问题； 4 掌握二元一次方程组与一次函数的关系。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 1、 知识梳理 1、二元一次方程 （1）定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 （2）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）一个二元一次方程有无数组解。 2、 二元一次方程组 （1）定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。 （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 3、二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程组中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解法称为代入消元法，简称代入法。 （2）加减消元法：通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。 4、 三元一次方程组 （1）三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。 （2）三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 （3）三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。 （4）解法：通过代入法、加减法，把三元化为二元，使解三元一次方程组化为二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 5、 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。 6、 常见的列方程解决实际问题的类型题： （1）鸡兔同笼问题； （2）增收节支问题； （3）数字与行程问题。 7、二元一次方程与一次函数 （1）一个二元一次方程可化为一次函数； （2）用二元一次方程组确定一次函数的表达式； （3）两个一次函数的交点问题与二元一次方程组的解的问题的转化。 考点一：二元一次方程的概念 例1、已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C． D． 　 例2、小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值为（　　） A． B． C． D． 例3、解方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则a+b+c的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．无法确定 考点二：二元一次方程组的解法 例1、若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 例2、已知，则=　　． 例3、解方程组 （1）； （2）； （3）； （4）． 考点三：二元一次方程与一次函数 例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（　　） A．M B．N C．E D．F 　 例2、如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值，判断直线l3：y=﹣nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 例3、在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA， （1）求a+b的值． （2）求k的值． （3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若 DE=2EF，求D点坐标． 考点四：二元一次方程组的实际应用 例1、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，可列方程组　　． 例2、有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是　 　． 例3、【方法阅读】 一般地，二元一次方程的解有无数个，但是有些二元一次方程的正整数解却只有有限个，如二元一次方程2x+3y=15的正整数解只有和两个． 那么，我们如何寻找二元一次方程的正整数解呢？ 不妨以方程2x+3y=15为例，首先过程方程各项的特征，发现2x和15分别是偶数和奇数，可以确定3y必然是奇数，即y是奇数，再运用特值法代入尝试，即将y=1，3，5，…等奇数代入原方程一次求出相应的x的值，从而获得2x+3y=15的正整数解． 同学们还可以尝试运用列表法来探索二元一次方程的正整数解． 【理解运用】 （1）盒子里有若干个大小相同的红球和白球，规定从中摸出一个红球的3分，摸到一个白球的4分，假设小华摸到x个红球和y个白球，共得34分，请你列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【灵活运用】 （2）已知△ABC的三边m，n，p都是正整数，m，n，p，且△ABC的周长为15，则符合条件的三角形共有　 　个． 例4、某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表： 甲型 乙型 丙型 价格（元/台） 900 700 400 销售获利（元/台） 200 160 90 （1）购买丙型设备　 台（用含x，y的代数式表示）； （2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了50000元，则商场有哪几种购进方案？ （3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这个最大值． P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 · 课堂狙击 1、若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=3是二元一次方程，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a=2 C．a=﹣2 D．a＜﹣2 2、小明解方程组的解为，不小心滴了两滴墨水，遮住两个数●和★，这两数为（　　） A．26和8 B．﹣26和8 C．8和﹣26 D．﹣26和5 3、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 　 4、已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 5、直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 7、 若方程组的解满足方程x+y+a=0，则a的值为　 　. 7、如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是　　 ． 　 8、一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是　 　． 9、解方程组：（1）； （2）． 10、如图，L1，L2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中△APB的面积． 11、阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y=12，得：y=，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为．问题： （1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解　　 ． （2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　 　个． A.5 B.6 C.7 D.8 （3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 课后反击 1、已知mx﹣2y=x+5是二元一次方程，则m的取值范围为（　　） A．m≠O B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠2 2、方程■x﹣2y=x+5是二元一次方程，■是被污的x的系数，请你推断■的值属于下列情况中的（　　） A．不可能是﹣1 B．不可能是﹣2 C．不可能是1 D．不可能是2 　 3、有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（　　） A．50 B．100 C．150 D．200 4、已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5、已知关于x，y的方程组的解满足2x﹣3y=9，则m=　　 ． 6、已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为 ． 7、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为　 　人． 8、一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，则这个两位数是　 　． 9、解方程组：（1）； （2）． 10、如图所示的是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象， （1）方程 的解是　　； （2）y1中变量y1随x的增大而　减小　； （3）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的关系式． 11、某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 直击中考 1、【济宁】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、二元一次方程组的解法： （1）代入消元法；（2）加减消元法。 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答。 名师点拨 1、 学会转化思想； 2、 学会数形结合思想； 3、 掌握分类讨论思想。 学霸经验 · 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