第二章 圆锥曲线 单元测试-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学选择性必修一圆锥曲线单元测试，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理能力与模型观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|双曲线渐近线与离心率（1）、椭圆与双曲线焦点（2）、抛物线定义（3）|结合集合与椭圆定义（4），体现几何直观| |多选题|3/18|椭圆离心率与面积（9）、抛物线焦点弦性质（10）、双曲线内切圆（11）|注重性质综合辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|抛物线焦点距离（12）、双曲线离心率（13）、椭圆内心与离心率（14）|创新设计内心与离心率关系（14），发展创新意识| |解答题|5/77|椭圆方程与直线位置关系（15）、抛物线焦点弦（16）、双曲线渐近线与定点（18）、探究性问题（19）|综合应用模型观念，设置面积与定值探究（19），契合高考命题趋势|

北师大版高中数学选择性必修一第二章圆锥曲线单元测试 一、单选题 1．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 3．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 4．已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】由，知点M的轨迹为椭圆． 又，∴， 又为三角形的中位线，∴. 5．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    7．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 二、多选题 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 11．已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 三、填空题 12．抛物线与焦点之间的距离为____________． 【答案】 【分析】利用抛物线标准方程求得焦点坐标，再利用两点之间距离公式即可求解. 【详解】由题得，抛物线焦点为， 抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 13．双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    14．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】圆与相内切，切点分别为、、，由圆的切线的性质及椭圆的定义、结合三角形的面积公式和二倍角的正弦公式，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】 如图可得，圆与相内切，切点分别为、、， 由圆的切线的性质，可得，，， 由椭圆的定义可得， 即有，由，可得， 设圆的半径为，可得， 结合的面积公式可得，和， 即， 由于点是的内心，所以是的角平分线，即， 在直角中，， 则， 代入，可得， 由于，代入并化简可得，即， 所以椭圆的离心率. 四、解答题 15．已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 17．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 18．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. （2）①求出直线的方程，与双曲线方程联立并求出弦长，进而求出三角形面积；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 19．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）为定值2． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）法一：考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；法二：基本步骤同法一，利用列方程求解；法三：设直线的方程为，与法一同法列方程求解；法四：设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得，利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为； （2） （ⅰ） 法一：当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积，即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为： ， 整理得，化简得 解得， 所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法二：当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积， 即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法三：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设， 则，． 故 点到直线的距离， 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． 法四：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，， 则，． 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，， 则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得， ， 化简得， 因为，，所以， 所以 ， ， 得， 则可设点，故可得，， 所以， 所以为定值2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学选择性必修一第二章圆锥曲线单元测试 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 4．已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． 5．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 11．已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 第II卷（非选择题） 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．抛物线与焦点之间的距离为____________． 13．双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 14．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 17．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 18．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $