第二章圆锥曲线单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第二章　圆锥曲线 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线y=2x2的准线方程是 (　　) A.4x+1=0 B.4y+1=0 C.8x+1=0 D.8y+1=0 2.已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则m= (　　) A. B. C. D. 3.如图1,灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知|F1F2|=8 cm,|AF1|=1 cm,则光从焦点F1出发经镜面反射后到达焦点F2经过的路径长为 (　　) 图1 A.5 cm B.10 cm C. cm D.2 cm 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),若e=p,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A(,),则双曲线C的方程为 (　　) A.x2-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.-=1 6.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向y轴作垂线,垂足恰为上焦点F,又点A是椭圆与y轴负半轴的交点,点B是椭圆与x轴负半轴的交点,且AB∥OP,|FA|2=27+18,则椭圆方程为 (　　) A.x2+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=λ|PF2|,双曲线的离心率为e,则下列结论正确的是 (　　) A.若λ=,则e∈[,+∞) B.若λ=,则e∈(1,] C.若λ=7,则e∈(1,] D.若λ=7,则e∈[,+∞) 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=,若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为 (　　) A.- B.- C.- D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1,则 (　　) A.实轴长为2 B.渐近线方程为y=±x C.离心率为2 D.一条渐近线与直线x=的交点到另一条渐近线的距离为3 10.过抛物线C:y2=8x的焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于P,Q两点(点P在第一象限),以PF,QF为直径的圆分别与y轴相切于A,B两点,则下列结论正确的是 (　　) A.抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2,0) B.|PQ|= C.|AB|= D.M为抛物线C上的动点,N(2,1),则(|MF|+|MN|)min=6 11.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为(,) D.若直线方程为y=x+2,则|AB|= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,a=2b,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则椭圆的方程为　　　　　　　.  13.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段PF1的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为______. 14.已知不过原点的动直线l交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,O为坐标原点,且|+|=|-|,若△OAB面积的最小值是32,则p=　　　　,同时直线l过定点　　　　.(本题第一空3分,第二空2分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为(1,0),过焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点. (1)求抛物线C的方程; (2)记抛物线的准线与x轴交于点E,若·=40,求直线l的方程. 16.(15分)在①点M为椭圆C的上顶点时,△MF1F2面积为4,②椭圆C过点(,),③离心率e=,这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并解决下面两个问题. 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).已知椭圆C的短轴长为4,　　　　.  (1)求椭圆C的方程; (2)求m的值和△PAB的面积. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 17.(15分)设直线l:y=2x-1与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A,B两个不同的点,且·=0(O为原点). (1)判断-是否为定值,并说明理由; (2)当双曲线离心率e∈(,)时,求双曲线实轴长的取值范围. 18.(17分) 已知椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若=6,求k的值; (3)求四边形AEBF面积的最大值. 19.(17分)如图2,已知抛物线C:y2=4x,直线l经过点M(2,0),并与抛物线交于A,B两点. (1)证明在x轴上存在一个定点N,使得∠ANM=∠BNM; (2)在(1)条件下,若直线AN,BN分别交y轴于P,Q两点,设△OPA的面积为S1,△OQB的面积为S2,求S1+S2的最小值. 图2 第二章　圆锥曲线 1.D　抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,则p=,故抛物线y=2x2的准线方程是y=-,即8y+1=0. 2.C　抛物线y=x2的方程可化为x2=2y,则焦点为(0,),则m-2=()2=,即m=. 3.B　由题意,2c=8,则c=4,且a-c=1,则a=5.再由椭圆定义可得光从焦点F1出发经镜面反射后到达焦点F2经过的路径长为2a=10 cm. 4.A　由条件知p=2,则e=2,由e==2得=.又双曲线的焦点在x轴上,故双曲线C的渐近线方程为y=±x. 5.C　将点A(,)代入y=x得=,即a2=3b2.设F(c,0),由OA⊥AF得×=-1,则c=2.所以a2+b2=c2=4,所以a2=3,b2=1,则双曲线C的方程为-y2=1. 6.D　因为AB∥OP,所以=,即=,则|PF|=.又PF⊥y轴,则|PF|=,所以b=c,由解得所以椭圆的方程为+=1. 7.C　当λ=时,则点P在双曲线的左支上,由|PF2|=7|PF1|,且|PF2|-|PF1|=2a得|PF1|=,|PF2|=,由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得+≥2c,则1<e≤,排除A,B;当λ=7时,则点P在双曲线右支上,由|PF1|=7|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a得|PF2|=,|PF1|=,由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得+≥2c,则1<e≤,故选C. 8.A　依题意F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上,∠F1PF2=,根据对称性可知是PF2的延长线与椭圆的交点如图D 1所示, 图D 1 则三角形PF1是等腰直角三角形.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|P|=|PF1|=|PF2|+|F2|=m,因为m+n=2a,所以n=2a-m,所以|F2|=m-(2a-m)=2m-2a,|F1|=2a-(2m-2a)=4a-2m,则4a-2m=|PF1|=m,故m==(4-2)a.又m2+n2=(2c)2,所以m2+(2a-m)2=4c2,即[(4-2)a]2+[(2-2)a]2=4c2,所以(36-24)a2=4c2,=9-6=(-)2,所以e==-.故选A. 9.BC　由双曲线的方程可得,a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,所以实轴长2a=4,离心率=2,渐近线方程为y=|±x=|±x,所以A不正确,B,C正确;设渐近线y=x与直线x==1的交点为A,两个方程联立可得A(1,),另一条渐近线的方程为x+y=0,所以点A到它的距离d==,所以D不正确. 10.ABC　由题意可得抛物线的焦点F的坐标为(2,0),所以A正确; 由题意设直线PQ的方程为y=(x-2),与抛物线方程联立整理可得3x2-20x+12=0,解得x=或x=6,代入直线PQ的方程可得y分别为-,4,结合题意可得P(6,4),Q(,-),所以|PQ|=6++4=,所以B正确; 因为P(6,4),Q(,-),所以线段PF,QF的中点分别为(4,2),(,-),所以由题意可得A(0,2),B(0,-),所以|AB|=2+=,所以C正确; 图D 2 如图D 2,点M在抛物线上,ME垂直准线于E,可得|MF|=|ME|,所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥|NE|=2+2=4,当N,M,E三点共线时,|MF|+|MN|最小,且最小值为4,所以D不正确. 11.BD　设点M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则有得=-.设直线AB,OM的斜率分别为kAB,kOM,则kAB=-,kOM=. 对于选项A,kAB·kOM=-2≠-1,故选项A错误; 对于选项B,根据kAB·kOM=-2,若kOM=1,则kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确; 对于选项C,若直线方程为y=x+1,点M(,),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,故选项C错误; 对于选项D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,则可取x1=0,x2=-,所以|AB|=×|--0|=,故选项D正确. 12.+y2=1　由a=2b,a2=b2+c2,得c2=3b2.又PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,所以(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,解得b2=1,所以a2=4,故椭圆的方程为+y2=1. 13.y=±2x　不妨设双曲线中心为O,数形结合可知△F1OQ为直角三角形,且tan∠F1OQ=,则易得cos∠F1OQ=,sin∠F1OQ=,所以有|OF1|=c,|F1Q|=b,|OQ|=a,|F1F2|=2c,|F1P|=2b,|F2P|=2a,由双曲线定义知2b-2a=2a,所以b=2a.故双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x. 14.2　(4,0)　设A(x1,y1),B(x2,y2),由条件知OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即×+y1y2=0,所以y1y2=-4p2.由题意知直线l的斜率一定不为0,所以可设直线l的方程为x=my+t,代入抛物线方程y2=2px中,得y2-2pmy-2pt=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-2pt=-4p2,所以t=2p,所以△AOB的面积S=×2p×|y1-y2|=p=2p2≥4p2,即4p2=32,解得p=2.此时直线l的方程为x=my+4,则直线l过定点(4,0). 15.(1)由题意得=1,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)由题意,知E(-1,0),直线l的斜率一定不为0,所以可设直线l的方程为x=my+1,点A(x1,y1),B(x2,y2), 联立直线l和抛物线C的方程得消元得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=1,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2, 所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+1+x1+x2+y1y2=1+1+4m2+2-4=4m2=40, 解得m=或m=-. 故直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 16.(1)由已知可得2b=4,解得b=2, 故椭圆C的方程为+=1. 若选择①,则×2c×b=bc=2c=4,解得c=2,故a2=b2+c2=12, 故椭圆C的方程为+=1. 若选择②,则+=1,解得a2=12, 故椭圆C的方程为+=1. 若选择③,则e=====,解得a2=12,故椭圆C的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由可得4x2+6mx+3m2-12=0　(*), 由Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0,可得-4<m<4, 且x1+x2=-,x1x2=. 设线段AB的中点为H(x0,y0), 则x0==-,y0=x0+m=,即H(-,), 因为-4<m<4,所以-≠-3, 所以kPH==, 因为△PAB是以AB为底边的等腰三角形, 所以PH⊥AB,即PH⊥l, 又直线l的斜率k=1,所以kPH=-1,即=-1, 解得m=2∈(-4,4), 此时方程(*)化为4x2+12x=0,解得x1=0,x2=-3, |AB|=|x1-x2|=×|0-(-3)|=3, 此时H (-,), 故|PH|==, 故S△PAB=×|AB|×|PH|=×3×=. 综上,m=2,△PAB的面积为. 17.(1)-为定值5.理由如下. 由消去y可得(b2-4a2)x2+4a2x-a2-a2b2=0, 则即b≠2a,且1+b2-4a2>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=, 由·=0得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(2x1-1)(2x2-1)=5x1x2-2(x1+x2)+1=0, 所以5·-2·+1=0, 整理得5a2b2+a2-b2=0,即-=5,为定值. (2)由双曲线离心率e∈(,),即<<,得2a2<c2<3a2. 由c2=a2+b2,得a2<b2<2a2,即<<, 由-=5,得<-5<, 解得0<a<. 故双曲线实轴长的取值范围为(0,). 18.(1)依题意知椭圆的长半轴长为a=2,短半轴长为b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1. (2)直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图D 3, 图D 3 设D (x0,kx0),E (x1,kx1),F (x2,kx2), 其中x1<x2,由得(1+4k2)x2-4=0,Δ=02-4×(1+4k2)×(-4)=16(1+4k2)>0, 则x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=　①. 由=6知x0-x1=6(x2-x0),得x0=(6x2+x1)=x2=. 由D在AB上知,x0+2kx0=2,得x0=. 所以=,解得k=或k=, (3)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==, h2==. 又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=··==2=2=2≤2,当且仅当2k=1,即k=时,取等号. 所以四边形AEBF面积的最大值为2. 19.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(t,0),直线AB的方程为x=my+2, 联立 整理得y2-4my-8=0,可得y1+y2=4m,y1y2=-8. 由∠ANM=∠BNM,可得kAN=-kBN,即+=0, 因为=4x1,=4x2,可得+=0, 整理得y1-4ty1+y2-4ty2=0,即(y1+y2)(y1y2-4t)=0, 又y1+y2=4m,y1y2=-8,所以4m(8+4t)=0, 当m=0时,此时直线方程为x=2,此时A,B关于x轴对称,显然∠ANM=∠BNM; 当8+4t=0时,解得t=-2,此时点N(-2,0),能使得∠ANM=∠BNM, 综上可得,在x轴上存在一点N(-2,0),使得∠ANM=∠BNM. (2)由S1=·|PO|,S2=·|QO|, 又由|PO|=|QO|=|PQ|,得S1+S2=(x1+x2), 又由直线AN的方程为y=(x+2),令x=0,可得yP=,同理可得yQ=, 所以|PQ|=,|PQ|=, 两式相加可得-=2|PQ|, 即|PQ|=-. 当直线AB的斜率不存在时,此时AB:x=2,可得P(0,),Q(0,-),且x1+x2=4, 此时S1+S2=(x1+x2)=2; 当直线AB的斜率存在时,此时AB:y=k(x-2), 则|PQ|=-=-==, 又由整理得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,可得x1+x2=,x1x2=4, 代入上式,可得|PQ|==, 所以S1+S2=(x1+x2)=×(1+), 令t=>0,可得S1+S2=, 令m=>,则t=m2-2,所以S1+S2=4(m-), 又函数y=x-在(,+∞)上单调递增, 所以S1+S2=4(m-)>4×=2. 综上可得,S1+S2的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $