4.2认识一次函数分层作业2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过基础巩固、能力提升到拓展应用的三阶设计，帮助学生从概念理解到综合实践深化一次函数认知，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |C课堂达标|一次函数定义、表达式、简单实际应用|以填空、选择为主，如第1题直接考查概念，第4题结合表格数据建模，夯实基础| |B能力提升|参数分类讨论、分段计费问题|如第11题探究一次函数与正比例函数的参数条件，第12题分段水费计算，发展推理能力| |A拓展培优|方案比较、函数关系综合应用|如第13题仪器添置方案费用对比，第14题旅行社收费函数模型，强化应用意识与综合思维|

4.2 认识一次函数 分层作业 【知识梳理】 1.如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数. 2.特别地，当b=0 时，称y是x的正比例函数. 3.一次函数的结构特征：① k是常数，k≠0；② x的次数是 1. 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的. 4.正比例函数是一种特殊的一次函数.如右图所示。 【分层作业】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 C 课堂达标 1.一次函数的一般形式是__________；正比例函数的一般形式是__________。 2.下列关系式：①；②；③；④；⑤。其中y是x的一次函数的有______个。 3.对于函数，当时，y是x的正比例函数；当时，y是x的一次函数。 4.某商店售货时，其数量x与售价y的关系如下表所示： 数量x/kg 售价y/元 1 8+0.4 2 16+0.4 3 24+0.4 ... ... 则y与x的关系式为__________。 5.已知(A,B)两地相距，小黄从A地到B地，平均速度为。若用表示行走的时间，表示余下的路程，则y关于x的函数表达式为__________。 6.下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（ ） A.路程一定时，时间y和速度x的关系 B.长的铁丝折成长为，宽为的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x 7.写出下列各题中y与x(或t) 之间的关系式，并判断y是否为x(或t) 的一次函数，是否为正比例函数。 (1) 一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加，小球的速度与时间之间的关系； (2) 周长为的长方形的一边长为，其面积与之间的关系。 8.如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶。设 x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离. （1）写出 y 与 x 之间的关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数； （2）当 x＝0.5 时，求 y 的值. 9.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计. （1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式; （2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 10.【变式题】某电信公司手机的B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计． （1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式; （2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ B 能力提升 11.已知. (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 12.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用用水量为xm3时，应交水费y元． (1)分别求出和时与的函数表达式； (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额 30元 34元 42.6元 小明家这个季度共用水多少立方米？ A 拓展培优 13.某中学要添置某种教学仪器，有两种方案可供选择：方案一，到商店购买，每件需要8元；方案二，学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元．设添置仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出， 与 之间的函数关系式； (2)当添置多少件仪器时，两种方案所需的费用相同？ (3)若学校添置50件仪器，选择哪种方案比较合算？ 14. 王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【参考答案】 1.； 2.4 3. ；3 4. 5. 6.B 7. (1)，是一次函数、正比例函数；(2)，不是一次函数，不是正比例函数。 8.解：（1）关系式为y=500+350x，y 是 x 的一次函数. （2）当x=0.5时，y=500+350×0.5＝675. 9.解：（1） y＝12＋0.2x （x≥0） ； （2）当x＝180时，y＝12＋0.2×180＝ 48（元）； （3） 12＋0.2x ＝100 x＝440（min）. 10.解：（1） y＝0.25x（x≥0）； （2）当 x＝180时，y＝0.25×180＝ 45（元）； （3） 0.25x ＝100 x＝400（min）. 11.(1) 解：是一次函数， ， 解得：， ，n为任意实数； (2) 解：是正比例函数， ， 解得：m = -1，n = -4。 12.(1) 解：当 时，y 与 x 的函数表达式是：； 当 时，y 与 x 的函数表达式是：； (2) 解：因为小明家四、五月份的水费都不超过 40 元，故 ，此时 ， 六月份的水费超过 40 元，，此时 ，所以把 代入 中得， 2x = 30，x = 15；把 代入 中得， 2x = 34，x = 17；把 代入 中得， 2.6x - 12 = 42.6，x = 21。所以，。 13.(1) 解：根据题意，得 ，； (2) 解：根据题意，令 ，得 ，解得 ，故当添置 30 件仪器时，两种方案所需的费用相同； (3) 解：把 分别代入 ， 中，得 (元)，(元)， ， 当学校添置 50 件仪器，选择方案二比较合算。 14.(1) 解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用 ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为 (2) 解：当时， 甲旅行社收取总费用 乙旅行社收取总费用 ， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有 32 人，选择乙旅行社。 $